Stuck at 99%

摘要

當手機顯示電量百分之九十九時，使用者容易預期只剩百分之一，等待時間應與前一個百分點接近。然而，螢幕上的整數百分比是對估計荷電狀態的離散化表示，電化學充電過程的速率亦可能隨充電階段變化。本文建立一個受恆流與恆壓充電概念啟發的最小動力模型：初段荷電狀態隨時間線性增長，在設定轉換點後以指數曲線漸近上限；另外以可調整的顯示閾值將連續狀態映射到整數百分比。模型提供任兩個真實荷電量之間的封閉形式時間，並導出末段每個固定百分點所需時間遞增的充分條件。以初始荷電量 20%、轉換點 80%、末段時間常數 16.667 分鐘及整數四捨五入的假想顯示規則為例，顯示 99% 所持續時間約 18.31 分鐘，上一個百分點約 8.51 分鐘。以 12,000 個固定種子的合成情境變動時間常數和介面閾值，得末段平均約 19.92 分鐘，百分之五至九十五分位約 10.89 至 33.29 分鐘。六幅圖分析實際連續荷電狀態、電流衰減、量化停留、閾值敏感度和不確定性。這些數值是對假設模型的計算，並不能描述特定手機充電時間。本文的核心發現是：同樣一個顯示百分點所對應的等待長度取決於狀態變化率與顯示映射，兩者必須分開識別，才能避免從剩餘數字直接推斷剩餘時間。

Abstract

A displayed battery level of 99% often invites the intuition that only one percent of the charging time remains. This paper distinguishes the continuous underlying state of charge from a quantized user-interface label and develops an idealized piecewise constant-current and exponentially tapering constant-voltage proxy. The resulting inverse time function demonstrates that equally sized state intervals require progressively longer periods in the tapering phase. Under explicitly synthetic assumptions, including a transition at 80%, a taper constant of 16.667 minutes and rounded display thresholds, the interval shown as 99% lasts 18.31 minutes, versus 8.51 minutes for the preceding displayed interval. A reproducible 12,000-scenario Monte Carlo analysis varies the taper constant and display threshold to characterize uncertainty. The study offers analytic identities, a numerical integration check, six quantitative figures and precise conditions for interpretation. All parameters are hypothetical and no smartphone, charging controller or human subject was observed. The findings explain a mathematical mechanism for unequal display intervals rather than establishing a universal empirical property of mobile phones.

關鍵詞： 恆流恆壓；電池荷電狀態；量化誤差；指數衰退；顯示閾值；合成蒙地卡羅；充電時間

1. 引言

我們習慣將百分比讀成比例，也習慣在比例背後加上一個未經檢驗的時間假設。若一個進度條從八十到九十增加十個百分點耗時十分鐘，直覺便會認為從九十到一百也約需十分鐘。這種推論只有在被表示的進度與時間近似線性，且顯示的數字與真正進度之間存在固定映射時才合理。對電池而言，兩個條件均未必成立。螢幕上的數值往往不是由電極直接讀出的一個簡單比率，而是由電池管理系統估計、控制及呈現的結果；充電電流也並非必須維持不變。將「已完成百分比」等同「已經度過的時間百分比」，是本文要拆解的主要概念錯誤。

問題的荒誕之處在於，距離理論上限越近，數字看似越接近完成，然而單位進度可能需要越長時間。這與常見的追趕漸近線問題相似，但如果只用「到一百需要無限時間」作答案，就會忽略真實裝置的保護截止條件、估計量的定義與介面如何宣告完成。真正有研究價值的不是描述一個不會完結的神秘充電過程，而是問：在甚麼模型與何種顯示規則下，一個固定寬度的百分點停留會比之前的百分點明顯更長？這個差別有多少來自真正的充電速率下降，有多少來自量化位置的選擇？我們又需要甚麼資料才有資格聲稱某款實機具備這種行為？

本文以嚴格的最小模型來回答上述問題。將實際但不可直接由介面觀察的連續荷電狀態定義為 q，將螢幕報告的整數定義為 d，將時間定義為 t。我們首先不把顯示百分比當成 q，而是建立從 q 到 d 的明確映射；再從對充電程序的簡化動力方程取得 q 對 t 的封閉解，透過反函數計算螢幕每一段顯示數字的停留時間。與測量裝置無關的所有方程均可獨立檢查，並可清楚辨識哪些參數是假定而非校準的結果。

研究在學科上處於電池工程、動態系統、量測理論及人機介面交界。工程文獻說明恆流恆壓充電是鋰離子電池常見的方案之一，而荷電狀態估計涉及複雜模型與不確定性；本研究並不從既有文獻直接取出任何一款手機的末段秒數，而是建立可供反證與後續量測校準的思想實驗。這樣既能保留日常觀察的幽默感，也避免把有趣的題目變成缺乏證據的技術神話。

特別需要區分的還有「99% 至 100%」與「真實 q 從 0.99 至 1」兩個事件。前者是兩個顯示閾值被跨越的時間差，後者在某些漸近模型中沒有有限到達時間。兩者的上下界、起點、終點和可觀察性均不同。當討論使用者眼見的數字時，應當計算前者；當討論電化學可達狀態及安全保護時，則須另定義容量、電壓和截止電流。混合這兩層定義，恰恰會製造似是而非的驚人結論。

2. 文獻回顧與知識邊界

鋰離子電池既是電化學系統，也是需要外部控制的電力裝置。Tomaszewska 等人（2019）的充電綜述將常見的恆流恆壓程序表示為先在電流受控條件下充電，至端電壓觸及上限後轉為電壓受控，並容許電流在末段減小。這為本文選擇「初段相對快、末段逐步慢」的定性結構提供合理背景。不過，綜述指出的是不同充電策略及約束的關係，不是任何手機的終端顯示演算法，也沒有提供本文自設的時間常數。若把綜述中的技術模式直接代入任意設備，是一項無根據的外推。

