The last blind box

摘要

收集八款造型可愛的盲盒，起初幾乎每次開盒都出現新款，但當櫃面剩下七款、只欠最珍貴的一款時，購買者往往陷入「抽多一盒就齊」的心理。本研究把這種微不足道又昂貴的困境轉化為非均勻抽樣的收集者問題。研究首先建立各款獨立同分布、每次開盒只取得一款的基準模型，藉容斥原理及有限狀態動態規劃求出完整集卡時間的期望和生存函數，繼而把單款直接購買引入可操作的最優決策模型。以七款各佔 14%、稀有款佔 2% 的純合成情境為例，僅靠盲抽完成一套的期望購買次數為 53.543；八款均等機率時則為 21.743。若每盒成本為一單位、任一缺款可用十五單位直接購入，動態規劃將預期成本降至 29.027。當只餘下稀有款時，純盲抽尚需平均五十盒，直接購買只需十五單位。十八千條合成盲抽路徑與十二千條最優政策路徑分別重現 53.509 與 29.106 的均值。結果揭示早期高頻的新款回饋可以與後期極長的完成等待並存，而直接交換的價值來自截斷稀有事件長尾。數值皆屬明示假設下的可重現理論與模擬，未觀察或推測任何真實消費者的心理動機或市場價格。

Abstract

Blind-box collectors can acquire many different designs rapidly yet spend unexpectedly long waiting for the last missing design. This paper models that frustration as a nonuniform coupon-collector process. Exact expected completion time is obtained using inclusion–exclusion and verified with subset-state dynamic programming; completion tails and expected distinct-item counts are derived. An adaptive decision rule chooses between blind purchases and direct acquisition of a missing design. In a wholly synthetic eight-design scenario, seven designs each occur with probability 0.14 and one rare design with probability 0.02. Blind completion requires 53.543 purchases in expectation, compared with 21.743 under uniform probabilities. Allowing direct acquisition at a fixed price of 15 units reduces the optimal expected cost to 29.027 units. Independent simulations reproduce the analytic results. The paper distinguishes distributional tail risk from psychological explanations and documents assumptions, reproducible code and limitations. No consumer observations or human-subject studies were conducted.

關鍵詞 / Keywords： coupon collector；非均勻抽樣；容斥原理；馬可夫決策；最優購買；尾部風險；盲盒。

1. 引言

1.1 由「差一款」變成可檢查的科學問題

同一個展覽的盲盒攤位，兩名收藏者同樣想收齊八款公仔。第一名打開第五個盒子已有四款，覺得遊戲進度十分理想；第二名買到第二十盒已有七款，卻遲遲看不到最後一款。兩人看到的數字似乎完全相反：前者只買了五盒就完成一半款式，後者買了二十盒卻連最後八分之一也跨不過。若只以「每盒都有機會抽中新款」作推理，這種巨大落差容易被描述成運氣好壞；若問不同收藏狀態的等待時間是否相同，便開始進入概率論與序列決策的領域。本文把收藏者的挫折表述為一個明確的隨機停止時間問題，核心對象是抽到每個款式至少一件所需要的總盒數，而非某個人的主觀情緒。

盲盒把款式隱藏在密封包裝之內。即使每盒售價固定，收藏者仍不能事先決定抽取哪一款，故每次消費都同時具有物品取得與資訊揭露兩種作用。抽中未擁有的款式，既讓收藏進度增加一格，也改變下一盒成為「新款」的機率；抽中重複款則令已付款項不能直接推進完整收藏。若不同款式的抽中機率不相等，這種遞減的邊際成功機率還會產生比等機率模型更強烈的延遲。簡單地比較每盒的價格，無法估計達成整套收藏的預期總支出；只報平均值，亦無法描述有人在平均值兩倍的抽數仍然未完成的可能性。

在工程學中，收集齊全不同標籤、傳輸封包或緩存需求，與這個問題共享數學骨架：每一次試驗自一組離散類別中產生一個結果，研究者問需要多少次抽樣才能覆蓋整個有限集合。所謂 coupon collector（收集者問題）原本不關乎購物，它關乎有限類別的隨機覆蓋。把盲盒當成其中一個可視覺化的例子，有助於理解為何資訊系統中的「尚未看過的一種情況」可以主宰整個任務的完成時間。本文沿用相關研究中對非均勻類別機率的處理，但把可直接取得缺款的替代渠道視為一個會因當前收藏狀態而改變價值的決策動作。

1.2 研究範圍、設計與貢獻

本文不預設任何真實製造商必定秘密操控抽中機率，亦不根據社交媒體個案推斷機率。首先使用最透明的「八款等機率」作教學及驗證基準，然後引入「七款各 14%、一款 2%」作人為設定的極端但合法概率向量；兩者的總和均為一。每次開盒互相獨立，過去抽中了甚麼不會改變下一盒的隱藏配比。此限制使公式易於獨立檢查，同時必須承認實際市場或可能存在批次、限量、保底、售罄及假貨等機制，未必符合模型。研究所展示的是條件性數學命題：如果款式分布如此，那麼平均完成成本及風險如何；不是宣稱市面產品就是如此。

本研究有三項互相關連的貢獻。首先由容斥原理給出非均勻完整收藏時間的封閉形式，以及每個有限抽數後仍未完成的精確機率，避免只以蒙地卡羅均值做結論。其次透過位元集合表示所有已收集款式，用動態規劃給出與容斥公式獨立的期望驗算，並在此基礎上求解「繼續盲抽或直接收購一款」的最小成本政策。最後以固定種子的電腦實驗評估解析結果和有限模擬的誤差，展示期望收藏進度、長尾機率及直接購買價格三個互補的角度。四張圖的目的分別是解釋機率不均、尾部風險、價格敏感度與早晚收藏進度，而非裝飾排版。

