** Coalition Externalities and Core Disagreement in a Five-Player Contest: Partition-Function Games, Outsider Responses, and Exact Stability Thresholds

摘要

當部分玩家決定離開原本五人資源協作安排，其餘玩家可能自行分散，亦可能重新組成有競逐能力的小組。同一個離隊聯盟因外部其他玩家的安排不同，將取得不同的反事實收益。單純把每個聯盟的價值固定為與外部環境無關的數字，可能掩蓋這種外部性。本研究在《王者榮耀》的五人合作語境下建立可轉移效用的分區函數博弈（partition-function game），以人數立方權重分配一項假設性、固定總量的競逐資源，並加入玩家單獨價值與兩兩互補收益。針對任意離隊聯盟，分別考慮其餘玩家完全分散時的樂觀外部反應，及其餘玩家合併成一組時的悲觀反應。以 52 種五人分區和 150 個離隊—外部反應配置精確枚舉，再將全部非空真子聯盟約束納入最小核心（least-core）線性規劃。對成對互補完全等權、競逐指數為三的模型，嚴格證明樂觀回應下五人核心非空當且僅當 α≥16β/145，悲觀回應則當且僅當 α≥6β/65，其中 α 為每條配對的效用、β 為總競逐獎勵。兩種制度的最小缺口分別為 max(0,48β/145−3α) 及 max(0,12β/65−2α)。在 α=0.5、β=5 的合成情境中，樂觀核心為空（缺口 0.155172），悲觀核心非空；異質角色配對的對應缺口則為 0.295768 和 0。300 組固定種子的配對權重擾動進一步顯示，外部反應假設可在同一模型中系統性改變穩定性判斷。研究貢獻為明確的分區競逐模型、兩種外部反應下的解析門檻、與完全枚舉互相驗證的數值實驗，以及對特徵函數模型有效邊界的可解釋性分析。結果並非任何真實比賽的策略效果或勝率預測。

關鍵詞： 分區函數博弈；聯盟外部性；核心；最小核心；競逐成功函數；合作穩定性

1. 引言（Introduction）

1.1 真實問題的抽象與研究動機

在隊伍協作競技場景中，資源的稀缺性產生兩種相互交纏的決策：我方多少人參與同一項目，以及未參與的人如何回應。假設五名玩家目前互相協作；其中三人主張獨立取得一項資源，剩下兩人可能繼續結伴競爭，也可能分別處理其他任務。三人組的相對能力及潛在得益，顯然可能因餘下兩人的集結而改變。把「三人合作值多少」寫成固定 v(S)，而忽略「另外兩人究竟如何組隊」，便容易忽略反事實中的競逐外部性。

此問題不只屬遊戲策略，也涉及社會學中的集體行動與組織退出、經濟學中的聯盟外部性、運籌學中的資源競逐及博弈論中的合作穩定性。當競逐資源的總量固定，某組取得更多通常意味其他組取得較少；但合作的互補收益仍可能因合併而增加。兩種力量疊加，可以令五人團隊即使擁有最高的共同總效用，某些子聯盟仍希望提出獨立分配安排。

HOK-006 研究三人即可獲取固定飽和獎勵的五人可轉移效用特徵函數，發現部分參數下核心為空。然而，HOK-006 不考慮其他玩家在離隊後組成甚麼樣的聯盟。本文沿用五人的抽象環境，但改變主要建模對象：一項固定總量的競逐資源按照所有並存聯盟的人數立方份額分配，因此離隊者的收益依賴完整分區。本文並不直接轉移 HOK-006 的門檻，而是重新定義聯盟價值和退出阻擋條件，從數學上找出外部反應所造成的系統性分歧。

1.2 研究問題、目標、假說及貢獻

Research Problem： 在單次五人資源競逐的簡化環境下，離隊聯盟所能分配的資源份額與餘下玩家的合作結構相關。以何種外部反應假設評估其退出誘因，會否改變整個五人團隊的核心非空性？

Research Objectives： 第一，建立總競逐資源守恆且允許正的成對互補的分區函數；第二，區分離隊者樂觀與悲觀的外部反應基準，列明兩種制度各自的阻擋約束；第三，證明對稱五人模型核心存在的充要條件及最小鬆弛；第四，完整枚舉分區並以 HiGHS 線性規劃交叉核對；第五，在異質配對及參數擾動下檢查結論適用範圍。

Research Questions： Q1 外部反應如何改變聯盟競逐收益？Q2 樂觀及悲觀反應下五人核心的解析門檻各為何？Q3 外部性消失與存在時，核心缺口可否直接比較？Q4 異質玩家組合能否在同一合成參數下顯示不同的穩定性評價？Q5 由外部反應導出的數學結果，離真實玩家可執行的聯盟形成有多遠？

Research Hypotheses： H1 餘下玩家合併會壓低離隊聯盟的資源份額。H2 僅因餘下玩家反應不同，既定的五人合作分配可由不穩定轉為穩定。H3 對稱互補強度愈高，兩種制度所需最小共同補償缺口愈低。H4 在角色配對權重不一時，兩制度的核心包含關係仍然成立，但對稱閉式門檻不能直接使用。

Research Contributions： 一項針對五人、立方競逐份額及可轉移效用條件下的解析分區函數模型；對兩種離隊外部反應構造的核心充要門檻；精確的 least-core 缺口公式及離隊人數判定；異質角色外部性穩健性比較。上述結果屬在清楚假設下的模型結論，不是宣稱發現新的分區函數博弈一般定理，更不等於對遊戲比賽數據完成驗證。

