摘要
兩組在按兩種條件分層後，A 於各層的成功率都高於 B，合併後 A 的成功率仍可能低於 B。此現象對香港高中數學延伸部分單元一（M1）的條件概率教學具有延伸探討價值，但已有成熟文獻，不能視作新發現。本研究在兩群組、兩層、各分母皆嚴格正的有限模型下，整合四種可覆核的數學證書：以加權恆等式導出合併反轉的必要充分組成差門檻；從層內最小優勢求出排除反轉的界；用整數交叉乘法避免小數運算的符號歧義；在率只以四捨五入方式顯示及組成權重有擾動時，推導反轉方向維持的充分條件。研究者人工構造的一個列聯表，A 在兩層各領先 10 個百分點，但合併後落後 14 個百分點。另以 121 組事先指定權重與獨立枚舉的 38,416 個小型人工整數表交叉核查式子；這些數字不是學生測量、自然反轉率或統計估計。本文呈現一套特定情境下的描述性算術審核框架，不能據此斷言因果、考試評分規則或教學成效。
關鍵詞： 香港數學教育；M1；條件概率；辛普森悖論；組成差；列聯表；四捨五入；精確核驗
Abstract
A group may outperform another group in each of two strata while having a lower pooled success rate. This classical Simpson reversal provides an extension of conditional probability in Hong Kong senior secondary Module 1, although it is not identified as a prescribed examination topic. We present an exact, auditable framework for two groups and two strata with strictly positive denominators. An affine decomposition yields an if-and-only-if mixture-weight threshold. We establish a sharp necessary bound using the minimum within-stratum advantage, an integer cross-product sign certificate, and sufficient sign conditions under rounded displays and perturbed mixture weights. A wholly constructed contingency table has a 10-percentage-point within-stratum advantage for A but a 14-point pooled disadvantage. Exact rational calculations, a designed 121-point weight grid, and an independent enumeration of 38,416 small artificial integer tables check these claims. The design grid and enumeration are mathematical exercises, not sampled educational outcomes or estimates of reversal prevalence. The component mathematics builds on extensive existing literature and makes no claim of global priority, causal identification, or demonstrated classroom benefit.
Keywords: Hong Kong mathematics education; conditional probability; Simpson's paradox; aggregation; contingency table; exact arithmetic; rounding stability