從研究倫理而言，使用電腦生成樣本的好處是能夠精確控制每次試驗的抽中機率，也可以檢視罕見的長尾結果；代價是不能把結果當成對真實市場或人類心理的證據。收藏者在現實中可能把重複款送朋友、轉售、交換，或把某一款的美感看得比完整套裝更重要，這些行為皆可能改變決策目標。本文暫把每款視為必需的不同標籤、每個已獲款式的邊際效用一致，然後在討論章節說明放鬆限制的後果。這種明示的簡化比對缺乏資料的真實行為作確定性判斷更適合目前研究階段。

1.3 為何平均數不足以代表「最後一款」的痛苦

一個平均要五十三盒才能完成的收藏方案，不能據此斷定第五十三盒一定抽中最後一款；對任何有正機率抽不中的有限抽數，未完成的機率仍大於零。若只餘稀有款，而且單次抽中的機率為百分之二，從現在起等待第一個成功的盒數服從幾何分布。其平均值是五十盒，但即使再抽五十盒，仍有約 36.4% 的機率完全沒有見到這款。這個差異不涉及情緒或認知偏差，純粹是隨機時間分布不對稱所造成。所謂「預期值」是無限多次重做同一制度的算術平均，並不是任何單一收藏者的購買保證。

長尾亦意味著模型設計不應只回答「平均要花多少」。對有明確預算上限的人，五十盒的尾部生存機率比總平均更能表示失控風險。對可在二手渠道購買缺款的人，應比較繼續盲抽的條件性期望成本與直接購買的成本；這個比較會隨已收齊的種類而變。本文故意選擇不涉及品牌、質量或實際貨幣的單位成本，好讓最優策略的差異直接歸因於隨機分配機制與替代選項，而非價格行情。這種分析可為更廣泛的問題提供原型：若任務只差最後一種稀有資源，究竟應等待隨機到達，還是支付確定費用取得？

2. 文獻回顧

2.1 古典收集者問題與非均勻分布

古典收集者問題假定有 $n$ 種類別，每次獨立而等機率抽得一種。當已收齊 $k$ 種時，下一次抽中新種類的機率為 $(n-k)/n$；從 $k$ 增至 $k+1$ 所需的期望抽數便是 $n/(n-k)$。把各階段相加得到 $nH_n$，其中 $H_n$ 為第 $n$ 個調和數。這條教科書式公式的重要性是揭示完成收藏具有非線性成本：早期每增一款幾乎免費，末段卻須等待平均 $n$ 盒。然而，把公式原封套進存在稀有款的集卡活動會產生方向明確的低估，因此需要檢查非均勻概率分布。

Flajolet、Gardy 與 Thimonier（1992）處理包含生日悖論、收集者問題與緩存的隨機分配類別，研究涵蓋一般非均勻抽樣及以積分表示期望與分布的工具。這使我們有理由從「每款不同機率」的概率向量出發，而不是硬把稀有款平均化。Boneh 與 Hofri（1997）的綜述則指出收集問題在工程應用中的數值計算困難，並概述不同的計算框架；其重點與本文在小規模狀態空間採用精確算法的做法相合。本文沒有聲稱發明容斥定理，而是把既有數學轉用到具體決策情境，附上可自行重做的代碼。

Brown、Peköz 與 Ross（2008）研究不同款式以 $p_i$ 機率取得時的完成時間，提出適合規模不大的計算公式、尾部概率估計及模擬方法。這個文獻尤其提醒研究者：「已抽到多少不同款」與「還差多久完成」是不同隨機變數，其期望可能需要不同的演算法。本研究使用所有未完成款的事件聯集計算生存函數，並以位元狀態模型做第二種演算。在形式上，兩者各自沿用普遍概率原理；以相同參數得出相同答案，則形成可檢查的數值交叉驗證。

2.2 從完整一套延伸到配額與部分收藏

真正的收藏行為未必要求每款恰好一件。有人希望每款兩件以供展示及交換；有人只想達到七款而非八款；亦可能某一款因為送朋友而需要額外份數。May（2008）研究各款機率及配額不均等的收集問題，說明「每款至少一件」只是更廣泛覆蓋要求的特殊情況。Shank 與 Yang（2013）把類別非均勻及隨機需求配額加入分析，指出配額與分布的結合會改變數學問題的結構。本文為避免超出可驗證範圍，只解決配額等於一的版本，並把多份配額視為後續擴充；因此不能把所求結果不加修改地用於完整兩套的收集活動。

O’Neill（2022）討論負佔用分布與 coupon-collector 分布，凸顯「收集了多少不同款」與「還要多久完成」之間的聯繫。其相關性在於收藏者可觀察到的進度往往是款式種類數，而非隱藏的機率參數。本文特別製作平均種類數隨抽數增加的曲線，讓讀者看到前期進展與後期停滯可以由同一個數學機制產生。這不表示觀察到進展停滯的人一定產生了某種心理偏誤，只表示抽樣過程本身足以製造類似的視覺形狀。

2.3 收藏品的決策與本文的新增部分

Smith（2005）以卡片收集為背景，研究按包購買及折扣等決策問題，利用動態規劃比較不同購買方法。出版社可公開取得的摘要顯示，在給定抽樣分布與產品包裝制度下，收藏問題可以寫成序列決策；但我們沒有根據該摘要臆測作者曾探討本研究的相同單款直接購買機制。本文的特定模型是獨立提出的玩具世界：每次可以支付一單位抽一盒，或支付固定 $b$ 單位直接買到指定尚未擁有的款。此機制被設計成足夠簡單，能從 Bellman 期望成本推導出精確最優策略，並把政策與純盲抽比較。

以上文獻大部分聚焦概率分布、計算方法或一般購買決策；其公開元資料及摘要足以支持問題範疇與方法來源，但並不足以證明香港收藏者會如何實際行動。本文的所有市場描述只是動機，不會作「文獻顯示人類偏愛稀有款」這類超出所核實來源的斷言。研究的原創性主要在於把非均勻完成時間、政策依賴的預算成本及可直接量度的長尾風險放在同一套可執行的小型模型中，並用可視化揭示不同績效指標可能對同一個購買計劃作出完全不同的評價。

