The self-checkout bottleneck

Why Do More Self-Checkout Kiosks Still Leave Everyone Waiting for One Attendant? A Blocking Queueing Model

研究類型： 原創理論與合成離散事件模擬研究；無真實零售場景測量。作者端已完成基準運算核對及模擬四角色內審；正文模型的合成數據及其外部效度限制應連同程式與審查紀錄閱讀。

中文摘要

自助結帳看來是將一個收銀員的工作分散給數台機器，然而當系統需要人手核查、解除掃碼錯誤或授權時，原本獨立的機器便共享一項不能同時複製的人工資源。本文以有限台結帳機、共享職員、Bernoulli 求助事件及占機等待為基礎，建立兩層資源阻塞的排隊模型。透過更新過程，導出單機飽和完成率及多機系統受人工資源限制的吞吐上界。另設計永遠有客與有限 Poisson 到達兩組固定種子離散事件模擬，量度吞吐、求助輪候、顧客在系統總時間及九十分位時間，並比較多一部機器與多一名職員的差異。基準假設每台掃碼平均四分鐘、每次求助平均四點八分鐘、求助概率四分之一，故單機理論完成率為每分鐘約 0.19231 筆，而單名職員限制的全系統完成率上界為每分鐘 0.83333 筆。這兩個數值均為模型解析量，並非超市觀察結果；其餘蒙地卡羅輸出保留在資料檔供交叉核對。研究揭示「無人收銀」的擴容涉及兩種互相關聯的資源，只有同步分析被阻塞的機器及職員求助隊列，才可理解局部效率提升與整體容量上限之間的差別。

關鍵詞： 自助結帳；排隊論；阻塞網絡；共享人手；吞吐量；離散事件模擬；尾部風險

Abstract

Self-checkout kiosks appear to replace one cashier with many parallel service stations. Yet an attendant intervention can block a kiosk while customers wait for a shared human resource. We construct a two-resource blocking queue with exponential scanning and assistance times, an independent Bernoulli intervention indicator, a finite number of kiosks and a pooled attendant queue. Renewal arguments provide an exact single-kiosk saturation rate and a bound on attainable throughput set by human service requirements. Reproducible discrete-event experiments cover saturated demand and finite Poisson arrivals, contrasting kiosk expansion with staff expansion. With stipulated means of four minutes per scan and 4.8 minutes per intervention and an intervention probability of 0.25, the analytical single-kiosk throughput is 0.19231 transactions per minute and the one-attendant upper bound is 0.83333. These are model calculations rather than observations from retail stores. Simulation records and figures are provided as synthetic computational artifacts. The framework clarifies why increasing automated capacity may shift congestion to a shared intervention stage.

Keywords: self-checkout; queueing; blocking networks; pooled servers; discrete-event simulation; service capacity

1. 引言：當十部機器同時呼叫同一個人

超級市場的自助結帳區常以一排外形相似的機器呈現。顧客看見增加機器，自然推斷可以同時完成更多交易。然而一台機器並不是完全自足的微型收銀員：有些交易需要人工確認商品、處理意外掃描、重新啟動介面或排解疑問。當畫面停在需要協助的狀態，即使機器內的電子處理器有足夠空閒運算能力，完成該筆交易仍需要等候同一名職員。設備與人工的數量因此屬於不同的容量維度。研究問題的荒誕之處，是一個理應節省人手的系統可能把顧客的等待集中成「全部人等一位職員」；其數學本質則是具有共享瓶頸與服務阻塞的排隊系統。

若只統計機器的掃碼速度，容易誤認只要增添終端設備，總服務能力就會按機器數目線性上升。這種直覺隱含了各台設備互相獨立、交易在電腦完成計算後即被釋放，以及人工故障處理沒有排隊成本等假設。一旦任何一項條件不成立，線性外推便缺乏根據。本文把服務拆成兩個有先後關係的階段：首先顧客占用機器自行處理交易；在一部分情況下，必須轉入共享人手協助。關鍵補充是受影響顧客在等待及接受協助的整段時間仍占用原機，不能讓下一位顧客使用。這種阻塞反過來減少前端掃碼的可用機器數，讓原本位於第二階段的慢速服務影響第一階段的進入速度。

研究不預設自助結帳比人手結帳差，也不意圖驗證任何零售品牌的勞工配置。本文目標是找出一組明確條件：在甚麼負荷下，新機器提高吞吐？在甚麼負荷下，共享職員構成不可跨越的容量上界？增加機器能否同時縮短顧客入站隊列與延長求助輪候？只使用平均時間，會否掩蓋最久等待的顧客？這些問題可以由理論上界、負荷率、事件模擬及尾部統計相互補足。

本文的主要貢獻有三個。第一，把「需要人工授權」形式化為 Bernoulli 路由事件，對交易的人工工作需求建立可重現的下界論證。第二，將機器阻塞納入有限台排隊模型，清楚說明何以普通獨立服務台的近似可能失效。第三，以飽和與有限到達兩種實驗分辨產能與顧客體驗；前者回答系統最多可以處理多少工作，後者回答指定到達率下每個人等候多久。兩者不可混為一談，因為飽和模型中永遠有等待者，而有限到達模型未必每一刻都有顧客。

從方法論來看，這種安排亦有助避免常見的模擬誤用。離散事件模擬不是現場觀測，隨機種子也不是研究參與者編號；如果模型假設錯誤，再精確的 Monte Carlo 平均亦無法替代實證驗證。所有建模參數均由研究者設定，作用在於展示邏輯上可能的容量限制，不表示實際超市的求助比率、掃碼時間或人手服務分布。研究結論主要為條件性的結構結果，對真實店舖只能提出值得進一步量測的假說。

2. 文獻回顧：並行服務、網絡與被忽略的阻塞

排隊論的基本研究對象包括到達過程、服務機制、隊列規則及有限資源。Jackson（1957）研究相互連接的等待線，展示多個服務節點間的流量與平穩狀態如何建模。這為把單一結帳動作拆成不同服務節點提供重要概念參照，但本文不能直接引用 Jackson 的特殊平穩乘積形式，因為機器在等候職員時沒有釋放。顧客在兩種資源間具有同時占用的情形，與簡單的每站完成就移到下一站不同，會產生額外狀態依存性。書目中的基礎方法只能說明研究屬於排隊網絡問題，不能自動證明我們所用隊列的精確分布。