1. 引言
香港教育局《高中數學課程闡釋：單元一》（2009，2018 更新）的學習單元 10 明列 Conditional probability and Bayes' theorem。學生既可以計算 P(Y=1 | G=A, Z=0)，也可以計算 P(Y=1 | G=A)；兩者有不同分母及權重。分層成功比例與合併成功比例的方向比較，因此是條件概率的自然延伸。但官方文件並未說明「辛普森悖論」是必考項目，更沒有將本文提出的證書納入閱卷指引。
一個容易出現的推理陷阱是：「假如 A 在兩個難度條件下的成功率都較高，A 的總成功率便必然較高。」其數學問題出在兩組分別按自己的高低層人數加權。當 A 多數處於較低的基準成功率層、B 多數處於較高層時，組成差可抵消局部優勢。這不表示普通算術有矛盾，也不表示任何個體的結果因組別標籤而改變。
本文依次回答四個問題：RQ1，如何寫出反轉的必要充分門檻？RQ2，最小層內優勢能否保證某些組成差下不可能反轉？RQ3，成功次數與總人數皆為正整數時，如何不經浮點四捨五入便判斷反轉？RQ4，若報表百分比及組成比例均有有限精度，何時能嚴格保證反轉方向不變？研究以演繹證明和人工有限例子為主，不設真實學生樣本。
本篇可討論的貢獻是把成熟的加權分解、不等式、整數核對與誤差界針對兩層 M1 示範表整合為一套可稽核的條件證書。若系統不能證明結論，應輸出「證據不足」而非猜測方向。新穎性仍待更廣泛的系統性文獻搜尋及外審確認。
2. 文獻綜述與定位
Simpson（1951）已討論交互作用與列聯表合併推理；Blyth（1972）討論方向反轉與 sure-thing principle。Pavlides 與 Perlman（2009）研究 2×2×2 列聯表的反轉比例及概率問題。這些直接先例顯示反轉現象、加權概率結構及其定量探索皆非新事物。Gou 與 Zhang（2017）已專門發表辛普森悖論的課堂活動和機率解釋；所以將反轉引入教學，也不能稱為本稿首創。
另一方面，Pearl（2014）與 Hernán、Robins（2020）均指出，單靠觀察關聯及其合併／分層符號，無法充分確定因果效應。本文所有定理只涉及描述性比例，完全沒有隨機分派、識別假設或干預模型。香港教育局的 M1 闡釋文件用來確定條件概率這一教育場景，並不聲稱具有任何本研究效果或統計數據。
表 1：既有研究與本文限定問題的對照
| 來源 | 已有研究 | 本文限定的核驗 | 不能宣稱 |
|---|---|---|---|
| Simpson（1951）；Blyth（1972） | 列聯表反轉與合併問題 | 明確兩層權重及符號門檻 | 首次發現悖論或加權分解 |
| Pavlides 與 Perlman（2009） | 反轉表的分布與概率研究 | 指定小分母全枚舉及格點檢查 | 人工格點比率是自然反轉率 |
| Gou 與 Zhang（2017） | 課堂活動與機率解釋 | 整數、捨入及擾動的可覆核證書 | 首次提出教學用途或已改善學習 |
| Pearl（2014）；Hernán 與 Robins（2020） | 因果詮釋的條件與限制 | 純描述性、無因果假設 | 組別差是因果效果 |
| 香港教育局（2018 更新） | 單元一條件概率課程 | M1 的延伸數學情境 | HKDSE 官方評卷規範 |
3. 理論模型與符號
設 G∈{A,B} 為兩個虛構群組，Z∈{0,1} 為兩個層（0 稱低層，1 稱高層），Y∈{0,1} 表示一個純數學成功事件。令 n_Gi 為該組該層正整數總數，s_Gi 為成功個數，滿足 0≤s_Gi≤n_Gi；空層不在模型內。
各群組的高層組成權重及合併成功率如下：
在正整數表中 0<α,β<1。為研究參數邊界，可另讓 α、β 形式上在 [0,1] 取值；圖中的端點是極限，不可誤當四個分母皆正的列聯表。定義嚴格反轉為 r_A0>r_B0、r_A1>r_B1 且 R_A<R_B。相等不算嚴格反轉。
令 u=r_B0、v=r_B1、δ0=r_A0−r_B0、δ1=r_A1−r_B1。主要定理假定 0≤u0 且 u+δ0≤1、v+δ1≤1，避免非法的「成功率大於 1」。若 v≤u，應交換層標籤或直接使用未除以 v−u 的式子。
4. 方法與驗證設計