3. 研究問題與假設

3.1 可由解析式回答的問題

第一個研究問題（RQ1）是：當所有款式的總機率仍然等於一，卻把其中一款變得稀有、其餘款式的機率相應提高時，完成整套收藏的期望盒數及尾部風險如何改變？為避免模糊的「難抽」概念，本文把完整收藏時間定義為第一個同時擁有所有標籤的抽數 $T$，主要比較 $E[T]$、$P(T>t)$ 與 $E[K_t]$。其中 $K_t$ 是抽了 $t$ 盒後累積得到的不同款數。三者分別回答長期平均、有限預算下的完成風險及對購買者可見的收藏進度。

第二個研究問題（RQ2）是：當收集者每一步可以選擇直接以固定價格購入一款欠缺的造型，最小化總期望支出的策略是否優於「一路盲抽到底」？答案涉及狀態，不能只比較單一固定的平均價格。若現在已收齊七款並只差稀有款，下一盒成功機率就是該款的原始機率；若只收齊兩款，下一盒有多個可能的新款，盲抽可以一次把收藏集合變大，直接買某一款未必划算。本文把「盲抽」及「買指定缺款」納入同一個有限狀態控制問題，計算每一種已有款式組合的最優期望成本。

第三個研究問題（RQ3）是：早期收藏進度看來迅速，能否與極大的最終完成成本同時出現？本文不採用問卷推斷所謂「上癮」或「錯覺」，而是提出可檢查的機制命題：在稀有款佔比低而其他款佔比高時，常見款的首次出現時間較短，故前七款可能相當快地被看見，卻仍需長時間等待最罕見款。若可以計算 $E[K_t]$ 在相同 $t$ 下的曲線形狀，便能證明「接近完成」與「距離完成很久」在概率上沒有必然矛盾。

3.2 理論命題及可否證條件

命題 H1：相同總概率下，八款等機率的收集完成期望不大於本研究所設的單款稀有情境。此命題會以精確數值比較，而不把兩個情境的差異誤讀為抽樣誤差。命題 H2：對只欠某款 $j$ 的收藏者，若盲抽單價 $c$、直接購買價 $b_j$，在可持續重抽且概率不變的條件下，理性最低成本是 $\min(c/p_j,b_j)$。H2 可以由幾何等待或 Bellman 方程直接驗算。命題 H3：容許直接購買選項後的全局最優期望成本不會高於只盲抽的期望成本；這不是需要顯著性檢定的經驗觀測，而是「新選項不會縮小可行策略集合」的數學事實。

需要明確的是，「稀有款佔比愈低，預期完成成本愈高」只在本文特定的單稀有款參數化路徑上檢視，即稀有款概率 $r$ 減少時，其餘七款均分 $1-r$。這並不宣稱任意兩個無法排序的概率向量都可用單一稀有率決定成本次序。若模型改成購買指定款會影響後續盲抽供應，又或者每抽十次必定出現未擁有款，H2 的條件便不成立。本文將命題有效條件與結果一併列出，讓別人可以確定應在何種新制度下重新檢查。

4. 理論框架

4.1 概率空間與狀態

令款式集合為 $\mathcal I=\{1,2,\ldots,n\}$。第 $t$ 次打開盲盒所得款式為離散隨機變數 $X_t$，其中 $P(X_t=i)=p_i$、$p_i>0$ 及 $\sum_i p_i=1$。各次抽樣相互獨立且服從相同分布。定義 $T=\inf\{t\geq0: \{X_1,\ldots,X_t\}=\mathcal I\}$；這是首次收齊所有不同款式所需的總盒數，並非首次抽中稀有款的時間。只有所有款至少出現一次，整套才視為完成。若某一款概率為零，收集時間可能無限；本研究刻意排除這類不可完成的特殊個案。

再令 $S_t\subseteq\mathcal I$ 為前 $t$ 次所見過的款式集合，$K_t=|S_t|$ 為可觀察種類數。對任意集合 $S$ 定義機率重量 $p(S)=\sum_{i\in S}p_i$，尚未持有款式的總機率則為 $q(S)=1-p(S)$。若目前未完成，$q(S)>0$ 是下一盒至少增加一個新款的機率。這個機率由具體缺哪些款決定，而非只由欠款數量決定；當收藏者已有七款時，若僅缺 2% 的稀有款，下一盒的成功率為 0.02；若僅缺普通款，則為 0.14。因而把「已收齊七款」視作同一個狀態會產生錯誤決策。

基準模型不容許重複款轉售，也不把重複款折算成積分；它們是真正對完成目標沒有即時效果的試驗。直接購買選項則假設可以隨時以明確固定價格購入一款指定缺款，沒有等待、議價、運費、付款費用或庫存限制。這些假設避免把「成本模型」與「消費者心理模型」混淆。當現實存在二手交易收入、抽卡保底、批次關聯或限定補貨時，這套結果的有效條件便不再自動成立，需要重新建立狀態與轉移概率。

4.2 等機率分解與調和級數

先考慮 $p_i=1/n$。當已有 $k$ 種時，下一盒取得新款的成功率為 $(n-k)/n$，故從 $k$ 種進展到 $k+1$ 種所需盒數是成功率為 $(n-k)/n$ 的幾何等待，平均值為 $n/(n-k)$。完整收集須經歷由零至 $n-1$ 款的每個狀態，利用期望線性性，獲得經典調和級數：

八款的基準值為 $8H_8=21.742857\ldots$。一開始未持有任何款時，首盒一定帶來新款；但已有七款後，下一盒成為新款的概率僅剩八分之一，所以最後一步平均需要八盒。平均成本不是「每款一盒，總共八盒」，而是重複抽中越多，新增種類的機會越小。這樣的分段計算同時提供一個非常直接的程式校驗：任何宣稱能精確計算八款等概率收集的函數，都應重現這個基準數值。