Keil 與 Jossen（2016）比較不同鋰離子電池的充電程序、利用率、時間及循環壽命，並指出充電方案的影響會因電芯類型而變化。對本文而言，重要的啟示是控制電流的最佳策略要考慮電池約束，不能以「越大電流越快」作唯一準則。然而，其研究的實物電池種類、溫度、壽命尺度和本文想像的單一時間常數並不相同。我們沒有以該文的實驗曲線配適模型，也不把任何製造商的電池視為本研究測量對象。

電池對外可觀察的端電壓並不等同內部剩餘容量。Chen 與 Rincon-Mora（2006）提出能描述非線性開路電壓、暫態及電流依賴的電氣模型；Hu、Li 與 Peng（2012）比較十二種鋰離子電池等效電路模型，在模型複雜度、擬合與可轉移性之間作系統評估。這些工作表明，即使只談電路層，對電池狀態的簡化也存在不同程度的近似。本研究選擇只追蹤一個無量綱 q 並非宣稱電池內部只有一個狀態，而是刻意把電流衰退與介面量化的邏輯顯露出來。模型的簡單使解析式透明，代價是無法描述多時間尺度的電極動力與熱效應。

另一方面，電池管理的核心問題之一是估計荷電狀態。Plett（2004）研究了以擴展卡爾曼濾波為基礎的電池狀態估計背景；Hannan 等人（2017）整理車用電池荷電估計方法及各種建模困難。兩者足以說明「一個顯示數字」和「直接量測到的物理真值」之間需要推論過程，但不能因此斷言智能手機一定使用特定卡爾曼濾波實作，也不能推測各廠牌如何處理顯示的個位數。本文以明定的四捨五入閾值作一個可分析的玩具介面，並明確排除所有未經核實的實際設計細節。

上述文獻各自提供充電策略、電氣模型或狀態估計的研究背景，卻不直接回答同一個問題：連續且單調的 q(t) 在經過整數量化 d(t) 之後，每個顯示數字究竟停留多久？這正是本文的研究切入點。從方法論來說，這並不是發現一個未被研究的電化學定律，而是把已知控制與估計概念組合為一個明確的數學問題：求 q(t) 的反函數後，再評估閾值間隔在時間軸上的投影。這個投影的形狀可以與充電速率獨立討論，因而可以建立可識別性分析。

對於文獻的核查範圍亦須審慎。Reference_Check.md 保存每篇 DOI、出版者或學術機構的書目及摘要級核對紀錄；這不等同本文作者已完成六篇全文逐頁實證複核。論文中直接引用的結論限於可見摘要及可靠公開資訊，而所有具體合成數字必須回到本研究的 analysis.py、data/summary.json 與明列方程重算。文獻存在並不保證自建模型的參數正確，更不應把參考文獻當成虛構實驗的背書。

3. 研究問題、假設與可否證性

研究問題一是，在末段充電速率逐步下降的系統中，連續 q 的相等增量是否需要相等時間？我們定義假設 H1：若 q 在恆壓代理階段滿足一階收斂動力，所有位於該階段、寬度相同且不觸及上限的正向區間，其通過時間隨 q 增大而嚴格增加。這是一個可由導數嚴格驗證的命題，與人類是否主觀覺得等待漫長無關。若採恆定電流的反例，同樣寬度的 q 區間時間則相同，因此模型需要把動態規律寫清楚才可檢驗 H1。

研究問題二是，對同一條連續 q(t)，移動介面宣告 100% 的閾值，會否明顯改變顯示為 99% 的停留長度？我們定義 H2：在閾值仍位於末段且「99」標籤的區間寬度固定為 0.01 時，把區間整體移向理論上限，會令顯示 99% 的時間增加。這個命題涉及的是介面定義，不涉及任何電池真實容量忽然變化；其可否證方式是固定 q(t)，只改變顯示閾值再觀察逆映射。與 H1 不同，H2 強調資料呈現方式而非物理動態。

研究問題三是，在研究者未能事先確定衰退時間常數和介面閾值時，末段時間分布可以有多廣？H3 只提出一個有界的合成預測：對本文明列的參數生成機制，99 至 100 的平均等待、分位數和蒙地卡羅誤差可以重現。H3 不聲稱真實手機之間具有同一個統計母體。模擬中的每一條「情境」是一次電腦產生的參數組合，既非一名使用者也非一部受測手機，不會計算假想受試者的顯著性檢定。

研究問題四是，只有顯示百分比序列時，能否獨立估計充電物理常數與顯示閾值？我們提出 H4：只用有限個相鄰標籤轉換時間，很可能存在多組模型參數可以對應同一組觀察量，因此無外部資訊時無法唯一識別。這屬於逆問題中的可識別性問題。要駁斥它，可嘗試在已知顯示閾值、充電電流或真實容量的條件下建立一一映射；在只有一段停留時間的情形，兩個以上未知參數通常無法從一個方程唯一確定。

本研究的四個問題刻意把必要條件、建模示例及實證可驗證性分開。H1 和 H2 可以在明確模型內證明，H3 可以由固定種子的程式重現，但 H4 的實機意義需要額外量測設計。如果真實手機存在充電暫停、保護限流、後台校正或顯示跳轉，即便使用者看到「99 停很久」，也不能僅憑這個現象判定恆壓指數衰減是唯一原因。研究的目的是提供一組經得起數學檢查的可能機制，而非透過題目語氣將單一機制變成既定事實。

4. 理論框架：連續狀態、離散標籤與等待的兩層系統

4.1 荷電狀態是一個模型變數

首先定義 q(t) 為介於零與一之間的無量綱真實荷電狀態代理值，可理解為在固定名義容量 Q 下所儲存電荷的比例。本研究不處理電池實際可用能量與電荷的差別，亦不將電量百分比直接解釋為可使用時間的比例。電池瞬間的終端電壓、溫度與開路電壓之間關係可以複雜而非線性，因而 q 並非由電壓直接除以最大電壓所得。若把百分比當成電壓比率，會在模型建立之前就犯下量綱與物理意義錯誤。