本文採完整解析證明、精確分數運算、整數正負號核查、有限全枚舉四種互補方法。研究沒有定義隨機抽樣母體，所以無意義去報告 p 值、信賴區間或香港學生出現反轉的頻率。主要證明對所有符合假設的兩層比例成立；程式只核對特定值及有限小表，不能替代一般證明。
主程式 code/analyse.py 使用 Python 標準庫 Fraction 及 Matplotlib，產出人工案例的精確交叉差、121 格點、三張圖及 JSON；獨立程式 code/independent_audit.py 沒有匯入主程式，改以 Fraction、整數和迴圈全枚舉四個分母 1 至 4、每個成功數 0 至其分母的全部組合。後者比較加權分解與合併率的恆等，並獨立覆核交叉差符號。
5. 完整数學推導
5.1 定理 1：必要充分的反轉門檻
定理 1。 在第 3 節假設下，令 Δ=R_A−R_B，必有精確分解：
由 v−u>0，嚴格反轉的充要條件是：
證明。 R_A=(1−α)(u+δ0)+α(v+δ1)=u+α(v−u)+(1−α)δ0+αδ1，而 R_B=(1−β)u+βv=u+β(v−u)。兩式相減給式（3）。將 Δ<0 移項再除以嚴格正的 v−u，得到式（4）。反過來將式（4）乘 v−u，亦得 Δ<0，故條件同時必要及充分。證畢。
推論 1。 若層內 A 嚴格領先兩次且 v>u，則反轉必有 β>α。特別若 α=β，Δ=(1−α)δ0+αδ1>0，反轉不可能。此推論是加權凸組合性質，不是因果命題。
5.2 定理 2：不可反轉區域及界的可達性
令 δ_min=min(δ0,δ1)>0 及 R=v−u>0。由加權平均至少是兩數較小者，(1−α)δ0+αδ1≥δ_min。嚴格反轉的必要條件因此包括：
若 R≤δ_min，兩個不等式無法同時成立，因此任意合法組成權重均不會嚴格反轉。若 β−α≤δ_min/R，也可排除反轉。反過來，僅有 β−α>δ_min/R 不保證反轉，因為當 δ0≠δ1 時，式（4）的真門檻可能更大。
證明鋒利性。 只要可選合法 0<δ<R 及 u、v 滿足 v−u=R、v+δ≤1，取 δ0=δ1=δ，則 (1−α)δ0+αδ1=δ，式（4）退化成 β−α>δ/R。當 δ/R<1，可取嚴格內點的有理 α、β 跨越界；有理率及有理權重能以共同分母構造成正整數表。是故在只有 δ_min、R 已知而無其他資訊時，不能普遍把 δ_min/R 的必要下界再提高。證畢。
邊界反例。 取 u=0.1、v=0.7、δ0=0.1、δ1=0.2、α=0.2、β=0.4。則 δ_min/R=1/6，β−α=0.2>1/6，符合式（5）的組成差必要要求，但式（4）的真門檻等於 [(0.8)(0.1)+(0.2)(0.2)]/0.6=0.2；因此 Δ=0，並沒有嚴格反轉。這個反例證明式（5）不能誤寫成充分條件。
5.3 命題 1：整數交叉乘法證書
命題 1。 對每個 n_Gi>0 且 0≤s_Gi≤n_Gi，兩個層內 A>B 當且僅當以下交叉差都為正：
合併 A<B 當且僅當：
證明。 在正分母 m,n 下，a/m>b/n 等價於 an−bm>0；對兩個層與合併總數分別使用此等價關係即可。沒有近似誤差。若三個差中的任一差為零，則至少一個所需嚴格不等式不成立，必須輸出「非嚴格反轉」。證畢。
這種檢查適用於完整的整數成功／總數資料，不能把報表四捨五入的百分比當作原始成功個數。輸入為空分母、負成功數或成功數大於總數時，應先拒絕而非輸出數學分類。
5.4 定理 3：顯示精度下的反轉保號
假設四個真實層內率 r_Gi 均各自四捨五入至 q_Gi，步距 h>0，並滿足 |q_Gi−r_Gi|≤h/2；兩組高層權重 α、β 精確已知。設用顯示率及精確權重構成的合併差為 Δ_hat。由三角不等式與凸組合，每組合併率的顯示誤差不超過 h/2，故有：
證明。 A 的加權誤差至多 (1−α)(h/2)+α(h/2)=h/2；B 同理。兩個合併率相減，誤差上界至多 h/2+h/2=h，得到式（8）。證畢。
推論 2（足夠但非必要）。 若每個顯示層內差 q_Ai−q_Bi 都嚴格大於 h，且 Δ_hat+h<0，則真正四個率必滿足兩層 A>B、合併 A<B。前兩條由每對率相減誤差最多 h 證明，最後條由式（8）證明。若不滿足這個判準，應標記「顯示精度不足以保證」，不能推斷必無反轉。此式不適用於截斷捨入、不同步距或權重自身四捨五入而未計算額外誤差的報表。