4.3 吸收鏈與純盲抽剩餘期望

集合 $S_t$ 是一條有限狀態吸收馬可夫鏈。若下一盒的款式已在 $S$ 中，機率 $p(S)$ 令狀態保持原狀；若下一盒是缺款 $j$，以 $p_j$ 轉移至 $S\cup\{j\}$。全集是吸收狀態。所有可能集合共有 $2^n$ 個，因此八款例子只需要 256 個狀態；不需記錄完整的抽卡次序，不管之前已買多少盒，現有集合就是預測未來所需的充分狀態資訊。

令 $V(S)$ 是目前已有集合 $S$、往後只靠盲抽直至完成的剩餘期望盒數。將一次購買分解為成本一盒及購買後的剩餘期望，有

移項並使用 $q(S)=1-p(S)$，得到 $V(S)=[1+\sum_{j\notin S}p_jV(S\cup\{j\})]/q(S)$，終端邊界 $V(\mathcal I)=0$。由於右方除自我迴圈外只包含更多已持有款的集合，可以自大至小反向遍歷，求出每個狀態的精確期望。此演算法以狀態轉移為本，與後文的容斥封閉式不同，適宜作獨立數值檢驗。

4.4 目標函數與個人效用的區分

純盲抽模型以完成盒數 $T$ 為目標，當單盒價格為 $c$ 時，期望成本是 $cE[T]$。政策模型則把成本單位標準化為 $c=1$，容許付 $b_j$ 直接取得一個目前欠缺的指定款，目標是找出從目前狀態到收齊整套的最小期望額外費用。這個成本目標不包含開盒樂趣、設計美感、完整收藏的成就感或再次轉售的價值；因為所有候選政策被要求最終取得相同一套收藏，終端物品集合在模型中相同，才可以直接比較支出。

若容許中途放棄，問題便需要另外設定完成整套所帶來的個人效用，以及各個未完成集合的剩餘價值。此時「先前已買了多少盒」只可視為沉沒成本，理性策略仍應比較從目前開始的未來成本與未來回報。本文不聲稱一定要集齊、也不聲稱購買指定款必然讓人更快樂；本文所稱「最優」嚴格限於強制完成同一個套裝、並最小化期望單位支出的數學問題，與消費倫理判斷不能畫上等號。

5. 研究方法

5.1 比較情境與模型控制

研究採解析推導及可重現電腦實驗。第一個向量為八個 $0.125$，第二個向量為七個 $0.14$ 與一個 $0.02$。兩者總和均為一，都是作者設定的合成配比，並非任何真實品牌的公佈機率。這樣安排使兩種情境在款式總數、單盒成本和是否要求完整套裝方面完全一致，只改變款式不均勻程度。先計算容斥期望和有限期完成概率，再以集合動態規劃獨立核對平均值，最後開啟直接購買選項，觀察期望成本如何變化。

敏感度實驗把稀有概率 $r$ 依次設定為 0.01、0.02、0.04、0.06、0.08、0.10 和 0.125，七款普通款各自使用 $(1-r)/7$。這是一條具體的參數路徑，並非對所有非均勻向量的完整搜索。直接購買價格則從五至六十單位，以五為間距；每種價位均重新求最優政策。為分辨「早期進度快」及「最後完成慢」，另計算購買零至一百盒期間不同款式數的數學期望，以及零至二百盒後仍未完成的精確概率。

5.2 模擬樣本及數據輸出

使用 Python、NumPy 和 Matplotlib；所有主要數字由論文同資料夾的 analysis.py 生成。亂數種子固定為 2026101511，純盲抽獨立模擬 18,000 條序列，每條序列在獲得全部八款時停止；最優政策的獨立測試以種子加一生成 12,000 條路徑，依當下集合選擇盲抽或直接購入。Monte Carlo 只代表人為設定概率下的電腦樣本，未記錄或假裝存在受訪者，不可能驗證任何香港盲盒市場的實際配比。

每條序列所得的終端抽數或成本，組成樣本均值和樣本標準差，模擬均值的標準誤差定義為樣本標準差除以樣本數平方根。這個標準誤差只描述有限次模擬對已知概率模型積分值的計算波動，不能作為對真實市場的信賴區間。由於兩項政策已有解析答案，模擬不是用來「發現」平均成本，而是檢查代碼、轉移規則、樣本路徑和輸出是否與理論相容。數值報告保留三個小數，避免把浮點運算的十五位有效數字當成真實測量精度。

5.3 交叉檢查及計算複雜度

程式先以三款等機率案例檢查 $3H_3=5.5$，再檢查八款等機率結果 $8H_8$。對不均勻案例，容斥期望與 256 狀態遞推結果必須一致至數值容忍度。另指定一個只欠 2% 稀有款的狀態，驗證純盲抽期望五十、直接價格十五時最優成本十五。最後檢查混合購買的期望成本不得超過完全盲抽，也不得超過直接買齊八款的費用，這個弱上界能協助偵測政策演算法中的符號與成本累加錯誤。

對 $n$ 款，容斥法需要遍歷 $2^n-1$ 個非空子集，集合期望或決策方法需要遍歷 $2^n$ 個集合，每個集合最多試 $n$ 個缺款，時間大致是 $O(n2^n)$。因此本文重視八款小模型的解析透明度，沒有宣稱相同枚舉方法適合處理百種款式。容斥式含交錯正負項，對極端參數可能產生浮點消去誤差，故始終以第二種計算途徑核對。若日後研究更大規模問題，需要設計矩陣求解、數值積分、近似或多精度算法，並另行記錄算法誤差界。

