The Exact Solution Polygon, Worst-Case Certificates and First Singularity Radius for Two-Variable Systems with Row-Sum-Preserving Perturbations: An Extension of Hong Kong Mathematics Module 2

摘要

香港高中數學延伸部分單元二（M2）要求學生處理二階行列式、逆矩陣與聯立線性方程組。本研究考察兩行係數總和分別固定、同行兩個係數彼此相補變化的相關區間系統。先以行和正規化將行列式化為參數的仿射函數，再由解到參數的逆映射證明：若整個係數盒可逆且兩個正規化右端不同，所有聯合可達解恰構成一個由四條線性不等式描述的凸四邊形，其頂點為四個參數角點的像。由此推得精確面積、任意範數最壞偏差的頂點證書及首次奇異半徑，並嚴格區分奇異系統的無解與無窮多解。本稿附兩種獨立的精確有理數驗證途徑，並提供完整人工數值案例。這些結果是既有區間線性系統、線性分式最佳化理論的特定教育應用，並不宣稱一般性的全球數學原創性。沒有學生實證數據，不能從數學結果推斷學習效果。

Abstract

Hong Kong's Mathematics Extended Part Module 2 covers determinants, inverse matrices and linear systems. This paper examines a correlated uncertainty model in which the sum of the two coefficients in each row remains fixed. Under global nonsingularity and unequal normalized right-hand sides, the exact joint attainable solution set is a convex quadrilateral described by four linear inequalities. We derive its vertices, exact area, vertex certificates for worst-case deviations under any norm, and the first singularity radius as uncertainty expands. The singular-system boundary is classified by consistency. Two independent rational-arithmetic programs check constructed examples. This is a verifiable specialization of existing interval-system and linear-fractional theory for advanced mathematics education, without claims of global mathematical novelty or measured educational effects.

**中文關鍵詞：**香港 M2；線性方程組；行列式；行和固定；相關擾動；區間矩陣；可達解集合；穩健最佳化

English keywords: Hong Kong Module 2; linear equations; determinants; row sums; correlated perturbations; interval matrices; attainable sets; robust optimization

1. 引言

矩陣是否可逆，是二元及三元聯立方程組的重要判斷。香港教育局《高中數學課程闡釋：單元二》（Education Bureau, 2018）列有二、三階行列式、矩陣，以及利用 Cramer 法則、逆矩陣和高斯消去法解聯立方程組。本研究以正式課程的基本概念為起點；參數不確定性、凸集合和面積推導均屬高階延伸，不得誤稱為 M2 必考內容。

假設某一方程的兩個係數由總額分配而來。增加第一項，第二項便必須同量減少；因此不能把兩項當作獨立區間。當兩條方程同時有這種限制時，求得每個未知量的個別範圍，仍不足以回答任意兩個範圍內數值能否同時出現。本文把這個問題形式化，提出四個目標：全域可逆的充要條件、聯合可達解集合的完整幾何、有限頂點的精確穩健證書，以及擾動擴大後首個奇異半徑。

研究對象是純數學模型，所用測試值由研究者自行設計，並非香港學生作答、教師評分或真實社會經濟數據。任何教育效果須另作有效度及倫理保障的實證研究。

2. 文獻綜述與研究定位

Rohn（1989）研究一般區間線性系統的解界及可逆性；Rohn（2009）總結區間矩陣 regularity 的多種充要條件。Charnes 和 Cooper（1962）是線性分式最佳化的重要古典先例。更直接的是 Alefeld、Kreinovich 和 Mayer（1998）明確研究係數帶線性相依限制時的聯合解集合，指出一般相依情形的幾何可遠比多邊形複雜；其模型範圍已包含本稿的固定行和仿射參數族。Zhen 和 den Hertog（2017）又在列向不確定性條件下導出某些聯合解集的凸表示，並回顧依賴資料的研究。列向條件不應直接等同於本稿的同行係數互補約束。故不能以「相關係數」或「凸解集合」本身作全球原創主張；本稿價值在固定行和二維特例的直接閉式面積、臨界半徑及香港 M2 進階問題鏈。