Little（1961）證明在指定平穩與可積分等條件下，平均系統人數、到達率與平均逗留時間滿足 $L=\lambda W$ 。這個等式廣泛適用於穩定系統，但不是一種預先指定平均等候時間的魔法。若一個隊列進入無法穩定清空的過載狀態，簡單把總工作量除以服務員數量並代入 Little 定律，可能得出貌似合理但缺乏平穩意義的結果。因此本文分別報告有限到達與飽和設計，並檢查到達負荷是否可能超過人工服務能力；有限時間內程序仍能清空，不等於其無限期間理論平穩性已獲證明。

Halfin 與 Whitt（1981）對大量指數服務員系統的重載極限進行研究，說明增加服務員及接近完全使用率時，等候機率與等候時長需要一起考慮。van Leeuwaarden、Mathijsen 與 Zwart（2019）整理多服務員系統的規模經濟及 QED 近似，解釋在增加容量時如何保持品質及效率。本文借鑑「容量與體驗並非同一個變數」的思路；不過本研究的關鍵案例只有一至兩名共享職員，既沒有無限多服務員，也有阻塞機器，故不能把這些文獻的極限定理原封不動套用。我們僅把其研究作為設計多資源比較與解讀尾部等待的理論背景。

資源共享不一定單方向改善服務。Mandelbaum 與 Reiman（1998）指出排隊網絡中的 pooling 可能有利益與代價，其效果受系統結構影響。這點與零售現場的直觀問題密切相關：讓所有機器共用一名職員，能降低閒置職員成本，但同時創造跨機器競逐的人手服務點。相反地，如果每台機器都有專責職員，人力成本顯著提高，亦可能浪費低求助率情景下的人力。本文不在兩者間預設價值判斷，而是選擇人手數量作為政策變數，透過可重現情境觀察邊際效益；職員人數的增加有機會改變阻塞，卻不保證所有負荷下均值得增加。

在直接研究自助結帳的文獻方面，Demirci Orel 與 Kara（2014）對實際使用過自助結帳的顧客進行服務品質、滿意度及忠誠度研究。該文說明顧客體驗本身是值得測量的對象；但我們沒有把其顧客資料借用為交易時間分布，也沒有聲稱其提供本文四分之一求助概率或四點八分鐘人工服務的經驗估計。前人有實際顧客資料，不代表新論文自動繼承該資料的代表性。本文計算的是一個設計好的人工世界，零售資料只提供研究主題存在的背景，不提供本文模型係數。

上述六篇研究在學術脈絡上各司其職：網絡結構、平穩量關係、多服務員重載、pooling 權衡、自助結帳顧客體驗及規模效應。其出版資料已根據公開出版者或學術機構記錄作書目級核對，詳細列於 Reference_Check.md；本稿未聲稱精讀所有出版物全文。文獻回顧並非將多篇有關「效率」的論文堆疊成模型已獲驗證的證據，而是要清楚指出本研究哪個環節可以借助經典概念，哪個環節必須用獨立推導或程式檢查。

3. 研究問題、假設與可否證性

RQ1： 當每筆交易有固定概率需要人工協助時，共享職員為系統造成甚麼可解析的吞吐上界？本問題可透過守恆量回答。若長期完成交易速率為 $X$ ，每筆平均創造 $p$ 次人工工作，則長期人工工作到達速率約為 $pX$ 。每名職員每分鐘平均可以完成 $\mu_h$ 次人工服務；當職員數為 $c$ ，總人工工作容量是 $c\mu_h$ 。若系統長期不可能以高於平均能力的速度完成求助工作，便有 $pX\leq c\mu_h$ ，所以 $X\leq c\mu_h/p$ 。需要注意這是必要容量條件及上界，並不證明上界一定可達。

RQ2： 在永遠有下一位顧客的飽和情況下，增加機器是否造成收益遞減？這裏預期機器數少時，增加機器可讓職員處理多台機器產生的交錯求助；當機器數很多，職員可能幾乎連續忙碌，完成率便逐步受人工工時限制。這個「趨近上界」是需用合成模擬檢驗的現象，而非無條件數學定理：在某些服務結構，機器數增加只改變求助輪候，對完成率改善甚微；在不同服務時間分布下，收斂速度亦可能不同。

RQ3： 在有外部顧客抵達的系統中，多一台機器與多一名職員，如何分別影響入站等候、求助等候與整體逗留時間？單一平均值不足以回答，因為求助等待只影響一部分顧客，但被阻塞機器令其他毋須求助的顧客亦需要在入口等待。因此須同時保存全體顧客平均總時間、首次使用機器前的等待、求助顧客的條件平均人工等待，以及總逗留時間九十分位數。每一統計量都有不同母體，不可將「有求助者的平均等待」錯稱為全體顧客平均時間。

RQ4： 求助概率上升能否使原本足夠的機器數及職員數突然不足？考慮必要條件 $\lambda p E[H]<c$ ：當 $\lambda$ 固定，提高 $p$ 使職員負荷增加。若該乘積不小於 $c$ ，長期持續抵達的無棄隊穩態便不能期待；反過來說，即使此條件成立，機器被阻塞仍可能構成另一個限制，所以它不是整個系統穩定的充分條件。此區分是模型方法上的重要防錯措施。

本文設立三項事前的方向性假說。H1：飽和單職員情況下，機器數增加能在一定範圍增加吞吐，但不能使長期吞吐突破人工容量上界。H2：求助概率或人工協助時間提高時，固定外部抵達率下的服務壓力上升，並可能顯著改變尾部等待。H3：在某些負荷下，增聘第二名職員較再增加幾部機器更有效；但是否發生取決於掃碼、人工、到達和設備數四個參數，因此不宣稱處處成立。H1 中的不可超界部分為工作量守恆推論，其他部分需檢視模擬、敏感度與穩定性。