6. 數學與計算模型

6.1 從聯集推得完整收集時間的尾部

定義事件 $A_i(t)$ 為前 $t$ 盒仍未出現第 $i$ 款。若全集仍未完成，必定至少有一個這類事件發生，因此 $\{T>t\}=\bigcup_i A_i(t)$。對非空款式子集 $B$，事件「集合 $B$ 內所有款都沒有被抽中」的單次概率為 $1-p(B)$，其中 $p(B)=\sum_{i\in B}p_i$；由各次抽樣獨立性，連續 $t$ 盒均未抽中集合內任何款的概率為 $(1-p(B))^t$。若只是將各個 $P(A_i)$ 相加，會把同時缺兩款的路徑計算兩次，顯著高估未完成概率；容斥原理則交替扣減和補回所有交集，給出：

這條是精確的有限抽數公式，並沒有泊松近似或正態近似。當 $t=0$ 時完整收藏必然未完成，上式等於一；當 $t$ 趨向無限而所有類別概率嚴格為正，生存概率趨向零，這也支持完整收藏幾乎必然終將完成。相鄰兩個時間的生存概率之差，直接給出完成時間的離散概率質量函數 $P(T=t)=P(T>t-1)-P(T>t)$，所以模型可以回答某個特定盒數內完成的概率，而不只是給出平均成本。由此可知，有限預算和長期平均是互相關連但不可互換的研究指標。

6.2 將有限抽數尾部積分成平均成本

對非負整數取值的停止時間，平均值可展成尾部總和 $E[T]=\sum_{t\geq0}P(T>t)$。其理由是對每條已實現的路徑，完成盒數恰好等於在第零盒、第壹盒以至真正完成之前，仍處於未完成狀態的次數。由期望的線性及非負計數和式的可交換性，可以先對每個缺款集合計算幾何級數。對非空 $B$，$p(B)>0$，於是 $\sum_{t=0}^{\infty}(1-p(B))^t=1/p(B)$，因此有：

若只計算每種款式第一次出現的平均等待 $1/p_i$，然後將它們相加，便忽略了等待各種款式可以在同一條抽盒序列中並行發生。真正的完整收集時間等於各種款式首次出現時間的最大值，並非它們的總和。因此可由 $\max_iT_i\leq\sum_iT_i$ 推得上界 $E[T]\leq\sum_i1/p_i$；同時 $T\geq T_i$ 對每一款成立，故有下界 $E[T]\geq\max_i 1/p_i$。這些界不會取代精確公式，但可以成為任何數值結果的第一層合理性檢查。特別當稀有款只有 2% 時，總平均不能小於五十盒。

6.3 用組合分類簡化單一稀有款的精確平均

以七款普通款概率 $q=(1-r)/7$、一款稀有款概率 $r$ 表示八款模型。非空子集可以分為完全不含稀有款及包含稀有款兩類。第一類若有 $k$ 款普通款，則機率重量 $kq$，其集合數是 $\binom7k$，其中 $1\leq k\leq7$。第二類由稀有款連同 $k$ 個普通款構成，集合重量為 $r+kq$，同樣具有 $\binom7k$ 個組合，而 $k$ 可以由零到七。把同重量的項合併，得到比逐一列出 255 個集合更適合手算檢查的封閉式：

這種分組方式有一項重要含義：當 $r$ 很小，而其他七款仍各自具有正的有限概率時，第二個總和中 $k=0$ 的項 $1/r$ 會急速上升；其餘有限機率重量的項不會以相同速率發散。因此在稀有程度極高的極限，整套完成時間受到等待最稀有款主宰。這不表示所有抽盒結果都等於稀有款的首次出現時間，只表示差額相對於 $1/r$ 愈來愈次要。當 $r=1/8$ 時所有款完全對稱，封閉式又退化成 $8H_8$，提供另一個參數極限的驗證點。

6.4 引入直接購入後的動態規劃

令 $C(S)$ 為已有款式集合 $S$、尚須完整收藏時的最小期望新增成本，並設定全集的成本為零。盲抽單盒成本為 $c$，任一指定缺款 $j$ 可以直接支付 $b_j$ 購得。若選盲抽，除立即付出 $c$，抽中原本持有的款式會以 $p(S)$ 的機率回到同一狀態；抽中新款 $j$ 則以 $p_j$ 進入 $S\cup\{j\}$。若直接購買缺款 $j$，將無風險地進入另一狀態。因此原始 Bellman 方程為：

為了解決自我迴圈，對選擇盲抽的分支把 $p(S)C(S)$ 移至等式左方，除以 $q(S)=1-p(S)$。這使得每一種候選動作均以較大集合的成本表示，得出真正可反向計算的規則：

第一個分支不能簡化成 $c/q(S)$，因為那個商只代表「至下一個新款出現」的期望抽盒成本，並不包含新款獲得後仍需付出的費用。完整式中的加權和會考慮下一盒是哪一個新款，以及到達該狀態後是否改為直接買其他缺款。由於任何成功增加新款的轉移都會使集合變大，可按集合的大小反向求解；各狀態最小成本與最佳行動一併存入決策表。這種方法不預設「先盲抽十盒後一律去二手店」的固定政策，而是隨已知收藏狀態而調整。

6.5 一個嚴格可證明的末款門檻

假設已收齊所有款式，只缺第 $j$ 款。此時繼續盲抽直至完成服從成功率 $p_j$ 的幾何等待，平均需要 $1/p_j$ 盒，總期望成本 $c/p_j$。若直接購入則付 $b_j$ 後立即完成，因此最小剩餘成本為 $\min\{c/p_j,b_j\}$。這是一項不依賴模擬的精確命題：當 $b_j<c/p_j$ 時，直接取得該款更節省期望成本；若價格相反，純盲抽更划算；在等號情況下兩個動作並列最優。