表 1　來源、既有學術依據與本文的具體特化

來源	確認的先例或依據	本研究處理的特定情形
Education Bureau（2018）	M2 第 12–14 單元涵蓋行列式、矩陣與聯立線性方程組	香港課程之高階延伸定位
Rohn（1989）	區間線性系統的求解與解的界	固定同行係數和的相關子族
Rohn（2009）	一般區間矩陣的多種規則性判準	可手算的雙參數充要證書
Charnes & Cooper（1962）	線性分式最佳化	專門導出聯合解四邊形、面積及半平面式
Alefeld et al.（1998）	帶相依係數的區間方程解集可具廣泛半代數幾何；本文模型屬其仿射相依設定	指定固定行和與兩參數盒，證得特別簡單的精確四邊形
Zhen & den Hertog（2017）	列向不確定性及額外條件下的凸表示、中心解最佳化；不能直接視為本稿定理的特例或反向引用	固定行和雙參數的直接半平面式、面積及失效半徑

本稿可辯護的產出是為固定行和相關係數模型同時整理完全可逆判斷、逆參數識別、聯合可達多邊形、任意範數極值、面積及首次奇異失效的完整定理鏈。這些特化是否在國際數學文獻中已有完全等價形式，仍須全文查新及外部數學審稿；搜尋不到相同文章標題不能證明全球新穎性。

2026-10-15 以英文檢索 Systems of linear interval equations、regularity interval matrices、linear fractional programming、row-sum preserving matrices；以中文檢索區間線性方程組行和約束、香港 M2 行列式聯立方程等。出版商來源有只見書目／摘要的限制，中文教學網站不當作學術優先權證明。文獻存取與檢索限制另記於 Literature_Search_Log.md。

3. 理論框架

設 $s_1,s_2\neq0$ 為固定實數， $b_1,b_2$ 是固定右端， $p\in[p_-,p_+]$ 、 $q\in[q_-,q_+]$ 。定義參數化線性方程族

\begin{pmatrix}s_1(1-p)&s_1p\\s_2q&s_2(1-q)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}. \tag{1}

同行係數相加分別等於 $s_1,s_2$ 。將右端正規化，定義 $c=b_1/s_1$ 、 $d=b_2/s_2$ 、 $\delta=c-d$ 、 $D(p,q)=1-p-q$ 。其行列式為

\det A(p,q)=s_1s_2D(p,q),\qquad D(p,q)=1-p-q. \tag{2}

圖 1　固定行和參數盒與奇異直線：r=0.5 仍全域可逆；r=1 首次接觸 p+q=1。資料來源：本文定義的人工參數，程式 code/make_figures.py。

除非另註， $p,q$ 是任意實數，非必然代表概率。如解讀為非負份額，還要外加 $p,q\in[0,1]$ 的限制。「全域可逆」是指每組容許參數都令行列式非零。「聯合可達解」則指所有容許參數所產生的唯一解有序對 $(u,v)$ 。

4. 研究方法

第一步求 $D$ 在參數矩形上的完整值域。第二步透過 Cramer 法則及行正規化得到解映射和逆映射。第三步把參數區間的界轉成解平面的半平面，求出精確幾何、面積及凸範數的最大值。第四步使參數盒對稱擴大，求解行列式第一次等於零的半徑。驗證方面，以 Python 的 Fraction 精確算術進行分離的正規化公式和原矩陣 Cramer 計算；電腦結果不取代一般證明。