電流 I 在理想電荷守恆下與 q 的導數相關：若忽略副反應、容量老化與庫侖效率變化，可以令 dq/dt=I/Q。這裡 Q 是荷電容量而非能量，I 是流入電池的有效電流；當 t 以分鐘為單位時須在係數中處理小時與分鐘轉換。本文將 I/Q 直接歸一化成每分鐘的 SOC 變化率，以避免虛構一款電池的安培時容量。物理關係只為建立可解釋的方向，不代表所有電池在 100% 附近都繼續接受正電流。

採用無量綱狀態有兩個優點。第一，當我們討論從 0.985 到 0.995 的時間差，可直接看出這是真實 SOC 跨越 0.01，而不會把它誤作 1% 的剩餘時間。第二，推導結果可以保留參數 τ，讓不同大小電池或不同控制政策的物理時間尺度保持顯式。其代價是無法從本模型直接推算充電器瓦數、發熱量或電池安全壽命，這些必須增加電壓、內阻與熱方程才能合理研究。

4.2 使用者介面是另一個動態觀測系統

令 d(t) 為手機在時間 t 顯示的整數百分數。在最簡單的思想實驗中，顯示器以四捨五入方式把真實 q 映射為零至一百的標籤，也就是當 q 落在以一個整數百分點為中心、兩側各 0.005 的區間內，螢幕顯示該整數。這種映射沒有加入時間平滑、避免跳字的遲滯、噪聲、校準及裝置內置保護。選擇它只是因為規則公開、可微分的連續狀態與不連續的顯示邊界可以分開分析。

數值為 99 的標籤始於 q=0.985 且終於 q=0.995；數值為 100 的標籤在 q 達到 0.995 時開始顯示。實際到達「理論容量 q=1」並不是 d=100 所需要的事件。若某個裝置採向下取整、保留顯示 99 直到充電終止、電池均衡完成才宣告滿電，則 q 到 d 的規則須全部重寫。本文沒有宣稱手機作業系統必然採用四捨五入，而是指出不同顯示規則本身可製造不同的等待體驗。

觀測上的一段等待時間可以形式化為兩個閾值首達時刻之差。只要 q(t) 連續且嚴格上升，定義 T(q*) 為 q 第一次達到 q* 的時間，則 d=99 的持續時間就是 T(0.995)−T(0.985)。若充電存在反覆下降、重新校準或暫停，首達概念仍可定義，卻不再與畫面停留的所有區間完全相同。故本文的封閉式時間只適用單調且無重設的示範模型；這項限制是推導的必要前提，而不是事後免責聲明。

4.3 時間尺度與使用者直覺

當連續進度的單位增量成本相同時，百分比與時間之間是仿射關係，百分點可視為相同長度的尺。若進度變化率因狀態改變而下降，時間軸便不是一把等距尺：同樣 0.01 的 q 區間，在後段可能對應更長時間。用戶看到的是 d 而不是 q，所見資訊又失去小數位的細節，因此即使使用者能正確觀察到「99」顯示很久，也無法從這個單一標籤推回整段電流曲線。這是觀測映射的一對多問題。

為嚴格區分「等待時間實際較長」與「等待時間心理上較漫長」，本文只研究前者。主觀時間感知涉及期望、注意力及參照點，不由本文程式生成的任何變數代表。所謂「特別漫長」在本文中的可操作定義是：模型計算的 d=99 停留長度大於 d=98 停留長度，並報告其相對比率。若要研究實際主觀時間偏誤，須另外設計告知預期、盲測與倫理審核的行為研究，不能把程式產生的分鐘數冒充被試者的感受。

5. 數學模型與完整推導

5.1 恆流段：以簡化守恆得到線性增長

設初始荷電狀態為 q0、恆流充電階段的平均狀態增加率為 r，單位為每分鐘的 SOC 份額；切換至恆壓代理段的 SOC 為 qs，其中 0≤q0<qs<1。若有效電流固定且容量不變，初段微分方程與解如下：

恆流段不可能在上述模型條件下產生末端百分點越慢的效果；任何等長度 Δq 的區間都需要 Δq/r 的時間。階段切換的時刻由 q(ts)=qs 得到：

對基準設置 q0=0.20、qs=0.80、r=0.012 min⁻¹，可得 ts=50 分鐘。這意味從真實 20% 至 80% 恰好五十分鐘。這五十分鐘是我們為了示範分析而設定的值，既不代表任何充電器宣稱的快充時間，也沒有考慮線材耗損、設備使用時的負載、充電效率與不同電芯化學反應。其存在的作用，是讓恆流與恆壓兩階段在相同時計中無縫對接。

5.2 恆壓段的指數衰退代理模型

恆壓控制的精細電化學行為並不必然是單一指數。為取得能獨立檢查的最小模型，我們設恆壓段的歸一化狀態增加率與距離上限的剩餘差 1−q 成正比，比例時間常數 τ>0。其方程是：

把變數分離可得 dq/(1−q)=dt/τ，積分後得到 −ln(1−q)=t/τ+C。令 q(ts)=qs 決定積分常數，產生唯一解：

於切換時刻，恆壓段導數為 (1−qs)/τ。為免模型在分段交界出現無意義的電流跳變，本文取 r=(1−qs)/τ。由此不單保證 q(t) 連續，也保證其一階時間導數在切換時連續。基準 τ=50/3 分鐘、qs=0.80，故 r=0.20/(50/3)=0.012 min⁻¹，與前段定義相同。這項連續性是明列的模型約束；在敏感度分析改變 τ 時，若希望保留連續性，r 與切換時間亦須相應改變。