5.5 命題 2：組成比例擾動界
四個層內率維持固定時，若另一組成配置滿足 |α'−α|≤η_A、|β'−β|≤η_B，將 Δ' 與原 Δ 相減及用三角不等式，可得：
證明。 R_A=r_A0+α(r_A1−r_A0)，R_B=r_B0+β(r_B1−r_B0)。因此 Δ'−Δ=(α'−α)(r_A1−r_A0)−(β'−β)(r_B1−r_B0)，取絕對值即可。證畢。
若已知 Δ<0 且式（9）右端嚴格小於 −Δ，則所有允許權重擾動後仍有 Δ'<0；若等於 −Δ，只可保證 Δ'≤0 而不能保證嚴格反轉。當層內率也隨組成改變時，式（9）的固定率假設不再成立，不能照用。
6. 人工算例與計算結果
6.1 人工列聯表及其整數證書
表 2：兩組各層成功數／總數，全部為研究者人工構造
| 組別 | 低層 Z=0 | 高層 Z=1 | 合併 | 說明 |
|---|---|---|---|---|
| A | 24/80 = 30% | 14/20 = 70% | 38/100 = 38% | 兩層各高 10 個百分點 |
| B | 4/20 = 20% | 48/80 = 60% | 52/100 = 52% | 合併高 14 個百分點 |
這張人工表有 α=1/5、β=4/5、u=1/5、v=3/5、δ0=δ1=1/10。式（4）的門檻為 β−α>1/4；實際 3/5>1/4。由式（3），Δ=1/10−(3/5)(2/5)=−7/50=−0.14。整數證書是 C0=24×20−4×80=160>0，C1=14×80−48×20=160>0，C_pool=38×100−52×100=−1400<0。用整數即可獨立核對全部方向。
若改為兩組各自相同高層權重 α=β=1/2（層內率不變），A 的合併率是 0.5，B 是 0.4，反轉消失；這是反事實算術重加權示範，不是對學生干預效果的估計。
6.2 指定權重的 121 格點
固定四個層內率，在 {0,0.1,…,1.0} 的 11 個點分別選 α、β，產生 121 個指定組成對。此時 Δ=0.1−0.4(β−α)，只有 β−α>0.25 才嚴格反轉；格點步長 0.1，因此 β−α≥0.3 的格點有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 個。36/121 是研究者選擇格點的比例，不是由任何學生資料抽樣估計的發生率。 含端點 0、1 的網格僅為連續權重邊界，端點不符合真實四個正分母的有限整數表假設。
圖 1：色階為 R_A−R_B，黑線是 β=α+0.25，黑點對應人工列聯表。來源：本文 Fraction 精確參數及生成程式，不含真實數據。
圖 2：α=0.2 時，β=0.45 為 Δ=0，僅在 β>0.45 才嚴格反轉；β=0.8 的整數例子是 Δ=−0.14。來源：式（3）及原始程式。
6.3 捨入與權重穩健性的具體數值
若每層率顯示到最接近整數百分比，h=0.01，四個顯示率有最多 0.005 的個別誤差。表 2 的顯示差距仍各有 0.10>h；按式（8），合併差的真值被包在 [−0.15,−0.13] 之內，因而能嚴格保證負號。若顯示步距大至 h=0.20，保號充分判準失效，只表示報表證據不夠。
圖 3：依據式（8）繪製的保守區間；當 h=0.14，上界碰到 0，因此沒有嚴格負號保證。這不是概率置信帶。來源：本文演繹結果及程式。
若權重 α、β 各偏移至多 0.05，四個層內率固定，式（9）的擾動上界是 0.05×0.4+0.05×0.4=0.04。原本 Δ=−0.14，故最壞情況 Δ'≤−0.10，反轉仍維持；這是一個有條件的模型內結果，不包括層內率也變化的情況。
6.4 獨立小分母列聯表全枚舉
表 3：核驗證據及其覆蓋範圍
| 核驗程序 | 已得數值 | 沒有證明的範圍 |
|---|---|---|
| 主程式 Fraction 與整數交叉差 | C0=160；C1=160；C_pool=−1400 | 真實學生成功率 |
| 事先指定的格點 | 121 點中 36 點具嚴格反轉 | 自然發生機率 |
| 獨立枚舉四個分母各在 1 至 4，成功數 0 至分母 | 共 38,416 表，恆等式與正負號全部一致；14 表嚴格反轉 | 任意大分母的一般定理 |