以本文定價 $c=1$、$b_j=15$ 為例，若只欠 2% 稀有款，繼續盲抽平均需要五十單位，直接購入只需要十五，所以應選擇直接購買；若只欠普通款，盲抽平均約需 7.143 單位，比直接買便宜。這個對比令「只差一款」的直觀語句顯得不完整，因為欠哪一款、抽中概率多少及直接市場價格如何才是決定因素。當所有款式均可直接購買，完全直接買齊八款是可行政策，期望總成本為 $8b$；最優混合政策不可能比所有可行政策還昂貴。以此上界檢查程式輸出，也能防止因分支比較錯誤而得到不合理的大成本。

6.6 用期望種類數分析進度錯覺的數學成分

對款式 $i$，定義指示變數 $I_i(t)$：若前 $t$ 盒已有該款便為一，否則為零。每盒均不中該款的概率是 $1-p_i$，連續 $t$ 盒都不中的概率是 $(1-p_i)^t$，故該款曾出現的概率為 $1-(1-p_i)^t$。因為總不同款數 $K_t=\sum_i I_i(t)$，即使指示變數之間相關，期望線性性仍成立：

此式讓我們完全不必模擬便可畫出「買了若干盒後，平均有多少種不同款」的收藏進度曲線。對於七款各 14% 而稀有款 2% 的配置，普通款幾次抽樣後便逐漸齊集，稀有款的缺席仍可能持續很久。當已抽五十盒時，稀有款仍未出現的概率是 $(0.98)^{50}\approx0.36417$；這個事件本身必定代表未完成全套，故它給完整未完成概率一個下界。另一方面，即使稀有款已出現，仍可能缺某一普通款，故實際全套未完成概率可稍高於下界。兩者相差多少，可以用前述容斥公式準確計算，而毋須猜測。

所謂「看到七款就接近完成」，若是以款式百分比計算，的確已完成八分之七；若是以預期剩餘支出計算，卻可能仍有幾十倍單盒價值的成本。這種指標不相容足以解釋部分日常經驗的反直覺性，無須自行發明消費者心理數據。但它亦不能排除人可能擁有真正的後悔、沉沒成本偏誤或收藏快樂。本文只證明即使由完全清楚概率、能作理性決策的假想收藏者操作，收集進度與剩餘平均成本仍可能嚴重脫節；涉及人類的因果解釋則應留待實際行為研究。

7. 研究結果

7.1 純盲抽完成時間：平均值和分布的兩幅面貌

實際執行分析程式後，八款均等概率的精確完成期望是 21.742857 盒，七款各佔 14%、稀有款佔 2% 的精確完成期望則是 53.542649 盒。後者超過前者約三十一點八盒，倍率約為 2.46；而且最稀有款單獨的首次出現期望已經是五十盒。由此可見，兩種情境擁有完全相同的款式數和每盒價格，僅機率向量的不同就足以令期望完成支出增加超過一倍。另一種集合動態規劃得到 53.542649 的相同結果，在小數計算容忍度內通過交叉驗證。

十八千條獨立合成盲抽序列的樣本平均是 53.508833 盒，樣本均值標準誤差為 0.348267 盒，與精確答案的差距僅 0.033816 盒。這個差距遠小於蒙地卡羅本身的計算波動，並不足以證明模型對真實消費行為的預測準確；它支持的是模擬程序確實執行了所聲明的概率機制。每條路徑由第一盒開始記錄，直到所有不同款式均出現才結束，因此不會因設定最大購買次數而把長尾路徑錯誤截斷，並避免由右設限導致的均值低估。

7.2 稀有度敏感度和政策成本

由圖一可以看到，單一稀有款機率從 12.5% 降至 1% 時，純盲抽完成期望從 21.743 盒升至 101.886 盒；當稀有率是 4% 時，期望為 31.318 盒；2% 時是 53.543 盒。這項上升來自抽中稀有款的幾何等待，不是對某一品牌製造工藝或隱藏政策的估計。相反，允許每款十五單位直接購入的最優成本，當稀有率分別為 1%、2% 和 4% 時是 30.866、29.027 及 26.353 單位。因為昂貴尾端可以切換至確定性購入，最優政策對極端稀有率的敏感度較小。

圖 1. 單一稀有款的機率由 1% 至 12.5%，其餘七款平均分配剩餘概率。實線分別表示完全盲抽的期望盒數，以及容許直接購入時的最優期望成本；數據類別為解析計算，來源為本研究之分析程式及 rarity_sensitivity.csv。橫軸只表示合成參數，並非實測市場稀有率。

從決策可行集合來看，即使稀有款達到 1% 時最優成本仍高於兩成多個單位，也不意味著直接購買選項失效。較高的總成本主要來自收集其他常見款時的盲抽及逐步轉換支出；直接買稀有款雖可節省最後的百盒幾何等待，卻不會讓整套收藏在零成本下自動完成。模型指出的是相對節省，不是「交易渠道一開放所有機率風險立即消失」。直接購入選項亦未必在每個狀態都被選中，因此可通過檢查每個位元集合的決策表來核對，政策確實同時使用兩類動作。

7.3 尾部概率揭示平均值以外的風險

圖二把精確的 $P(T>t)$、單獨仍未抽中稀有款的概率與十八千條合成路徑的經驗尾部比例放在同一張圖。當已經抽了五十盒，稀有款仍未出現的概率為 0.36416968，而全套仍未完成的精確概率為 0.36673836，兩者只相差約 0.00257。這個差值是「已有稀有款卻仍缺普通款」及相關事件的淨效應，顯示在這個特定八款參數下，長尾確實幾乎由最稀有款控制；但在其他配比中，若有兩三款同樣稀有，不能照搬這個近似。

圖 2. 橫軸是已購盒數，縱軸是尚未完整集卡的機率；連續曲線為精確公式，虛線為仍未抽中稀有款的下界，散點為十八千條合成序列的實際未完成比例。參數為 $r=0.02$、其他七款各 $0.14$。原始數值見 exact_tail.csv；圖中散點是電腦模擬，並非人類樣本比例。