5. 數學推導與分析

5.1 定理一：全域可逆判準

**定理 1。**整個參數盒全域可逆，當且僅當

(1-p_--q_-)(1-p_+-q_+)>0. \tag{3}

**證明。** $D(p,q)$ 對 $p,q$ 均單調減少。故它在矩形上的最大及最小值分別是 $D_{\max}=1-p_--q_-$ 與 $D_{\min}=1-p_+-q_+$ 。由線性函數的連續性及矩形的連通性， $D$ 的值域是整個 $[D_{\min},D_{\max}]$ 。依式 (2)，所有矩陣可逆當且僅當這段閉區間不含零，亦即兩端同號、乘積嚴格正。證畢。

5.2 引理一：映射和唯一反算

正規化方程為 $(1-p)u+pv=c$ 及 $qu+(1-q)v=d$ 。相減得 $D(u-v)=\delta$ 。因此在 $D\neq0$ 時，

u=c+\frac{\delta p}{D},\qquad v=d-\frac{\delta q}{D}, \qquad u-v=\frac{\delta}{D}. \tag{4}

若 $\delta\neq0$ ，則 $u-v\neq0$ ，可唯一反算：

p=\frac{u-c}{u-v},\qquad q=\frac{d-v}{u-v}. \tag{5}

這一逆映射提供了辨識可達解的關鍵：點若可達，對應參數唯一；反之，可用式 (5) 驗證任何指定解是否由容許盒產生。

5.3 定理二：聯合可達集合為凸四邊形

**定理 2。**設 $\delta\neq0$ 、 $p_-<p_+$ 、 $q_-<q_+$ ，且全域可逆。令 $\sigma=\operatorname{sgn}(\delta/D)$ ，在參數盒內符號固定。那麼所有聯合可達解的集合 $\mathcal S$ 恰為下列四條線性不等式的解集：

\begin{aligned} p_-\,\sigma(u-v)&\leq\sigma(u-c)\leq p_+\,\sigma(u-v),\\ q_-\,\sigma(u-v)&\leq\sigma(d-v)\leq q_+\,\sigma(u-v). \end{aligned}\tag{6}

$\mathcal S$ 是非退化的閉凸四邊形，頂點依序為四個參數角點 $(p_-,q_-)$ 、 $(p_+,q_-)$ 、 $(p_+,q_+)$ 、 $(p_-,q_+)$ 在式 (4) 下的像。

**證明。**由式 (4)，所有可達解滿足 $\sigma(u-v)>0$ 。把式 (5) 的參數界乘以此正量，立刻得到式 (6)，證明必要性。反過來，假設 $(u,v)$ 滿足式 (6)。若 $u=v$ ，不等式迫使 $u=c$ 且 $v=d$ ，與 $\delta\neq0$ 矛盾。若 $\sigma(u-v)<0$ ，因 $p_-<p_+$ ，第一組不等式的左界大於右界，仍不可能。故 $\sigma(u-v)>0$ ，可以用式 (5) 定義 $p,q$ 。不等式推出 $p,q$ 必落在原參數盒。直接重排式 (5) 得 $(1-p-q)(u-v)=c-d=\delta$ ，故 $D\neq0$ ，代回即可恢復原方程。這證明充分性。

式 (6) 是四個線性半平面的交集，因此集合必然凸。原參數盒緊緻，而式 (4) 在全域可逆時連續，故像集合緊緻有界。固定 $p$ 時，解落在直線 $(1-p)u+pv=c$ ；固定 $q$ 時，解落在直線 $qu+(1-q)v=d$ ，因此四個盒邊映為四條線段。由式 (5) 可知映射一一對應；下文式 (9) 的 Jacobian 處處非零，故矩形內部有正面積，四個角點形成非退化凸四邊形。證畢。

5.4 定理三：精確面積與任意範數極值

寫 $D_{ij}=1-p_i-q_j$ ，其中 $i,j\in\{-,+\}$ 。

**定理 3。**在定理 2 的假設下，聯合可達四邊形面積是

\operatorname{Area}(\mathcal S)=\frac{\delta^2}{2} \left|\frac1{D_{++}}-\frac1{D_{-+}}- \frac1{D_{+-}}+\frac1{D_{--}}\right|. \tag{7}