可否證性的要求是：模型應提供明確可失敗的預測，而不是用漂亮圖形保證任何結果。若飽和模擬在長期平均下超越職員容量上界過多，程式或計數窗口有錯；若單台機器且沒有人工競爭時的模擬完成率與更新平均有系統偏差，事件邏輯應重新檢查；若提升求助概率後某些有限樣本曲線沒有單調上升，不可刪掉結果，應檢查抽樣誤差和參數交互作用。經驗研究日後亦可直接量度每筆人工服務時間、求助概率、逗留時間和阻塞比例，檢驗指數分布與獨立假設。

4. 理論框架：兩種資源與一種交易

定義 $M$ 為結帳機總數， $c$ 為可以同時提供人工協助的職員數， $\lambda$ 為每分鐘外部顧客抵達率， $S$ 為初步掃碼階段用時， $H$ 為需要協助時的人工服務時長。每筆交易的求助指示變數 $B$ 取一或零，且 $P(B=1)=p$ ，不需要協助的概率為 $1-p$ 。基準設置中， $S$ 與 $H$ 均為獨立指數隨機變數，均值分別四及四點八分鐘； $B$ 與所有服務時間獨立。均值是合成情境參數，不是特定商店的量測或行業標準。

系統有兩個有限資源集合。第一個是 $M$ 台機器，每台在同一時刻只能被一個顧客占用。第二個是 $c$ 位職員，每位同一時刻只能處理一項求助。新顧客從共同先到先服務入口隊列分派至空機。開始掃碼後，若 $B=0$ ，掃碼完成即離開，機器轉交下一位顧客；若 $B=1$ ，顧客在原機器進入求助隊列，直到職員完成服務才離開。對求助階段來說，顧客同時持有一個機器位置與排隊等候另一種資源，形成阻塞。這種「持有而等候」與掃碼完成就把機器釋放的模型不同，亦會令機器數與人工排隊長度相互影響。

在給定服務完成次數 $N(t)$ 的窗口內，可以用流程守恆理解人工需求。每次離開的顧客都對應一筆先前的 $B$ ，長期平均求助總次數與完成交易總數之比，在獨立 Bernoulli 假設下應趨於 $p$ 。人工服務占用的總時間則近似完成的求助次數乘以 $E[H]$ ，再扣除窗口邊緣正在服務的尾段。當觀測時間持續增加，有限數目的職員不能以超過 $c$ 個職員分鐘／每分鐘的平均速度提供人工工時。由這個事實可導出工作量上界；它不需要 Poisson 外部抵達，亦不必假定求助時間為指數分布，只需要穩定的平均人工工作需求和有限平均時長。

然而，容量上界並不是等待公式。以 $X\leq c/(pE[H])$ 推得職員容量，只知道最多可以完成多少交易，不能直接計算顧客會等候多久。當職員利用率接近一，即使平均服務能力仍稍大於平均流入工作量，等待時間亦可能很大；顧客抵達與服務的隨機變異令連續多次求助相互重疊，短時間負荷就可超過可用人手。阻塞再令未受助顧客等待機器。因此本文分開研究容量與時間，沒有把兩者當成同一項品質指標。

此模型刻意不用「所有顧客行為都理性」的假設。顧客未被賦予是否排隊、是否棄隊或轉到人手收銀的策略決策；他們純粹按規則到達、等待與完成。這種簡化使容量效應易於解釋，代價是無法處理選擇偏差。例如真實消費者可能因隊伍太長而改用另一種付款方式，導致入場客流並非固定 Poisson 過程；現場人手亦可能主動在機器間走動，而非在服務結束時瞬間可以接下一項請求。因此此模型適合作為待檢驗基線，而非零售商的即時排班決策引擎。

5. 數學模型：更新報酬與共享服務上界

先考慮只有一台機器、永遠有顧客、只有一位職員的情景。既然只有一部機器，任何時刻最多一筆交易需要人工協助；不存在兩個不同機器的同時求助。因此每筆完成交易的占機時間為 $T=S+BH$ 。由期望的線性性， $E[T]=E[S]+E[BH]$ ；在 $B$ 與 $H$ 獨立時， $E[BH]=E[B]E[H]=pE[H]$ 。長期獨立更新下，每筆完成交易的平均週期為 $E[S]+pE[H]$ ，所以單機飽和吞吐為

X_1=\frac{1}{E[S]+pE[H]}.

代入基準 $E[S]=4$ 分鐘、 $E[H]=4.8$ 分鐘及 $p=0.25$ ，得到 $E[T]=5.2$ 分鐘， $X_1=1/5.2=0.1923076923$ 筆／分鐘。這並不是任何一台現實機器的規格，只是模型最容易獨立檢查的解析基準。如果模擬輸出的 $M=1$ 長期吞吐與此值相差遠超合理隨機誤差，不能以「蒙地卡羅本來就會波動」作為唯一解釋，應重新檢查是否重複計數幫助完成事件、是否漏記不用幫助的交易，或是否錯誤地讓機器同時服務兩筆交易。

考慮一般的 $M$ 與 $c$ 。令長期交易完成率為 $X$ 。因每筆完整交易平均使用一次掃碼服務，所有機器可提供的掃碼時間總和至多每分鐘 $M$ 機器分鐘，故有 $XE[S]\leq M$ ，推出掃碼資源的必要上界 $X\leq M/E[S]$ 。若每筆以概率 $p$ 要求人手協助，每筆平均人工工時為 $pE[H]$ ，相同守恆方法給出 $XpE[H]\leq c$ ，因此

X\leq \min\left\{\frac{M}{E[S]},\frac{c}{pE[H]}\right\}.

由於本模型在求助時沒有釋放機器，所有交易還有本身占機時間 $S+BH$ ，因此可建立更緊的基準必要條件 $X(E[S]+pE[H])\leq M$ 。於是系統總交易率必須滿足

X\leq \min\left\{\frac{M}{E[S]+pE[H]},\frac{c}{pE[H]}\right\}.