上述動力方程可以被理解為一種隨「尚未填滿的差額」變小而放慢的閉環控制代理，而非電池內部電流嚴格遵從的自然定律。在本代理模型下，恆壓階段歸一化電流與導數同向衰退，切換後經過一個 τ，距離上限的差額縮小為原來的 e⁻¹。物理電池可能有多個時間常數、熱保護及電極擴散機制；將其全部壓縮成一個 τ 有意降低外部實證精度，換來更清晰的比較靜態與數值可驗證性。

5.3 時間反函數、時間增量與單調性

對任何 qs<q<1，由指數式可將時間解出。轉移式要求 1−q=(1−qs)exp[−(t−ts)/τ]，兩側取自然對數並整理，即：

因此，位於恆壓代理階段的任意兩個荷電狀態 a、b，只要 qs≤a<b<1，從 a 走到 b 所需時間便是：

這個式子是全文最重要的可檢驗數學結果。初始 q0 與切換點 qs 在同一恆壓段內取差時被抵消；時間只由 τ 和兩個閾值決定。它也指出只在已知 a 和 b 時，才能把某一段顯示等待作為 τ 的估計依據。若兩個閾值本身未知，那麼單一量測數字便無法唯一推回 τ。此後所有數據表與敏感度曲線均直接以此式計算，並非對任意畫出的圖作數字描述。

對反函數求一階導數，得 dt/dq=τ/(1−q)；其二階導數為 τ/(1−q)²，對 q<1 嚴格為正。更直接地，在 0<h<1−q 時，固定寬度區間的時間 D(q)=Δt(q,q+h) 對 q 的導數是 τ[(1−q−h)⁻¹−(1−q)⁻¹]，因後者分母較大，差值嚴格正。因此，在本模型的恆壓區間，同樣 h 的荷電增量，越接近上限耗時越長，H1 獲得數學證明。這是積分與單調性推論，沒有使用統計顯著性檢定，也不是有限次模擬抽樣才得出的偶然性。

5.4 從連續荷電狀態到顯示百分比

定義簡化的顯示規則為 d(q)=min(100,floor(100q+0.5))。在不屬於最初及最後邊界的整數 k，顯示為 k 的區間是 [(k−0.5)/100,(k+0.5)/100)，其寬度為 0.01。對 k=99，a=0.985，b=0.995；若二者均在恆壓段，上式直接給出：

基準 τ=16.6666667 分鐘，所以 d=99 的停留為 18.3102048 分鐘。前一個標籤 d=98 需要從 q=0.975 進展至 q=0.985，其等待為 τln(0.025/0.015)=8.5137604 分鐘。再前一個 d=97 則為 τln(0.035/0.025)=5.6078706 分鐘。三個區間的真實荷電狀態寬度皆為 0.01，時間差卻很大。因此「剩下一個百分點」不能被當作「剩下一百分之一的剩餘時間」。

這個結論的語義仍須嚴格限定。手機一旦顯示 100%，在模型中的真實 q 只是 0.995；模型在任何有限時間都不會到達 q=1，但這不等於裝置永遠無法宣告充滿。相反，正因為顯示宣告點是設在可到達的有限閾值，模型才能同時滿足「尾段越來越慢」和「使用者最終會見到 100」兩個特點。倘若把顯示 100 的條件誤設成 q 必須等於一，便會得出數學上無限長的停留，與研究關心的介面行為不一致。

5.5 顯示閾值的移動與識別問題

一般地，若介面顯示 99 的真實起點是 θ−h，100 的起點是 θ，其中 h=0.01，且全部落在恆壓階段，則停留時間是 F(θ,τ)=τln[(1−θ+h)/(1−θ)]。對 θ 求偏導，得到 τ[(1−θ)⁻¹−(1−θ+h)⁻¹]，此值在 θ<1 時嚴格大於零。亦即，即使充電動力 q(t) 完全沒有改變，只要將宣告「100」的顯示閾值向上調整，便可以使最後顯示 99 的時間變長。這驗證 H2，並揭示日常觀察的同一現象至少有兩類因果候選：動態速度差異及 UI 閾值差異。

若觀察者只知道一次顯示為 99 的停留長度 L，方程是 L=τln[(1−θ+h)/(1−θ)]。對每個允許的 θ，都可選取 τ=L/ln[(1−θ+h)/(1−θ)] 產生相同 L。兩個未知、只有一個等式，自然存在無限多組解，除非增加已知條件。因此不能憑一段 UI 時間推定「電池健康狀態較差」、「充電器沒有輸出電流」或「廠商故意讓百分比停住」。如能同時量度端電流、電壓、容量估計及數字變化，才可縮小可辨識的參數集合。

6. 計算與合成實驗設計

6.1 基準參數選擇與重現約束

所有研究數據均由 Cycle_005/Paper_023/analysis.py 生成。基準初始 q0=0.20、轉換 qs=0.80、τ=50/3 分鐘；連續電流條件決定 r=0.012 min⁻¹，恆流段為五十分鐘。UI 99 的起點是 0.985，100 的起點是 0.995。這些參數只用於說明有意義的數學規律，研究未引用任何裝置說明書證明其真實適用性，亦不把 16.667 分鐘稱為普遍電池時間常數。轉換閾值與 UI 閾值的間距刻意設計得足夠大，使最後幾個百分點完整位於同一恆壓段，避免分段式在同一區間跨越切換點造成不必要的代數混淆。

程式同時產生 summary.json、每個百分點的 band_durations.csv、12,000 筆合成情境的 synthetic_cases.csv 及六張研究圖。浮點運算使用 NumPy，繪圖使用 Matplotlib，已明確設定隨機數生成器的種子為 2026102301。任何重現者可從程式逐行檢查參數，並在不調整本文文字的情況下測試其他閾值或時間常數。若要把結果改成描述真實手機，則必須增加實測資料、誤差模型與外部交叉驗證，本組合成檔案本身完全不足以作證。