對任何參考點 $z_0\in\mathbb R^2$ 和任何向量範數 $\|\cdot\|$ ，若 $V_1,\ldots,V_4$ 是四頂點，則

\max_{z\in\mathcal S}\|z-z_0\|= \max_{1\leq k\leq4}\|V_k-z_0\|. \tag{8}

**證明。**對式 (4) 求偏導，得到 $u_p=\delta(1-q)/D^2$ ， $u_q=\delta p/D^2$ ， $v_p=-\delta q/D^2$ 和 $v_q=-\delta(1-p)/D^2$ 。其 Jacobian 為

\det\frac{\partial(u,v)}{\partial(p,q)} =-\frac{\delta^2}{D^3},\qquad \left|\det\frac{\partial(u,v)}{\partial(p,q)}\right| =\frac{\delta^2}{|D|^3}. \tag{9}

在參數矩形上 $D$ 符號固定，故對 $|\det|$ 二重積分；積分 $D^{-3}$ 兩次，產生 $D^{-1}/2$ 的四角點交錯差分，正好得到 (7)。亦可將四頂點代入鞋帶公式直接核查符號。

任意 $z\in\mathcal S$ 是頂點的凸組合 $z=\sum_k\lambda_kV_k$ ，其中 $\lambda_k\geq0$ 、 $\sum_k\lambda_k=1$ 。範數的凸性給出 $\|z-z_0\|\leq\sum_k\lambda_k\|V_k-z_0\|\leq\max_k\|V_k-z_0\|$ 。四頂點本身可達，故等號成立。證畢。

同理，任何線性目標 $a u+b v$ 的上下界均在四個頂點中取得。這是一個精確的有限測試證書；但只知 $u$ 、 $v$ 各自上下界，並不能保證兩個獨立選定的端點能同時達到。

5.5 定理四：首次奇異半徑

設中心 $p_0,q_0$ ，半寬係數 $\alpha,\beta\geq0$ 。以半徑 $r$ 定義

P_r=[p_0-\alpha r,p_0+\alpha r],\quad Q_r=[q_0-\beta r,q_0+\beta r],\quad D_0=1-p_0-q_0. \tag{10}

**定理 4。**若 $D_0\neq0$ ， $\alpha+\beta>0$ ，則首次包含奇異矩陣的半徑及在此前的精確最大解差距為

r_*=\frac{|D_0|}{\alpha+\beta},\quad \max_{p\in P_r,q\in Q_r}|u-v| =\frac{|\delta|}{|D_0|-r(\alpha+\beta)} \quad(0\leq r<r_*,\ \delta\neq0). \tag{11}

**證明。** $D(P_r,Q_r)$ 的值域恰是 $[D_0-r(\alpha+\beta),D_0+r(\alpha+\beta)]$ ，首次包含零恰在所列的 $r_*$ 。在此之前， $D$ 維持 $D_0$ 的符號，且最小絕對值是 $|D_0|-r(\alpha+\beta)$ ，由適當的參數角點達到。由式 (4) 的 $|u-v|=|\delta|/|D|$ 立即得到精確最大值。證畢。

若 $\alpha+\beta=0$ ，矩形不擴張；在 $D_0\neq0$ 時沒有有限首次奇異半徑。若 $D_0=0$ ，一開始便奇異。在應用上要求 $p,q\in[0,1]$ 時，仍須額外確認首次奇異參數可在份額域中取得，不能單靠代數 $r_*$ 宣稱物理可實現。

5.6 定理五：奇異時的相容性

**定理 5。**當 $D=0$ ，若 $c\neq d$ ，系統無解；若 $c=d$ ，系統有無窮多解。當 $c=d$ 且 $D\neq0$ ，唯一解恆為 $(c,c)$ 。

**證明。**由兩條正規化方程相減， $D(u-v)=c-d$ 。 $D=0,c\neq d$ 產生矛盾。當 $D=0,c=d$ ，兩行係數相同且方程右端亦相同，僅剩一條非退化直線方程，故無窮多解。當 $D\neq0,c=d$ ，由式 (4) 直接得 $(u,v)=(c,c)$ 。證畢。