實際吞吐通常嚴格小於這個上界，因機器還會在取得人工協助前排隊，這段等待持續占用機器，卻沒有計入 $E[S]+pE[H]$ 的平均純服務工作。這正是阻塞造成的額外容量損失。若 $p=0$ ，人手容量限制不適用，應把第二項理解為無窮大；若 $p>0$ ，基準單名職員的人工上界為 $1/(0.25\times4.8)=0.8333333333$ 筆／分鐘，而雙職員的對應容量上界為每分鐘 1.6666666667 筆。它們均是條件式解析上界，不是模擬吞吐值，更不是實測客流量。

機器阻塞對流量的影響可以進一步表達。若一筆需要協助的交易，在掃碼後至人工服務開始前平均等待 $W_h$ ，則假設系統穩定、顧客類型與觀察窗口一致，平均占機時間可寫成 $E[T_{\mathrm{kiosk}}]=E[S]+p(E[H]+E[W_h\mid B=1])$ 。由機器總容量推導

X\leq \frac{M}{E[S]+p(E[H]+E[W_h\mid B=1])}.

這個關係帶有內生性： $W_h$ 又由 $M$ 、 $c$ 、交易流量、求助時間變異及排隊規則決定，所以不能先任意指定 $W_h$ ，再把右邊稱為獨立求得的最佳吞吐。它主要是一個檢查模擬含義的占用恒等式。增加 $M$ 令分子增加，但同時可能令更高比例機器等候職員，亦使條件平均人工輪候變大。當全系統的瓶頸轉移至職員，機器資源增長的邊際收益便下降。

在有限外部到達情況，長期每分鐘進入約 $\lambda$ 筆交易。若希望全部顧客最終完成而沒有穩態積壓，至少要讓 $\lambda p E[H]<c$ 及 $\lambda E[S]<M$ ，且因阻塞，單純滿足兩個工作負荷條件未必足夠。將人工負荷寫成 $\rho_h=\lambda pE[H]/c$ ，可見即使求助概率不高，當外部流量很大或人工服務時間很長， $\rho_h$ 仍可能接近一。基準每位職員每次協助四點八分鐘、四分之一交易需要幫助，如果每分鐘進入 0.55 位顧客，人工負荷就是 $0.55\times0.25\times4.8=0.66$ ；當進入率增加到每分鐘 0.65，人工負荷便升到 0.78。這些負荷率為參數代入得到的確切算術，並非任何商舖的營運指標。

作為直覺對照，若求助事件本身能形成獨立 Poisson 流、且服務時間為指數，孤立的一人求助站可使用 M/M/1 平均排隊公式。但本研究不能將它當成準確解：求助請求實際由正在占用機器的顧客生成，而有限 $M$ 的阻塞會抑制後續求助產生，導致到達求助站的過程受系統狀態影響。更重要的是外部到達尚需等待機器，不能直接視為向人工站輸入強度 $\lambda p$ 的獨立 Poisson 流。本研究只把該近似用作說明利用率接近一時排隊可能急增的概念，精確數值由事件模擬自行計算。

6. 計算實驗設計、資料類別與重現方法

程式 analysis.py 將所有實驗視為合成離散事件系統。用 NumPy 固定種子產生服務時間與到達間隔，並以事件優先佇列依時間順序處理。事件分為顧客到達、掃碼完成及人工求助完成三類。每台機器在同一時刻最多處理一位顧客；每名職員在同一時刻最多解決一項求助；共同機器入口及人工求助使用先到先服務規則。模擬不假造顧客訪談、實體超市觀察或經驗統計檢定，所有圖表標明 theoretical 或 synthetic 的性質。

第一組實驗為飽和供給。每台機器一完成交易，立即獲得另一名等待中的人工生成顧客，不存在機器入口隊列的長短問題。基準機器數選擇一、二、三、四、五、六、八、十、十二、十六和二十四台；一名職員與兩名職員的服務能力作比較。觀測窗口由 12,000 分鐘至 84,000 分鐘，前段作暖機期。單筆交易不需要協助時即在掃碼完成計數；需要協助時只在求助完成計數，不可在兩個事件重複加一次。人工等候在需要協助的機器完成掃碼時起計，到職員實際開始服務為止。這樣定義才可計算條件平均等候與人工服務利用率，並避免把機器尚在掃碼的時間誤作職員輪候。

第二組實驗引入 Poisson 顧客流，抵達間隔為平均 $1/\lambda$ 的指數分布。觀測使用不同抵達率與機器數的組合，包括每分鐘 0.45、0.55 和 0.65 的研究情景；主要比較六、十與十六部機器，以及一至兩名職員。程式在到達生成窗口的末端停止創造新顧客，但仍處理已抵達交易直到所有客人離開。這個「尾段清空」方式避免把尾期完成較慢的顧客當成不存在；統計樣本則以顧客在暖機期之後而到達截止時間之前的抵達時刻決定，理應減少由完成時刻抽樣造成的偏差。由於每個情景獨立抽樣，曲線的細小非單調差異仍可能來自模擬波動；沒有額外採用共同隨機數或批次信賴區間的結果，不應聲稱微小政策差異具有顯著性。

第三組實驗固定抵達率與機器數，改變求助概率，專門檢查人工負荷變化的敏感度。每組都重新產生隨機數，使用已明列的確定種子，可由另一研究者重新執行取得相同輸出。基準 $p=0.25$ ，對照 $p=0.10$ 、0.20 與 0.32。人工服務時間均值仍為四點八分鐘，避免同時改動太多參數。若要將結果推廣到不同比例的商品核查或不同年齡層客人，則必須先取得有代表性的真實資料，估計條件分布及服務相關性；本文的敏感度只是對研究者自訂分布的內部檢查。

全部輸出位於 data/summary.json、data/saturation.csv、data/finite_arrival.csv 及 figures 目錄。程式對 M=1 更新理論與飽和模擬設有容差檢查，亦驗證人工利用率落在合理範圍內，及單職員模擬沒有明顯超出容量上界。這些檢查能排除部分明顯事件計數錯誤，卻不是算法的形式驗證，也不能證明參數符合現實。分析程式與 QA 程式已成功重跑。保存的合成摘要在基準下顯示：單機模擬完成率約為每分鐘 0.191625 筆，與解析的 0.192308 相近；二十四台機器、單職員的飽和模擬完成率約為每分鐘 0.817361 筆，低於單職員理論上界 0.833333；同一飽和情景中有求助交易的平均協助等待約 96.896 分鐘。長等待是「持續有顧客」的指定模擬極端設定，不能將此數值當作真實超級市場的觀測平均或典型等待。