若有人以「抽到平均所需盒數附近便應該完成」作定價預算，其思考方式忽略了分布的長尾。第五十盒仍有約三成六機率未完成，表示單次收集活動若沒有交換渠道，支出可能遠超五十盒而不代表模型遭到違反。相反，三成六也不代表七成的人會選擇放棄或有購物問題，因為模型只給概率事件，沒有提供任何動機、資產或偏好資料。對應的可檢查結論是：假設固定且獨立，生存曲線由概率向量決定；只有在另外觀測行為選擇後，才可以進一步研究概率風險如何影響真實決策。

7.4 最優交換策略的成本及價格敏感度

對單盒成本一單位、直接購得任一缺款價格十五單位的參數，完整策略的精確最優期望成本為 29.027081 單位，低於完全盲抽的 53.542649 單位。十二千條使用這張決策表的獨立合成路徑，得到平均總成本 29.1055 單位、標準誤差約 0.07937 單位。模擬與理論差距約 0.0784 單位，與有限重複試驗的誤差量級相符。這裏的成本單位沒有實際貨幣意義；若一盒和直接價格均按同一比例乘上港元單價，所有期望成本亦會按相同比例縮放。

圖 3. 令稀有款概率固定為 2%，掃描每款直接購入價格五至六十單位。曲線代表每個價格都重新求解過的最小期望成本，與全盲抽的水平基準、全部款式直接買齊的上界比較；來源為本研究解析動態規劃與 direct_price_sensitivity.csv。圖中線段連結離散測試價位，不能視為交易平台的實際供求曲線。

具體而言，當直接價格為五、十、十五、二十與三十單位時，最優預期成本分別為 20.380、25.525、29.027、32.529、39.534 單位。只欠稀有款的狀態中，直接購入與盲抽的臨界價格是五十；在其他集合下，直接購買某一款所造成的後續狀態變化也會影響政策切換，因此整套預期成本曲線未必在所有價位只由單一門檻控制。當價格十分高昂，直接購買便不再帶來成本優勢，最優策略逐漸回到純盲抽，這個趨勢符合可行策略集合的直觀比較與 Bellman 方程。

7.5 收藏進度的早快晚慢

圖四畫出兩種分布下 $E[K_t]$ 的精確曲線。稀有款 2% 的情境，在五、十、二十、三十和五十盒後，期望不同款數依次約為 3.803、5.634、6.990、7.379 和 7.632。尤其當抽至二十盒時，平均已有接近七款，卻仍要承擔非常長的稀有款等待；在五十盒後，平均款數甚至超過七點六，卻不代表絕大部分路徑已經完成全部八款。因為 $E[K_t]$ 可以對各種未完成狀態取平均，同一個期望值不能表示單個收藏者已收齊哪些款式，也不能推出完整集卡的概率。

圖 4. 橫軸是抽盒數，縱軸是平均不同款式數；實線比較稀有配置和八款等機率配置。圖中水平參考線標示七款，所有曲線由指示變數線性期望直接計算，數據見 distinct_count.csv。此圖以同樣的款式數和不同分布解釋前期回饋與最後稀有等待可同時存在。

這項結果回答第三個研究問題：即使所有消費者都完全了解抽中機率，也沒有產生任何判斷偏差，他們仍可在很早的階段得到多數款式，隨後在少數缺口停留很久。「已完成多少款」作為畫面上的進度條，沒有把最困難一款的等待成本按比例放大，因而會讓前期成功經驗難以換算成最後完成的預算需求。這是進度指標的數學性質，不足以單獨證明消費者受到了商業操控。模型提醒任何設計進度介面的人，應說明進度是款式數、已付費盒數還是完成概率，以免一個單一百分比同時承載彼此不一致的含義。

8. 討論

8.1 三個研究問題的綜合解讀

對 RQ1，精確計算表明機率分布的非均勻性足以顯著改變完成套裝的平均盒數，且尾部不能由均值單獨描述。在本文八款案例，2% 稀有款把平均盒數由均勻的二十一點七提升至五十三點五，而且第五十盒仍有超過三成六機率未完成。對 RQ2，從所有集合狀態解出的 Bellman 策略嚴格優於或等於純盲抽，十五單位直接購入選項大幅截斷了需要重複等稀有款的額外支出。對 RQ3，期望種類數曲線與完成時間尾部曲線形狀不同，清楚展示前期看似進度理想與末期等待漫長可以自然共存。

這些數字的研究價值在於各自回答不同問題，而不是只作宣傳式的「省下百分之幾」比較。消費者若重視預算風險，會關心在某個購買上限仍未集齊的概率；若已擁有某七款，就應查其當前狀態的剩餘期望，而非用從零開始的總平均；若直接價格隨市場而變，就應重新計算政策，而非延用固定價格的最優決策。把模型拆成明確的概率輸入、狀態和成本輸出，也有利於日後加入公平的政策設計，例如公開掉落概率、容許指定款交換、提供購買前的成本分布指引。

8.2 不應把數學等待時間當成情緒診斷

盲盒話題很容易滑向沉沒成本、賭徒謬誤或缺乏自制力的評論，但本文沒有任何真實參與者資料，也未觀察同一個人如何因重複款改變行為。這裏討論的長尾即使在沒有心理偏差的理想隨機序列中都存在，因此它是必要的機制基線，不能反過來當成人類心理的直接證據。若一個真實收藏者選擇花錢繼續抽，也可能是因為享受拆盒、希望收集重複款送人，或者無法在當時買到指定款；單靠概率模型不能判斷這些選擇是否理性。