這說明「第一次奇異」不必等於「接近奇異時所有唯一解發散」：當 $c=d$ ，所有非奇異解即使逼近奇異參數仍完全不變。上述退化問題不能套用定理 2 的逆參數式。

6. 研究結果：完整分數實例與邊界檢驗

以純人工例子 $s_1=s_2=1$ 、 $b_1=4,b_2=1$ 、 $p_0=q_0=2/5$ 、 $\alpha=\beta=1/10$ 作展示。在 $r=1/2$ ，兩參數均在 $[7/20,9/20]$ ，並有 $D_{\max}=3/10$ 、 $D_{\min}=1/10$ ，故每一系統有唯一解。

表 2　人工有理數參數四角點及可達解

點	$p$	$q$	$D$	$u$	$v$
$V_1$	$7/20$	$7/20$	$3/10$	$15/2$	$-5/2$
$V_2$	$9/20$	$7/20$	$1/5$	$43/4$	$-17/4$
$V_3$	$9/20$	$9/20$	$1/10$	$35/2$	$-25/2$
$V_4$	$7/20$	$9/20$	$1/5$	$37/4$	$-23/4$

圖 2　人工參數產生的聯合可達凸四邊形，與分量邊界矩形的差異；紅色交叉點不可達。資料來源：表 2 精確有理數頂點；程式 code/make_figures.py。

由表 2 可知 $u\in[15/2,35/2]$ 、 $v\in[-25/2,-5/2]$ 。但點 $(15/2,-25/2)$ 雖同時符合兩個分量區間，卻不可達：由式 (5) 反算其 $p=(15/2-4)/(15/2+25/2)=7/40$ ，低於 $7/20$ 。這給出了用兩個精確邊際區間拼出的矩形嚴格大於真實聯合可達集合的反例。由式 (7)，真正四邊形的面積恰為 $15$ ，這亦可由表 2 的四個頂點用鞋帶公式核算。

名義中心 $r=0$ 時有 $D_0=1/5$ 、名義解 $(u,v)=(10,-5)$ 。本例 $r_*=1$ ，在 $(p,q)=(1/2,1/2)$ 首次奇異。對 $0\leq r<1$ ，

\max|u-v|=\frac{15}{1-r}. \tag{12}

圖 3　固定行和人工模型的最壞解差隨半徑增加而上升，在 r=1 首次失去可逆性。資料來源：式 (12) 的解析函數；程式 code/make_figures.py。

故 $r=1/2$ 時最大值為 $30$ ， $r=9/10$ 時為 $150$ ，在 $r=1$ 時奇異系統因 $c\neq d$ 而無解；不可把此點代入分母為零的 Cramer 公式。

表 3　退化／邊界情況的正確判斷

情況	正確結論	不適用的推論
$D$ 全域同號， $\delta\neq0$ ，區間正長	所有可達唯一解為凸四邊形	可任意拼合兩個分量端點
$D$ 全域同號， $\delta=0$	所有唯一解恆為 $(c,c)$	非零面積多邊形或逆參數識別
$D=0,\delta\neq0$	奇異參數無解	誤稱一定無窮多解
$D=0,\delta=0$	奇異參數無窮多解	誤稱接近奇異時必發散
$p_-=p_+$ 或 $q_-=q_+$	可達集退化為線段／點	非退化四邊形證明

程式 verify_polygon.py 對固定種子 11015 的 600 個人為候選盒進行過濾，在其中 453 個滿足本定理非退化及可逆條件的盒上作 5,889 個內部參數檢查與 5,889 個頂點凸組合檢查，包括 205 個負行列式盒。獨立程式 independent_audit.py 以非正規化 Cramer 方程、兩三角形面積及逆參數重建，在 900 個候選中核查 753 個適用盒，包括 186 個負行列式盒、12,048 個凸組合重建及 6,777 個原方程直接代入。報告在 qa 目錄內保存。這些是數學人工案例檢驗次數，不屬調查樣本或教育實驗。