6.2 解析值與獨立數值積分的相互檢查

封閉解的最大優勢是容易驗證，但它仍可能因程式實現錯誤而給出虛假的圖。為此，程式以兩條方法計算同一個末段狀態。第一條使用解析公式 q(ts+75)=1−0.2exp(−75/τ)；第二條在初值 q(ts)=0.8 下，對 dq/dt=(1−q)/τ 執行步長為 0.01 分鐘的前向 Euler 迭代，總共 7,500 個時間步。程式斷言兩者的絕對 SOC 差小於 0.00003，實際差約 0.0000030。此核對目的不是證明電池物理模型適合所有設備，而是抓出解析式、單位或時間軸的程式錯配。

程式另外對四個會暴露基本錯誤的性質設定斷言：恆流切換時間等於五十分鐘；輸入 95% 時的逆函數再代回 q(t) 應返回 95%；99 的閉式應等於 τln3；依次相鄰的顯示百分點區間應呈現 97、98、99 逐段遞增。這些不依賴隨機樣本的檢查，可確認研究所需的核心代數結構被程式忠實實作；它們並不保證所有圖例或字體排版沒有瑕疵，因此仍需要獨立的 PDF 品質審核。

6.3 多情境不確定性分析

為研究參數未知可能造成的數值差異，我們獨立生成 N=12,000 個合成情境。每個情境的末段時間常數 τ 服從對數常態分布，其中對數尺度標準差設為 0.28，中位數為 16.6667 分鐘。這個設定保證 τ 始終正值且容許右尾較長，但不是由量測樣本擬合得來的機率分布；選擇它的目的只是為敏感度提供具代表性的非對稱變化。恆壓轉換點在全部情境固定為 80%，而每個情境的恆流率依連續性條件 r=(1−qs)/τ 調整，避免同一模型中引入無意義的切換電流不連續。

另一方面，每個情境獨立抽取 UI 宣告 100% 的物理 q 閾值，從平均 0.995、標準差 0.0015 的常態分布產生，再將超出 [0.990,0.999] 的結果限制在該範圍內。UI 顯示 99% 的起點固定低一個百分點，即 θ−0.010。限制邊界會在分布尾端堆積一部分相同閾值，程式保留被夾至兩端的比例以供審查。每個情境的停留時間用同一封閉式直接計算，並無在隨機情境上反覆生成無意義的每秒手機電流噪聲。

分析輸出平均、樣本標準差、第五／第五十／第九十五分位與平均值的抽樣標準誤。這些量描述固定生成機制下的電腦情境分布，不能作為香港或任何地區手機使用者的信賴區間。即使 12,000 個樣本令平均的蒙地卡羅誤差很小，這也不會消除自訂機率分布、閾值範圍或單指數假設的結構不確定性。提高模擬次數只改善對當前模型的數值精度，不能自行驗證模型與現實的對應。

7. 結果：當最後一個百分點比前一個長兩倍

7.1 實際連續 q 與顯示整數的不同時間軌跡

圖一展示同一組合成參數下的連續荷電狀態與兩個介面閾值。前五十分鐘的 q 以固定斜率上升，至 q=0.80 後轉為漸近平臺，代表本研究所設定的恆壓代理階段。為避免視覺尺度誤導，縱軸標成真實模型 SOC 百分比，而非手機顯示值；圖中的 98.5% 與 99.5% 水平線分別是顯示 99 和 100 的切換位置。兩條線在縱軸只相距一個百分點，在時間軸上卻隔了約十八分鐘，這個幾何關係正是研究問題的直接可視化。

圖 1. 模型連續 q(t)、恆流恆壓交界與虛構的整數顯示閾值。資料來源：本研究解析公式；參數為 q0=0.20、qs=0.80、τ=50/3 分鐘。此圖不是實測手機充電曲線。

如果從 t=0 開始記時，最早在 t=50 分鐘達到本模型的 80% 切換點；在 t=93.1711 分鐘跨過 q=0.985，介面開始顯示 99%；在 t=111.4813 分鐘達到 q=0.995，介面開始顯示 100%。兩者相減恰為 18.3102 分鐘。按這套假設，從真正 20% 到顯示 100% 的總時間是 111.4813 分鐘，而 99 標籤的持續時間約佔此過程最後一段的顯著比例。但它不等於電池剩餘能量只有百分之一，也不等於 100% 標籤之後沒有任何控制行為；模型只是將 UI 的門檻與荷電狀態轉換分開。

圖二顯示與 q 的導數成正比的歸一化充電電流。在恆流段，它的值為一；切換後，以 exp[−(t−ts)/τ] 衰減。到達 q=0.985 時，歸一化電流等於 (1−0.985)/(1−0.80)=0.075，僅餘切換時的 7.5%；到達 q=0.995 時只有 2.5%。因而即使每個顯示區間都跨越同樣 1% 的 q，後段的電荷流入率已較低。這不是由顯示器偷偷延長時間，而是其底層連續動態的數學結果。真實電流是否遵循此指數，必須用電流與電壓量測判斷。

圖 2. 恆流歸一化為一，恆壓代理段按指數衰減；資料來源：本研究解析公式。電流為無量綱比例，不是安培實測。

7.2 等量真實荷電增量與不等量所需時間

對顯示為 97、98、99 的三個相鄰區間，解析式依次得到 5.6079、8.5138、18.3102 分鐘。特別是 99 的停留與 98 的停留比值約為 2.1506，因此在本文基準模型內，「99 比上一格多等超過兩倍」是一個可以重算的精確結論，而非統計上的印象判斷。即使 q 的增量與 UI 量化寬度完全相同，兩段所需的時間可以呈現相當不同的倍率，這個倍率只會隨 q 越來越接近上限而變得更明顯。