在設計上，應清楚區分四種常被混用的數據名稱。第一是符號解析式，例如 $X_1$ 及人工容量上界，屬於假設模型內的數學推論；第二是合成參數，如 $p$ 、掃碼均值及 $M$ ；第三是模擬軌跡產生的完成率、等候及分位數，是固定參數下的計算結果；第四是真實超市觀察，本研究並沒有。即使模擬中處理數十萬筆生成交易，也不會因樣本數很大就變成真實世界統計調查。對外部讀者而言，這種來源分類比報告一個沒有來源的精密小數更加重要。

7. 飽和模型結果：產能增加與人工上界

在最小系統 $M=1$ ，解析單機完成率約 0.19231 筆／分鐘；單個人工服務員的上界則為 0.83333 筆／分鐘。這兩者間存在明顯差距，因為一部機器大多時間正由顧客進行掃碼，職員未必有事情可做。當增加更多機器，更多顧客能在同一時段產生求助事件，理論上提升人工利用率，亦可以讓人工資源不必等待某一台機器完成掃碼才開始下一次工作。不過超過某個數量之後，職員在任意短時間內只能做有限的工作，若求助頻繁便形成等待。故最重要的研究結果是對所有 $M$ 皆成立的上界，而不是某條特定模擬曲線的精密形狀。

圖1：飽和完成率

圖 1. 不同機器數下的合成飽和吞吐比較及單職員理論容量上界。曲線由固定隨機種子之離散事件模擬輸出；虛線為解析上界，並非用模擬資料擬合出的參數。出處：本研究 analysis.py。

圖 1 同時呈現一名及兩名職員，避免讀者誤以為增加任何單一資源都無效。對只一位職員的系統，機器數目可以增大，但上界始終由每筆平均人工工時限制；在二名職員情境，人工容量上界成倍增加，卻仍可能受有限機器及掃碼時間限制。兩條曲線的差異來自明確改變一項資源數目，不能直接解讀為特定商店增聘一人的實際投資報酬。若職員須走到不同機器且走路時間隨距離增加，實際多機系統的容量可能比這裏假設的更低。

圖2：人工求助等候

圖 2. 永遠有下一位顧客情境下，求助機器的人工等候時間與機器數量。此圖只包括提出求助者的等待，並非全體顧客總時間。出處：本研究 analysis.py。

圖 2 的解釋必須建立在樣本定義之上。當 $M$ 很小，人工職員可以經常處於閒置，求助者一旦需要協助可能立即得到處理；但較多同時活動的機器可生成重疊求助事件，形成職員隊列。因為等待協助的顧客沒有釋放機器，求助隊列不可能無限制包含超過活躍機器數目的不同交易，這種有限阻塞會制約請求產生速率。飽和系統的人工求助等待會依 $M$ 及服務規則而變動，其數值不應被替換成無限到達來源 M/M/1 的單一標準公式。

若只展示吞吐，管理者可能以為幾乎所有機器都在工作，所以系統運作良好；若只展示求助等待，又可能以為全部顧客都受相同程度影響。實際上兩種判斷可同時部分成立：較多機器讓總完成數增加，同時一些需人工協助的人在已占用機器的情況下等待更久。產能與公平感知因而屬於不同觀察維度。對飽和模型而言，機器入口必然永遠有客人，所以無法量度一個典型到店顧客「從抵達到離開」的時間；這個問題必須轉到有限外部抵達實驗。

8. 有限抵達實驗：由機器入口到整筆交易完成

有限抵達模型讓我們把抽象的「系統每分鐘完成幾多筆」重新轉化為個體顧客的經歷。每位合成顧客有一個入場時刻、開始掃碼時刻、可能發起求助的時刻、人工開始服務時刻及最終離開時刻。若交易毋須協助，後兩個時刻不存在，不能隨便填上一段人工等待。定義總逗留時間為離開減入場，首次機器等待為掃碼開始減入場；求助等待則在需要協助時才有值。對全體顧客計算總逗留均值時，包括未求助者；對求助等待的條件均值時，只包括真正需要協助的顧客。這些定義使數字有清楚的分母，減少把不同群體混作同一平均的風險。

設定有限抵達率 $\lambda=0.45,0.55,0.65$ 筆／分鐘，並以一位職員服務基準求助概率 $p=0.25$ 、平均人工時間 4.8 分鐘，可以在不依賴模擬結果的前提下推得人工負荷率分別是 0.54、0.66、0.78。這組負荷並未超過一，但與一的距離明顯縮小。所謂負荷率 0.78，是指在長期平均入流全部完成、每筆平均人工工作需求符合假設時，人工服務工作約占單職員理論容量的七成八；並非量度到職員有七成八時間在櫃台工作，也不包括走路、交接、休息或處理與求助無關的工作。數值只是研究者參數乘積的算術。當人工負荷越接近一，服務時間的隨機波動便越值得重視，因為偶然的連續求助會較難被往後空閒時間消化。

圖3：有限抵達下機器數量與逗留時間

圖 3. 兩組有限 Poisson 抵達率下，不同機器數的合成平均總逗留時間。每條路徑由指定固定種子獨立產生；在最終發表前需以 data/finite_arrival.csv 核對各個座標值。出處：本研究 analysis.py。

圖 3 的作用不在於給出一個普遍「最少需要十台」的答案，而在於分開兩種增加設備的效果。若原先機器數太少，顧客先在入口排隊；新機器直接提供新的掃碼服務位置，因而可能有顯著改善。若原先機器已不經常用盡，而大量時間停在等待共享職員的畫面，再添機器不會改變職員每次協助平均需時。入口隊列可能縮短，然而人工求助隊列仍可能是總逗留時間的重要組成。兩種資源的邊際改善因負荷不同而改變，才是模型真正要檢驗的機制。

更值得注意的是，不需要人工協助的顧客仍可能因其他人的求助而等候。假設前面幾個顧客都在各自的機器上等待同一名職員，此時後到且最終不需要協助的人，仍然可能沒有空機可用。只按「我這筆交易沒有求助」判斷自己應該幾乎不用等，便忽略了機器容量被其他交易占用的公共資源效應。這種外部影響不需要顧客故意阻礙他人，也不需要假設任何人不理性；只要系統規則要求原機等待人工完成，便可以發生。日常「為何我掃碼這麼快還是等很久」的問題，在模型中就是兩層資源的間接阻塞。