7. 討論：香港 M2 的高階延伸

本研究特別揭示「分量界」與「聯合可行域」兩種不同的數學對象。對學習者而言，先透過行列式判斷單一線性系統，再使用定理 1 判斷所有可能的系統，最後用定理 2 的幾何區域檢查任意指定解是否可達，是可安排為由基礎到高階的證明鏈。面積及任意範數極值則屬超出 M2 標準課程的研究延伸。

表 4　與正式 M2 單元相連的高階問題鏈（不代表必考內容）

階段	可核對的數學問題	研究對應
行列式	單一矩陣何時可逆？	式 (2)
Cramer 法則	給定 $(p,q)$ 如何求解？	式 (4)
全稱量詞	盒內全部系統何時可逆？	定理 1
幾何可達性	哪些 $(u,v)$ 可以同時出現？	定理 2、反例
高階穩健性	最壞偏差及最早失效怎樣精確計算？	定理 3、4

若研究教育效度，應把「把兩個邊際區間直接當作全部可能解」作為可測的概念性錯誤；設計相同難度的對照題、前後測和一致的評分規則，再經相應倫理審核後收集實際數據。目前沒有證據能支持教學成效、能力提升幅度或因果關係的任何宣稱。

8. 限制

本模型限定二元方程、固定行和與右端、長方形參數盒；對三元系統、任意獨立係數或變動右端，不能未經重新證明就套用四邊形結論。定理 2 必須排除 $\delta=0$ 及退化區間；臨界半徑若涉及非負份額須再確認物理域。國際區間矩陣、線性分式規劃和投影幾何已有成熟成果，尚未進行涵蓋全文的系統性新穎性查核。部分來源僅查到期刊摘要。數值核驗範圍限於人為有理數案例，不取代一般數學證明。本文沒有學生實證資料，也未經獨立外部審稿。

9. 結論

固定同行係數和的二元相關區間擾動，使全域可逆性、解的聯合可達集合、精確面積及首次失效半徑均具有可驗證的閉式證書。非退化情況下，四個參數角點產生聯合可達凸四邊形的全部頂點；任意範數的最壞誤差可直接核對有限個點，而邊際上下界的任意組合未必可行。奇異時的相容性由兩個正規化右端是否相等決定。本研究構成香港 M2 行列式與方程組的一條嚴謹高階研究路線；真正學術新穎性與教學效度仍需後續查證。

參考文獻

Alefeld, G., Kreinovich, V., & Mayer, G. (1998). The shape of the solution set for systems of interval linear equations with dependent coefficients. Mathematische Nachrichten, 192(1), 23–36. https://doi.org/10.1002/mana.19981920103

Charnes, A., & Cooper, W. W. (1962). Programming with linear fractional functionals. Naval Research Logistics Quarterly, 9(3–4), 181–186. https://doi.org/10.1002/nav.3800090303

Education Bureau. (2018). Explanatory notes to senior secondary mathematics curriculum: Module 2 (Algebra and calculus) (Original work published 2009; updated August 2018). Government of the Hong Kong Special Administrative Region. https://www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/EN_M2_e.pdf

Rohn, J. (1989). Systems of linear interval equations. Linear Algebra and Its Applications, 126, 39–78. https://doi.org/10.1016/0024-3795(89)90004-9

Rohn, J. (2009). Forty necessary and sufficient conditions for regularity of interval matrices: A survey. Electronic Journal of Linear Algebra, 18, 500–512. https://doi.org/10.13001/1081-3810.1327

Zhen, J., & den Hertog, D. (2017). Centered solutions for uncertain linear equations. Computational Management Science, 14, 585–610. https://doi.org/10.1007/s10287-017-0290-9