| 另外檢查兩組層權重相同、且兩層 A>B 的人工配置 | 400 組均保持合併 A>B | 學生認知或課堂效度 |
枚舉表數可由 ∑_{n=1}^4(n+1)=14，四組相乘得 14^4=38,416。14 張嚴格反轉表只是此人工有限全集中的數目；如果更改分母範圍或表的抽選權重，比例便可能改變。主程式與獨立核查並未相互匯入，但都使用 Python 整數及分數算術，因此仍不是形式證明器。
7. 教育意義與研究討論
7.1 分母、加權平均與條件概率
對 M1 的擴展學習而言，區分 P(Y=1 | G,Z) 與 P(Y=1 | G) 能迫使解題者明確選擇分母。若兩個層的人數不同，不能把兩個百分比簡單作未加權平均來取得整組成功率；正確的是以每組該層所佔人數加權，而且 A 與 B 的權重各不相同。定理 1 把正項「層內優勢」與負項「B 較多配置於高基準率層」分開，使常見反直覺現象有嚴格條件。
教師若採此作自主探究，可要求學生先以整數證書重算表 2，再把兩組權重設成相等，最後把顯示精度改成粗略百分比並判斷能否仍得確定結論；但本文沒有實驗證明上述活動能有效提高學習表現，也沒有為 HKDSE 提出新的評分規則。
7.2 對因果、公平性與群體詮釋的限制
比例反轉屬描述性統計，不能單靠任一方向判斷教學方案 A 是否真的優於方案 B。分層變項可能是混雜因子、媒介或選擇變項，應否合併是需要研究目的與資料生成機制才能判斷的問題。所有構造表沒有學生、學校背景及個人資料；故不適合推論香港不同群體的能力差異、教育公平或政策效果。
7.3 「無法核驗」是一個有效答案
如果報表只提供四個經捨入的百分比，缺少層人數和明確顯示精度，便不能還原式（6）的整數證書。定理 3 是保守充分條件：通過後可保證方向，未通過時可能真的反轉，也可能不反轉。若要把證書加入數學評核或數據素養活動，應先明確區分「證明為反轉」、「證明沒有反轉」及「證據不足」三種輸出，避免對臨界等號給出錯誤分類。
8. 研究限制
本研究只處理二元結果、兩群組兩層、有限正分母及條件基準率單調的案例；多層分解要改成向量形式，不能直接套式（5）。121 格點包含連續模型端點，不是同時滿足正整數分母的原始表。捨入式預設每個率最大誤差 h/2 且權重精確，若權重亦被捨入、報表採截斷或有選擇偏差，須重新構造誤差界。
雖然 38,416 個小表已獨立覆核，有限枚舉不代替任意分母的演繹證明，也不測試學生是否理解條件概率。研究未進行全面中文學位論文及受限全文的新穎性搜索，未經外部同行評審；其方法組合可能已有先例，應以後續全面比對調整貢獻聲稱。沒有研究倫理批核及任何教育實測資料，因此不能報告真實效果量、顯著性、信賴區間或香港學生統計。
9. 結論
對指定兩層模型，嚴格反轉成立當且僅當高基準率層的組成差超越加權層內優勢。由此可以推導一個不能反轉的必要門檻、精確整數交叉差證書，以及對已知捨入或權重擾動的保守保號條件。人工例子與 121 格點、38,416 個小整數表的結果吻合理論推導，支持這些公式在所檢查條件下的實作正確性。未來應先擴展跨語言文獻核對與多層數學，若欲檢驗實際學習效果，需另外規劃倫理許可及真實學生研究。
參考文獻
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Hong Kong Education Bureau. (2018). Explanatory notes to senior secondary mathematics curriculum: Module 1 (calculus and statistics) (2009, updated August 2018). https://www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/EN_M1_e.pdf
Pavlides, M. G., & Perlman, M. D. (2009). How likely is Simpson's paradox? The American Statistician, 63(3), 226–233. https://doi.org/10.1198/tast.2009.09007
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