平均值亦不能充分描述顧客體驗。設同一模擬樣本有大部分交易毋須協助，少部分遇到長時間人工隊列；總逗留平均可維持在某個中等水平，但最慢的一成交易仍需要很長時間。九十分位數定義為至少九成樣本的總逗留時間不大於它的樣本位置，而不是「九成顧客都要等那麼久」。用九十分位數可以呈現尾部風險，特別適合與平均值並列；然而單一次固定種子的樣本分位數亦有抽樣波動，不能誤認為模型的精確分位函數。

圖4：平均與尾部顧客時間

圖 4. 固定機器數與職員數時，合成平均逗留與九十分位總逗留時間的比較。兩指標從同一類顧客軌跡計算，但不是同一個統計量。出處：本研究 analysis.py。

圖 4 應與人工負荷一併閱讀。如果顧客在多個高強度時段到達，長尾可先於總體吞吐率變得顯著；因此即使短期完成交易數目沒有下降，也不代表最後一成客人的等待沒有惡化。這是一個可在真實門店追查的假說，但本稿只有合成輸出。要在現實檢驗，必須把到店時刻、開始掃碼、求助、人工開始、交易結束等事件逐筆記錄，並對樣本選擇、時間段、店型及顧客放棄排隊加以處理。缺少這些資料時，圖表只能為設計試驗及確立量度指標服務。

有限模型把觀察窗口之後已在隊列中的顧客繼續服務直至離開，以減少因高等待交易恰好來不及完成而被截尾的問題。可是「尾段清空」本身不是穩態證明。尤其當某組參數的長期流入超過服務能力時，有限時間仍然可以在關閉新到達後清空，但如果持續入場就會持續累積隊列。本研究必須在詮釋每個有限情景時檢查必要容量條件、時段末排隊人數和暖機長度，不能只因為程序沒有停頓便宣布該情景存在平穩解。若日後要做正式平均時間比較，應加入多種暖機長度、延長模擬時距及獨立種子批次。

9. 求助概率、職員數及服務公平的敏感度

本研究在設備之外另檢查求助概率，因為「機器看起來正常運作」與「需要人工救援的頻率」其實不是同一個參數。當 $p=0.10$ ，單職員、平均人工時間四點八分鐘下的人工吞吐上界為每分鐘約 2.08333 筆；當 $p=0.20$ ，上界為 1.04167 筆；若 $p=0.25$ ，上界降為 0.83333 筆；若 $p=0.32$ ，上界為約 0.65104 筆。這個函數 $1/(4.8p)$ 對 $p>0$ 隨 $p$ 增加而嚴格下降，由微分得到 $d[1/(4.8p)]/dp=-1/(4.8p^2)<0$ 。這是模型內確定的數學關係，但有限機器系統的實際吞吐是否在上述數字附近，還需要機器負荷與阻塞等條件配合。

敏感度實驗保持外部抵達率每分鐘 0.55 筆、機器十二部及一名職員，改變合成求助概率。單職員必要負荷在 $p=0.10$ 為 0.264，在 $p=0.20$ 為 0.528，在 $p=0.25$ 為 0.66，在 $p=0.32$ 為 0.8448。這個跨度足夠讓同一組硬件承受相當不同的人手壓力，卻完全沒有更改機器掃碼平均速度。若只量度電腦處理速度或增加掃碼處理器性能，便不會自動減少這個人手工作量。換言之，降低不必要的人工求助率本身可能是重要的設計變數；但是否降低真正需要的安全核查，則涉及風險、合規及服務品質，不能單靠吞吐模型決定。

圖5：求助概率敏感度

圖 5. 機器數和外部抵達率固定，僅改動求助概率時的合成平均總逗留。數值為模型輸出，不能代替安全授權或服務品質資料。出處：本研究 analysis.py。

對圖 5，必須分清模型比較與政策建議。模擬裏的求助概率只是一個外生 Bernoulli 參數；現實中求助可能由商品類型、掃碼錯誤、客人熟悉度、反盜損核查、員工安排、語言介面及設備老化共同決定。將其人為調低不代表真實店舖可以任意取消合法必要的年齡限制或風險檢查。若操作改善能減少錯誤求助，確實可能有助緩解人工排隊；但模型沒有對每種求助原因分別估算可避免比例，也沒有計算漏檢的安全或合規成本。正確研究結論是提高求助率會增加模型的人工工作負荷，不是所有人手介入都應被取消。

除了調整 $p$ ，也可以比較一名與兩名職員。當人工能力由一變二，職員可同時處理兩件工作，理論人工容量上界在其他條件不變時由 $1/(pE[H])$ 變成 $2/(pE[H])$ 。但若入場率很低，或求助需求本身很少，第二名職員會經常閒置，增加人手不必然有可觀的顧客時間效益。當機器非常少，反過來就算職員無限多，最多可同時進行的掃碼仍受機器數所限。從資源規劃角度，兩者是互補性投入：增加其中一項只會在另一項沒有先構成主要限制時轉化成實際吞吐改善。

圖6：增加人手後等候組成

圖 6. 固定十部機器、基準合成抵達率與求助概率，對比一至兩名職員時每位顧客的機器入口等待及平均人工求助等待貢獻。此處人工等待以全體顧客為分母，沒有求助的顧客貢獻為零；與只計求助者的條件平均不同。出處：本研究 analysis.py。

職員增添的效果不應只用「平均總等候縮短多少」衡量。首先，時間之外仍有人手薪酬、設備租金、空間及培訓成本；其次，求助頻率具有時間段集中性，午飯高峰與夜晚低谷可能需要不同配置；再次，等待時間分布不同會令公平問題出現。假設某店平均等待很短，但一成被系統要求人工核查的顧客等得特別久，僅報平均可能掩蓋特定類型顧客的不利處境。本文沒有量度不同人口背景、消費能力或商品種類，不能證明存在社會群體差別待遇，但有理由提醒往後的實證分析應把不同求助原因與尾部等待分開報告。