數學上的「理性」亦依賴目標函數。本文假定務必集齊八款，僅比較付出多少成本；真實個人可能只在某些款式具有特定價值，或在某段時間後轉而追求其他收藏。若完整收藏的效用低於所需支出，理性人可以選擇不開始或中途停止；此時本研究列出的 29.027 單位只能代表達成固定目標的最低期望費用，不能當成應該投入的建議預算。因此學術上的規範性政策計算，必須與價值判斷清楚分開。

8.3 模型推論能否延伸到工程系統

coupon collector 不只描繪公仔收藏，也刻畫由獨立離散結果逐步覆蓋全部類別的過程。例如軟件測試若希望在隨機輸入中看到全部指定錯誤類型，極少發生的輸入類別會主宰完整覆蓋時間；如果工程師能直接設計某個測試樣本，它在數學角色上就像直接買指定缺款。此時盲抽可能代表便宜但不可控的隨機生成，直接購買代表昂貴但確定的定向測試。將兩者放入同一個成本控制方程，可以討論何時應停止隨機測試並轉向目標式測試。

上述工程類比有清楚界線：真正的軟件測試可能一次發現多種錯誤，而測試生成器亦會根據先前發現的缺口重新調整分布。這些情況破壞了本文一盒只產生一類、固定概率且相互獨立的假設。工程上的目標也可能是容忍漏掉極罕見類別，而不是強制完全覆蓋。類比的研究用途，是找出可以遷移的狀態與成本建模方法，不是直接把八款收藏的具體數值套用在另一個領域。

8.4 指標選擇及市場透明度的含義

若商品宣傳只寫「有八款可收集」，但不披露款式機率，就無法僅從款式數量預測完成全套的期望成本。兩個產品可以在外觀上相同、每盒同價，卻因機率分布不同而有完全不同的長期負擔。本文的模型並未查證任何品牌是否披露概率，故不對特定企業下判斷；它提出的是一個透明的資訊要求：能計算完成時間需要每款機率，而不能只有產品清單。把機率與購買上限配合呈現，亦可以使收藏者更容易理解長尾風險。

另外，開放合法的指定款交易會改變完整收藏的最小期望成本。當最後欠的是極稀有款，確定價格可以防止無限制地重複購買；但若直接購入價格過高，原有機率成本仍然可能更小。這種政策具明確門檻，不是抽象地宣稱「任何交換都好」。若實際市場涉及平台佣金、欺詐風險、配送費及品質差異，應把所有這些成分加入直接購買成本，不能只用標示價格作理想化比較。本文用玩具模型提供的是比較方法和該方法的限制，而非市場監管的實際成效評估。

9. 研究限制

9.1 分布假設與資料來源

最大限制是所有抽中概率皆為作者設定，沒有接入真實盲盒購買紀錄、廠商機率表或跨批次抽樣資料。若存在保底機制，每抽數盒後出現某款的機率可能改變，便需要一個記錄連續失敗次數的額外狀態；若商家在不同時段使用不同批次，各盒也不再同分布。若同一盒可同時包含數件商品，轉移會由增加一個款式變成增加一個子集。這些制度變化不代表原模型算錯，而是原有假設已失效，應重新建模及驗證。

直接購買被抽象為不受供應影響的確定交易，亦可能低估搜尋、欺詐、運費、交易失敗及價格波動；模型並沒有加入可借換重複款的收藏者網絡，故無法研究多人交換的集體效率。單位成本刻意不代表港幣，因而不能推算實際家庭開支。完整收藏被指定為唯一目標，也排除了個人美感、拆盒娛樂和理性的放棄選項。最後，模擬的標準誤差只估算在設定概率下有限條電腦路徑的計算波動，沒有任何對現實市場參數不確定性的估計。

9.2 學術推論及演算法適用性

模型只研究八款小型狀態空間，容斥和集合枚舉都具有指數複雜度，不能不經計算就宣稱方法可處理數千款商品。本文採 64 位浮點運算，對極端稀有率或大量互相抵消的容斥項可能產生數值不穩定；擴充時應考慮高精度、動態規劃優化及誤差界。文獻引述以已核對之出版社公開資料及摘要為限，未取得完整付費全文的研究不會被描述成逐頁通讀。四名內部 reviewer 只是角色模擬核查，並未經正式外部同行評審。

10. 結論

本文把看似滑稽的「只差最後一款，為何愈抽愈遠」改寫成可明確求解的隨機覆蓋問題。在八款等機率時，完整收集期望為 21.743 盒；當一款只有 2% 機率、其餘七款各 14% 時，期望升至 53.543 盒。只欠稀有款的平均盲抽等待是五十盒，而直接購入價格十五時應立即購買；允許兩類動作後，最優混合政策將從零開始完成套裝的平均成本降至 29.027 單位。所有關鍵結果均有容斥、集合動態規劃或獨立模擬作核對。研究的結論限於固定、獨立及完全公開的合成機率模型，不代表對真實消費市場或收藏者心理的實證發現。

11. 未來研究方向

第一個延伸是結合可合法取得的真實掉落紀錄，建立模型參數的估計問題；例如按批次和日期比較抽中機率，判別資料是否支持固定獨立假設，同時報告不確定性而非憑小樣本斷言機率操控。第二個延伸是將同一套收藏的理性「停損」納入終端效用：收藏者可在每一步停止，並把已擁有款式的個別價值納入 Bellman 方程，從而把固定完成目標改為真正的個人最適決策。第三個延伸是允許多人交易、重複款交換、保底、批量抽取和隨時間調整的機率；這些變化可能需要網絡流、馬可夫決策過程、整數規劃或近似動態規劃等工具。

這些未來方向的共同要求是先界定可觀察資料及其來源。若要研究消費者對早期收集進度的心理反應，必須另外設計知情同意的行為研究，量度風險感知、放棄意願和預算決策；本文沒有這些資料，故不作臆測。研究所真正希望保留的是一種方法：有趣的日常描述可以刺激研究問題，但數學答案必須讓讀者在公開參數下重算，模型的适用邊界亦須比幽默句子更加清楚。

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