圖三把 80 至 99 的每個整數顯示百分點所對應的停留時間畫成長條圖。80% 標籤跨越恆流和恆壓切換點，其時間公式在程式中自動分別計算，不能強行使用全段單一指數。隨後的顯示區間完全位於末段，停留時間逐步拉長。長條圖因此呈現高度右端偏斜的形狀；這種形狀反映了模型定義下的狀態變化率，而非統計樣本中的某種顧客偏好。

圖 3. 整數百分比區間的停留時間，不等寬的時間並非不等寬的 SOC；橫軸是 80–99 的顯示標籤，資料來源：解析反函數產生的 band_durations.csv。

一個值得強調的結果是，當 q 非線性上升時，使用者所看見的 d(t) 並不是一條平滑的曲線，而是一個在各整數上停留時間不同的階梯函數。只用每分鐘記錄一次螢幕截圖，所見可能是長段完全不變的 99%，最後突然跳成 100%；這種階梯現象不必涉及程式出錯，更不代表 q 在該段停滯。相反，q 在所有有限時間仍在上升，只是每一分鐘的變化已小於原先的幅度。若要在實驗中區分真正沒有充入電荷與仍在緩慢充入，畫面數字不是足夠靈敏的量測工具。

7.3 顯示閾值在相同物理動態下引起的差異

保持 τ 及所有物理模型參數固定，只將 UI 顯示 100 的閾值 θ 由 0.990 提升至 0.999，並讓 99 的起點仍比 θ 低 0.010，得到表二的確切時間。θ=0.990 時，99 標籤只持續約 11.5525 分鐘；基準 θ=0.995 時增至 18.3102；θ=0.999 時則接近 39.9649 分鐘。這裡物理 q(t) 完全相同，因此時間差僅由我們假定介面用甚麼條件判定「滿電」而產生。任何從實際畫面停留直接推斷電池衰退程度的做法，若忽略製造商或版本的 UI 規則，便可能把顯示演算法差異誤認為電池物理差異。

圖 4. 相同物理曲線在不同 UI 宣告閾值下，顯示 99 的時間發生大幅改變；資料來源：本研究的封閉式解與閾值情境，沒有聲稱任何品牌選用圖中的閾值。

7.4 合成情境的不確定性與分布形狀

12,000 組合成情境產生的 99 至 100 停留時間平均約 19.9213 分鐘，樣本標準差 7.1575 分鐘，抽樣中位數 18.6092 分鐘，第五與第九十五百分位為 10.8915 與 33.2941 分鐘。平均值標準誤約為 0.0653 分鐘，指的是固定模擬分布下有限抽樣造成的平均估計波動；不能把它錯稱為真實手機平均充電時間的測量不確定度。圖五的直方圖呈現右偏，是 τ 的對數常態設定及 θ 接近一時的非線性對數放大共同作用的結果。

圖 5. 固定種子合成蒙地卡羅的 99→100 顯示停留時間密度；來源是 synthetic_cases.csv。每一樣本代表一組虛構參數，並非一台已受測手機。

本合成分布平均大於基準時間 18.3102 分鐘，不能單憑這個差異宣稱「不確定性本身使人慢充」。平均受到假設的非對稱 τ 分布、閾值與對數函數曲率影響；由非線性函數取期望時，將平均參數代入公式通常不等於先計算每個樣本再取平均。若改用截斷均勻分布、固定 τ 或其他相關結構，得到的平均與尾部將改變。研究的目的在量化假設對結論的敏感度，而不是替選定的機率分布尋找一個不存在的現實代表性。

程式還比較每組情境最後一個顯示百分點與其前一個相同寬度區間的停留時間。在 12,000 組合成情境內，後者全部較短，比例為 1.0；這個結果其實可直接由凸性定理預期，而不是抽樣發現了某種真實 100% 的普遍規律。當 q(t) 在末段的反函數為嚴格凸函數時，任意兩個相鄰且等寬的有效區間本就會呈現後段較長。因此這個「100% 的模擬勝率」不應被報成百分之百的實證確信度，而應視為程式是否遵從解析理論的內部一致性檢查。

8. 敏感度分析、可識別性及反例

8.1 末段時間常數的作用及模型相依性

在已知閾值固定的條件下，從 a 到 b 的時間與 τ 成正比，因此把 τ 由十六點七分鐘增加一倍，99 標籤也會從約十八點三分鐘增加一倍。這個比例關係比某一組具體數值更有可移植性。其實質是：如果電流衰減的時間尺度擴大，而顯示轉換點保持不變，對應的所有末段區間便等比例延長。然而這不是說任何充電器功率減半必使每段時間加倍，因為實際設備可能同時改變恆流率、轉換點、溫度控制和充電終止門檻。

本文為了保持分段一階導數連續，令 r=(1−qs)/τ，故單獨調整 τ 的同時也會令恆流段時間 ts=(qs−q0)τ/(1−qs) 改變。如果研究者希望固定充電器的恆流速度，只改變末段衰減常數，則交界處的有效電流可能不再連續，需要額外建構轉換期或明列跳變的控制策略。兩種敏感度實驗回答的問題不同：前者分析一整組互相匹配的充電時間尺度，後者分析控制策略改變時的局部效應。由於本文使用前者，不能把其結果誤讀為單獨調整實際 CV 階段而保持其他物理量完全不變的實驗。

8.2 接近上限時的數學奇異性

末段逆函數的導數為 τ/(1−q)，當 q 逐步接近一時會越來越大，極限沒有有限上界。圖六刻意以對數縱軸展示這一點：真實 q 每增加固定的一小段，需要付出的邊際時間可能越來越高。若 q 的終點正好設為一，數學上的到達時間發散；若終點是 0.995 或其他嚴格小於一的數字，則得到完全有限而可計算的等待。漸近無窮並不意味現實世界有一個實際需要等待無限分鐘的充電程序，它只表明這個理想化連續模型不能將終點硬設為自身的極限值。