在本文結構中，職員隊列採共同先到先服務，沒有加插緊急優先級。真實商店可能把簡單解除錯誤與耗時查證作不同處理，或者由流動員工先處理最近的機器。這些實務策略具有改善體驗的可能，也可能讓後來到達但需要長時間處理的客人更加不利。如果研究者改用最短處理時間優先，必須說明職員是否事先知道每項服務的長度，否則會把無法觀察的未來資料偷偷當成可用的排程輸入。公平、效率及可操作性需要在同一模型中被清楚區分。

10. 討論：為何「自助」與「無人」不是同一個容量概念

用形式化模型重新看日常自助結帳，首先要改變「每部機器都是一個收銀員」的隱喻。單部機器提供掃碼與付款介面，卻不一定能完成整個交易生命週期。職員介入是一個跨機器共享的服務階段；當求助發生，顧客仍占用機器，形成兩種資源串連與部分同時占用。因此總系統不是把每部機器的服務速率直接相加就可以得出完整吞吐的平行系統，而是一個混合的阻塞隊列。這個區分解釋了為何增加終端機可能有效，卻不能保證線性擴容。

其次，應以瓶頸的位置，而非單一設備數量，界定擴容方案。當機器不足時，人手可能沒有足夠求助工作可做；此時加機有機會提升人工資源使用效率。當機器越來越多，職員工作可能長期積壓；此時再增加機器，不一定能提高總體交易完成率，反而可能令更多機器等待同一個人。這個轉變不是因為更多設備令每台機器變慢，也不需要假設零售商故意削減服務品質，而是有限資源互動的直接結果。將前端與後端分開量度，是辨認瓶頸是否轉移的必要步驟。

第三，「增加一名職員」與「減少一次不必要的求助」在理論上可能有相近方向的作用，但運作意義不同。若求助概率改變，必須先確定哪些求助屬於安全、法律或顧客權益所需，不能將所有核查一律當成浪費。增加職員則保留每筆需要協助事件的處理規則，但提高可同時完成的求助量。改善軟件介面可以減少某些失誤事件，卻可能增加顧客對機器的操作負擔；增加職員可減少輪候，卻伴隨可量化的人手成本。模型提供比較的語言，不直接作道德或財務取捨。

從顧客角度，「有位就快」亦是需要拆解的命題。有空機只表示不需要等入口隊列，不能保證交易最後不會遇上人工確認。反之，在機器入口稍作等候的顧客，也可能進入後順利完成、沒有人工延誤。總逗留包含至少兩種等待，以及掃碼與可能的人工服務時間，所以僅從機器前排隊長度評判服務品質，可能得出不完整結論。如果研究者只在顧客離開時做截面調查，排除仍被困在求助畫面的客人，尤其容易低估長時間等待。程式以抵達時段取樣及結束後清空剩餘顧客，是為了避免把最後離開者無形中移除。

在數學層面，本文提出的人工容量上界具有比指數假設更廣的適用範圍。只要完成交易需平均 $p$ 件人工求助、每件需要有限平均人工工時 $E[H]$ ，並且每名職員任何時刻最多服務一件工作，長期可持續完成率就不能超出可用人工工時所設定的上界。這個論證不需要把人際互動精確模擬成指數分布，也不需要量測某特定品牌。但若人手可以同時監察多筆交易、遠端授權多台設備，或顧客與職員合作使一次操作解決多筆問題，「每次求助占用一人」的假設便改變，新的容量式須重新推導。條件式上界不應被錯當成跨技術世代的自然常數。

本文亦說明，兩種資料層級應有兩種不同語言。對解析式可用「在假設下必須滿足」或「由守恆可推導」等措辭；對某次數值模擬只能用「在指定合成參數及種子下觀察到」；對真實零售行為則應說「有待觀測驗證」。如果把這三種句型混淆，容易把一張形狀漂亮的曲線變成無根據的商業承諾。數學推導可以正確，而真實情況仍可能因工作流程不同而呈現完全不同的曲線，兩者並不矛盾。

對零售研究的下一步，一個可行的實證方案是以不辨識個人的交易事件時間戳記構建服務軌跡，記錄是否需要協助、各階段時間、機器及職員數、時段客流、機器閒置及占機求助時間。時間戳記要有共同時鐘來源，避免不同設備的時鐘偏差造成負等待；服務起訖定義亦須一致。其次將平日與高峰、不同客單件數、不同商品類型及不同店舖分層比較。再使用真實事件紀錄估計非指數服務時間、求助率與顧客類型間的相關性，檢查是否需要多類別優先隊列或員工巡查時間。完成這些步驟後，才有可能把理論問題轉化成可檢驗的實際排班政策。

11. 研究限制：人工世界的邊界

本研究的首要限制是沒有真實零售觀測。全部 $\lambda$ 、 $p$ 、掃碼均值、人工服務均值、機器數與職員數都是由研究者設定的參數。六篇學術參考來源建立方法及背景的合理性，但沒有任何一篇被本稿用來估計上述參數的真實店舖分布。因此本研究不能聲稱「超市平均四分一交易需要求助」，亦不能推斷增聘一名職員必定節省某個特定百分比的時間。讀者若認為假設不合理，應更改參數並重跑程式，或利用實際數據估計，而不是將假設當作普遍市場常數。

第二個限制是服務分布。指數分布的無記憶性方便生成及模型解析，然而真實掃碼時間與購買商品件數、包裝條碼品質、付款方式及熟練程度相關；人工處理時間亦可能包含短至數秒的授權和長至數分鐘的爭議。兩類事件的時間分布可能呈長尾、混合或條件相關。若少數極慢事件占用同一名職員，尾部等待可以明顯超出指數服務預測。本文沒有檢查對數常態、Gamma、經驗分布或存在相關性的混合模型，因此不能把合成九十分位作為實際服務承諾。

第三個限制是求助路由。模型在掃碼完成後以固定概率判斷是否需要一次人工協助，並假定協助完成後交易立即離開。現實中一次交易可能在掃碼中途多次要求職員、需要回到掃碼程序、由職員在多部機器間走動，或因人工處理後再次發生錯誤。這些情況會改變每筆交易平均求助工作量，也可能讓單純 $pE[H]$ 不足以描述服務要求。若一筆交易平均求助次數為 $E[K]$ ，容量上界的適當形式要改為與每筆平均總人工工時相關，而不能直接沿用本稿的一次 Bernoulli 事件公式。