圖 6. dt/dq=τ/(1−q) 隨荷電狀態增大而上升；對數尺度揭示接近上限的敏感度。資料來源：純理論公式，而非實驗導數估計。

將模型推廣到真實系統時，可用一個明確的截止電流、有限充電時間窗或 BMS 宣告規則消除「數學上永不到達一」的問題。這並不是為了讓理論迎合常識而修改答案，而是區分兩種原本就不同的事件：數學狀態的漸近極限與工程控制器的可操作完成準則。若研究者未對完成準則作可量測定義，任何宣稱「手機剩 0.5% 到底要多久」的答案都沒有唯一意義。

8.3 兩種反例說明不能從結果反推機制

第一個反例是恆流直到終點。若充電程式採 dq/dt=r 且 UI 每段真實 q 寬度相同，那麼 98 與 99 的顯示時間完全相同，無論其數字多接近一百。這證明僅有整數百分比本身，並不必然造成末段較長；它需要相應的物理動態或更複雜的顯示映射。第二個反例是保留本研究的指數衰退物理，但在高 SOC 區域改為顯示「充電完成」的文字，或將 99 映射改為一個很窄的真實 q 區間。這時即使真實充電速率下降，使用者看見 99 的時間也可以縮短。兩個反例分別移除物理條件和顯示條件，說明原命題是有條件的，不是任何手機都會發生的必然定律。

第三種潛在情形更加貼近實驗識別困難：充電電流未必平滑衰退，而可能因溫度、背景功耗或安全保護暫停一段時間。畫面同樣可以呈現 99 停住，但原因與指數方程完全不同。若只以使用者截圖或一次總耗時作證，便無法區分這些替代機制。因此，研究者真正需要的是把外部可量測量與內部模型狀態建立同步時間記錄，並有足夠的重複充電循環控制環境、電池年齡與負載。

8.4 為何大量合成樣本不能替代真實識別

不確定性實驗在統計意義上的母體由我們自己指定：τ 具有對數常態分布，而 θ 具有截斷常態分布，兩者獨立。即使增加至一百萬個情境，樣本的特性仍由這兩個設定決定。某些實際電池可能在高 SOC 觸發新的控制狀態，使 τ 與 θ 具有強烈相關；另一些裝置可能按時間平滑顯示，而非直接四捨五入。在這些情況下，本文合成樣本所反映的變異機制便不適用。故較大的 N 只能使條件於這個生成機制的平均更穩定，不能由內向外生出外部效度。

就觀測設計而言，若只記錄每一次 d 從 99 跳到 100 的時間，至少存在「更大的 τ」與「更接近一的 θ」兩條不同解釋路徑。加入 97、98 及 99 的多段等待，配合已知等寬量化假設，有機會利用相鄰時長比推估 θ，再推回 τ；但只要量化規則可能不等寬或 q(t) 可變，這條識別路徑仍會失效。本文將可識別性視為一個研究條件，而非提供通用的電池診斷工具。

9. 討論：從荒誕標籤到可測量機制

本研究最有啟發性的結果並非 18.31 分鐘這個數字，而是它可以由兩組互不相同的模型設計共同決定。一組是 q(t) 的物理動態，另一組是 d(q) 的資訊呈現；兩者合起來才構成使用者可觀察到的離散等待。當畫面只剩一個百分點時，人們容易用百分點大小推斷完成比例，卻沒有檢查百分點在時間尺度上的映射。從數學上說，使用者混淆了狀態變數的相對位置與時間反函數的局部斜率。這正是跨越電池工程與人機介面的非直觀性來源。

在工程層面，恆流恆壓只是可選的一類充電策略；它的末段機制與電化學安全限制互相關聯。Tomaszewska 等人（2019）及 Keil 與 Jossen（2016）對充電策略的討論提醒研究者，充電速度並不獨立於壽命、溫度、電流及電壓限制。本文不建議為使最後一個數字跳快而提高充電電流，也不認為所有在 99% 顯示較久的手機都有故障。如果未知道充電器及 BMS 在做甚麼，單從介面觀察便給出維修或安全結論可能適得其反。

在資訊呈現層面，同一個顯示整數標籤包含了一整段連續 q 的集合。當使用者沒有小數位資訊時，某一段五分鐘的實際進展可能一直看不見；跨越閾值後又會突然出現一個完整百分點的「進展」。這不是能量守恆遭違反，而是連續訊號經過有限解析度量化的自然結果。若將量化顯示用在軟件下載、建模渲染或運動進度條，也會有類似的觀察限制；然而那些系統的速度規律不一定是指數衰退，不能將本文的充電方程原封不動搬去推斷其他領域。

從統計角度看，合成情境的平均時間和分位數用來展示參數不確定性的後果，而不是創建一群不存在的樣本。平均值 19.92 分鐘只是對研究者自設的兩個分布進行函數變換後所得；其標準誤很小，並不表示研究者對真實手機有高度把握。當模型參數不確定性和抽樣不確定性被混在一起時，很容易形成「數字精確就是論點真實」的錯覺。因而本研究既報出足夠位數讓第三者查核，也明確將實際解讀限制在假設世界之內。

在方法論上，這個案例提供一個值得保留的研究模板：先觀察一個有趣的生活問題，辨識被混淆的量；再提出一個足夠簡單但具有可檢驗推導的模型；對每個自由參數公開其決定方式；用分析解與數值計算互相核對；最後針對無法驗證的外部推論主動尋找反例。如此一來，荒誕的題目不必依靠捏造受訪者或誇大研究成果來維持吸引力，反而可以因為假設與反例透明而更值得細讀。

還有一項值得辨識的公平性問題：對不同設備直接比較「顯示 99% 的分鐘數」，本身未必公平。兩款裝置可能有不同名義容量、不同充電功率、不同 UI 閾值或不同的電池健康狀態。如果把相同的標籤看成相同的真實 q 區間，使用者便會忽略測量規則本身可能不同。更合理的跨設備研究會先定義共同的實際充入電荷或能量指標，再比較在相似外部條件下的速度，最後獨立報告各自的顯示策略與端到端體驗。這樣才能避免以介面設計差異作出錯誤的物理判斷。