第四，模型只容許共同先到先服務入口與人工隊列，沒有跳隊、棄隊、轉用人手收銀、工作人員主動巡查或快慢商品分流。無棄隊在接近負荷上限時，會令模擬顧客等待非常久；真實商店可能因顧客改變選擇而自我減壓，但這種現象亦會引入不滿意及流失。若沒有資料，不能猜測某個看似穩定的入場率是店舖原始需求，還是顧客已因等待而離開後的選擇結果。本文沒有建模需求彈性、顧客厭惡等待的心理成本或顧客離開機率，故只分析固定參數下的機械性隊列。

第五，模擬只提供數值近似及部分內部檢查。單機更新公式可以獨立計算；多機阻塞網絡沒有在本稿提出封閉形式精確解。固定種子有助重現某條軌跡，但不能充當獨立重複實驗；若要宣稱小幅差異具有統計把握，須用多個獨立種子、配對設計或穩態批次估計，報告蒙地卡羅標準誤與信賴區間。不同政策可能因獨立抽樣產生偶然交叉，因此尚未人工核對的圖形小幅高低，絕不能當作嚴格最佳性證明。連續時間事件模擬也不等於形式方法驗證；隱藏的事件優先次序或近乎同時事件，都需要專門測試。

第六，時間窗口與暖機處理仍有有限範圍。飽和情境的暖機由 12,000 分鐘開始，有限外部到達情境也採相同暖機起點，但不同接近臨界負荷的系統可能有極慢混合；一段固定暖機未必足夠。有限到達停止後清空全部顧客，適合避免尾期右截尾，卻可能掩蓋如果入場永遠繼續會形成的長期過載。真正判斷穩態，需要容量條件、時序圖、長期增長檢查、多次延長時段，以及觀察初始狀態效應是否消失。本文因此不會把所有有輸出的參數組合一律宣稱穩定。

第七，只有少數整數機器數與一至兩位職員的情景，並未涵蓋實際商場面積、機器故障、消防通道、員工巡查距離、成本、保安風險或排班規範。對真實政策而言，新增機器的資本成本和新增職員的長期工時成本不可直接互相替代。若需要做成本最佳化，可先以 C = c_h c + c_m M + ω E[W] 建立示範損失函數，但當中的職員成本、機器成本和顧客等待權重必須有資料支持；在未提供之前，不能稱某個 M、c 組合是具有商業意義的最優方案。

第八，出版參考來源的查證範圍有限。六筆 DOI 的書目資料可由出版者或學術機構頁面核實，但不等於全部全文已經讀完，也不代表資料與本文模型之間有因果證據。模型的概率分布選擇是研究者方法假設，不能把背景文獻在其他條件下的結論移植成自助結帳的實際測量。模擬審查角色如將來在 review.md 中出現，均須標為研究者採用的四種批判視角，而不是四位獨立真人審稿者。

12. 結論與未來研究

自助結帳機愈多、顧客仍可能圍着同一名職員等待，這個荒誕畫面可以用一個清晰的排隊網絡問題描述。機器負責掃碼與輸入，部分交易另須人工協助；當顧客在求助時仍占機，前端機器與後端職員之間便形成阻塞關係。由平均工作量守恆可證，長期交易完成率不能超過每分鐘總人工服務能力除以每筆平均人工工作需求。基準假設下，一部機器且沒有人工競爭時的更新完成率是每分鐘約 0.19231 筆，而一名職員的全系統人工工作量上界是每分鐘約 0.83333 筆。這兩項均由定義與解析式得到，數字精確性不等於現實適用性。

研究最值得保留的結論是資源互補性：增加機器可能解決入口位置不足，但無法自行提高職員每分鐘可完成的人工工時；增加職員可能疏通求助隊列，但若機器本來不足，也不能憑空增加掃碼位置。需要協助的交易對其他無求助顧客還會產生間接影響，因為被阻塞的機器減少了可用位置。若僅按掃碼速度衡量服務能力，便看不到這個影響。這些都是模型內的條件式推論，並沒有用真實零售觀測加以檢驗。

日後應首先記錄真實門店的事件時間、求助原因與工作人員介入行為，估計服務時間分布以及求助的狀態依存性；其次比較不同負荷下機器與職員的共同容量，並以多種獨立種子檢驗模擬誤差；再次引入員工巡查、顧客棄隊、多次求助、不同優先級、隱私及安全要求，建立更接近實際情境的模型。若要比較配置方案的成本或公平性，還需要獨立調查顧客對等待的接受程度，以及不同人群受到核查與服務延遲的差異，才能避免把吞吐最佳化錯作全面的服務品質標準。

最後，研究已保存合成數值摘要、完整事件模擬、六幅計算圖及模擬四視角審查紀錄，並執行正文漢字數與 PDF 頁面檢查。已完成的作者端審核僅針對此公開假設下的推導、計算一致性及文件排版，絕不代表有零售實地證據，亦不構成外部獨立同行審查。此種界線並不削弱理論論點；相反地，正是嚴肅研究荒誕問題的必要紀律。

13. 參考文獻

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附錄 A：程式與重現

研究程式 analysis.py 會產生兩份 CSV、一個含所有情境和參數的 JSON，以及六張分析圖。所有隨機輸入均由明列的固定種子生成；Python 環境需有 NumPy 與 Matplotlib。從專案目錄執行 python3 Cycle_004/Paper_020/analysis.py。若要重新評估模型，先複製備份輸出，再修改掃碼、求助時間或到達率，並記錄所用版本；不要把不同參數版本的圖表與同一份正文混合。

附錄 B：公式適用條件

單機更新公式需要連續處理之間沒有非模型內的停機間隔，掃碼與求助時間有有限期望，求助機率固定且序列具有適當獨立或更新性。人工容量上界需要長期交易完成率可定義，每筆平均求助工時存在，並且單位時間可用職員工時有限。有限抵達的人工負荷率需要外部入流長期率可定義，且沒有未建模的拒絕、流失或放棄服務機制。上述限制若被更改，須重建相應公式；不能僅調整圖軸以維持原結論。