10. 限制、外部效度及倫理說明

第一個限制是物理模型的簡化幅度很大。恆壓階段的單一指數近似只是一個解析方便的代理，不代表真實鋰離子電芯在所有 SOC、溫度或老化情況下都遵循同一個 τ。電池實際可能存在非線性平衡電壓、極化、反應動力學、擴散、內阻發熱、鋰沉積風險、多段式電流控制及保護停止。本文未進行熱學與電化學參數辨識，無法用模型中的常數推回具體安全上限、性能衰退或電池壽命。若要把這些問題納入，應改用經實測參數化的等效電路、電化學或熱電耦合模型。

第二個限制是顯示規則的純粹假設性。不同裝置可根據設計需求採取四捨五入、向下取整、遲滯、平滑顯示、智能校正、充電最佳化或系統層充電限制；它們對使用者視窗的影響可能大於電流衰退本身。本文沒有讀取任何閉源電池管理程式，也沒有資料支持將 99 對應到 [0.985,0.995) 的實際品牌政策。因此表內的 UI 閾值只作方程演示，不屬於製造商規格數據。

第三個限制是統計外推。12,000 個合成情境由獨立生成的 τ 與 θ 構成，沒有真實電池、手機或個人觀察資料。對數常態的對數標準差、常態閾值的尺度及裁切範圍都是研究者為敏感度檢查自選的示範設定，完全沒有統計配適。樣本變異量和分位數只對這組生成機制有效，不能用作任何城市、品牌、型號、溫度群組或不同電池年齡群的經驗預測。

第四個限制涉及因果推論。即使真實使用者在某一天觀察到 99 停留十五分鐘，也無法排除插頭接觸、無線充電線圈對位、電池溫度、背後應用耗電、系統定時排程及量測噪聲等替代解釋。本文沒有隨機分組、干預充電策略，也沒有反覆受控實驗，因此對「為何某一台實際手機停住」不提供單一因果診斷。論文標題中的疑問是研究動機，模型回答的是在甚麼明確條件下會出現相似形狀的時間序列。

第五個限制是時間尺度、分母與停止事件的選擇。當電池名義容量隨老化變化，q 的分母可能改變；當系統保留額外容量緩衝，滿電標籤可能不等於最大物理儲量；當充電器達到截止電流時，控制器可能以停止條件替代漸近極限。若沒有清楚定義 SOC、時間起點、顯示跳變及完成準則，跨論文比較的數字可能根本不是同一研究量。本文已公開所有定義，但其清晰性不能保證外部設備採用相同定義。

從倫理角度看，這項工作既無人類參與者，也無個人資料收集，不涉及虛構調查或訪談；模擬的每一組參數都可由固定種子再生。六篇文獻被引用以支持模型背景的有限主張，並經書目與公開摘要級核查；不可將其理解為已經驗證本文的模擬參數。若有人希望依本文更改實際充電電流、繞過安全限制或自行改寫 BMS，便已超出研究目的與證據。本文提供的是可檢查的理論分析，不是維修操作指引。

11. 結論

本文以一個分段恆流與指數收斂的恆壓代理模型，結合整數百分比的量化映射，嚴格拆解「手機電量 99% 為何似乎停很久」的數學可能性。在指定條件下，顯示 99 的停留時間為 τln3，顯示 98 的停留時間為 τln(5/3)，因而基準的兩段等待分別為 18.3102 和 8.5138 分鐘。此不等時間不需要假定電池在 99% 時停止工作；它由連續狀態變化率降低與離散標籤的固定閾值共同產生。以反函數嚴格凸性可以證明固定寬度的末段區間越後越長，用改變閾值的反例則可證明顯示政策會影響用戶看到的最後一段等待。

12,000 個固定種子的合成情境表明，當研究者假定末段時間常數和 100 顯示閾值具有變異，模擬停留時間也會出現相當寬廣的右尾。這只是條件於參數生成法的模型運算，並非任何真實手機的估計結果。沒有端電流、電壓與容量資料時，從一段 UI 停留不能唯一識別充電速率和宣告閾值。研究因此同時給出一個令人會心一笑的解釋與一個必要的保留：模型說明某件事如何可能發生，還未證明某一款裝置為何實際如此。

12. 未來研究方向

下一步可以設計受控的重複充電量測，於不同溫度、背景負載與電池健康狀態下同步記錄充電器端功率、電池電流、端電壓及系統顯示百分比。對每一次顯示轉換都記錄時間戳記，再以模型比較判斷是否應採單一指數、多時間尺度電路或含控制切換的狀態空間模型。若加入真實資料，應以預先界定的訓練與測試循環進行外部驗證，避免只挑選最能展示末段漫長的樣本。

對量測方法來說，最有價值的不是無限制提高模擬次數，而是提高可識別的觀測維度。若能同時知道真實電荷增量或穩定的庫侖計數估計，就可將 UI 閾值與物理電流動態分開配適；若只能取得螢幕標籤，則應報告兩者共同造成的可識別區間，而不是硬擬合出唯一物理原因。亦可比較不同呈現方式，例如顯示估計剩餘時間、延後顯示滿電、或顯示「充電保護中」等狀態，研究這些介面是否減少使用者對一個百分點等於固定時間的錯誤直覺。

若有適當倫理審批，另一方向是獨立研究主觀時間感知：隨機控制顯示序列但保持實際等候不變，觀察使用者會否因接近完成的數字而低估尚需時間。不過，這類實驗所研究的是人類心理反應，其估計量與本文物理模型完全不同。未來跨學科研究應先確定是研究充電效率、顯示準確性還是主觀耐性，再選擇對應實證方法，避免將三種現象混在單一動聽標題之內。

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