2. 文獻回顧（Literature Review）

合作博弈（cooperative game theory）的傳統特徵函數形式，以單獨的 v(S) 表達某個聯盟可以取得的總價值；在不存在外部性、且反事實退出的收益不受其他團體配置影響時，這是足夠簡潔的架構。Shapley（1971）研究凸合作博弈的核心結構，為聯盟穩定性提供經典背景，但其結論不能無條件延伸至所有帶外部性的分區函數。

Thrall 與 Lucas（1963）提出以完整分區為條件刻畫合作博弈的形式。在分區函數形式（partition-function form）下，同一聯盟 S 的價值可因 N\S 的分區方式不同而改變。其核心意義是：分析 S 的可得效用時，須同時說明 S 退出後其餘玩家的行動，而非假設 v(S) 必然只有一個數字。本文因此採用 v(S;Π)，其中 Π 是含 S 的全體玩家分區。

Funaki 與 Yamato（1999）在共同資源背景下研究分區函數形式的核心，指出對外部聯盟形成的樂觀或悲觀預期可改變核心是否存在。本文借用「外部反應期望可能決定穩定性」的研究問題，但使用完全獨立的五人立方競逐份額模型，並對其中兩項明確定義的反應規則求閉式門檻；不把前者的具體共同資源模型或存在定理移植至遊戲場景。

Ray 與 Vohra（1997）從均衡約束協議角度研究聯盟形成與其他玩家行動對報酬的影響，凸顯單純按子聯盟規模推導收益時對外部反應的忽略。Kóczy（2007）則提出以剩餘博弈的內生反應定義遞迴核心（recursive core）。與該研究相比，本文直接指定兩個極端的外部反應規則，不求解所有子博弈中的內生協商均衡，亦不把本文的 ε-core 稱作遞迴核心。本文的「悲觀」或「樂觀」均由離隊聯盟觀點命名；完整的外部預期制度將在第三節逐一說明。

本研究的數學工具包括有限集合分區枚舉、競逐份額函數、對稱性與線性規劃。競逐份額按人數的正三次方計算是自行設計的行為假設：它表達規模優勢可能非線性增長，但不聲稱存在已測量的英雄戰力三次方律。選取三次方只因其具明確單調性、非線性及可用有理數導出的可重現門檻；不把模型假設錯當成文獻的實證定律。

3. 問題定義（Problem Formulation）

3.1 五名成員、分區與外部性

令 N={1,2,3,4,5}，非空聯盟 S⊆N，k=|S|。一個分區 Π 是 N 中若干互不重疊、聯集等於 N 的非空聯盟集合。五名成員的集合分區數為 Bell 數 B5=52。含有 S 的分區須表示為 Π={S}∪ρ，其中 ρ 為餘下玩家 N\S 的任一分區。若 k=3，餘下的兩人可以共同組成一個二人組，也可以分開成兩個單人組；兩種情形的三人收益將不同。

在每個分區 Π 裡，假設一項固定總量 β≥0 的稀缺資源由分區中的各聯盟按其人數三次方權重分配。對每個聯盟 T∈Π，資源份額為 q(T;Π)=|T|³/Σ_{U∈Π}|U|³。必須留意，這不是實際資源掉落規則或勝率模型；它是一個能精確研究外部性機制的簡化抽象。如果 Π 只有一個五人組，該組取得整個 β；如果 Π 有三人組和二人組，三人組取得 27/(27+8)=27/35 的 β；如果餘下兩人分開，三人組則取得 27/(27+1+1)=27/29 的 β。

每名玩家 i 有固定單獨基值 b_i≥0，任何同處一組的玩家 i、j 有假設性互補權重 w_ij=w_ji≥0，而 α≥0 把權重轉換成可轉移效用。在本文的基準解析模型，所有不同玩家的 w_ij=1；在異質數值實驗中，改用事前設定的對稱矩陣。所有效用量均為任意抽象單位，不可解釋為直接可交換的遊戲金幣。

3.2 基本分區函數

令 S∈Π，本文的分區函數設為

第一項是單人可以歸屬的基值，第二項是同一聯盟的兩兩互補總效用，第三項是固定資源 β 中的競逐份額。對任一完整分區 Π，所有聯盟的資源份額總和恰好 β，故資源競逐本身是一項守恆的分配，而配對協同則可以使總效用升高。整隊共同參與時，其可分配總量為 v(N;{N})=Σ_ib_i+αΣ_{i<j}w_ij+β。

假設 B1：效用可以在同一聯盟內重新分配；這個可轉移效用（transferable utility, TU）假設是用來研究補償與公平可行性的數學工具，不代表遊戲提供無成本的玩家間勝率轉移。B2：競逐資源總量固定，沒有在同一個分區中重複生成；勝利份額採比例權重而非實際現金收益。B3：單一決策時窗，參與者對所有假設函數完全知悉且可執行某種聯盟安排。B4：其他玩家的分區遵從本文指定的反應規則；此規則不等於透過動態博弈求出的必然行為。B5：玩家在分組後仍保留相同的 b_i，且對外組合無其他非金錢外部性。

3.3 外部反應制度與核心定義

對每個真子聯盟 S，**樂觀反應 O（optimistic for the deviator）**定義其外部選項 V_O(S)=max_{ρ∈Partitions(N\S)}v(S;{S}∪ρ)：退出者假設餘下玩家選擇對自己最有利的分區，即完全分散成單人組。**悲觀反應 P（pessimistic for the deviator）**定義 V_P(S)=min_{ρ}v(S;{S}∪ρ)：退出者假設餘下玩家組成一個有較高競逐能力的聯盟。對完整的 N，兩者均取 v(N;{N})。

對制度 R∈{O,P}，定義 R-core 為所有滿足效率 Σ_ix_i=v(N;{N})，且對每個非空真子聯盟 S 均有 x(S)=Σ_{i∈S}x_i≥V_R(S) 的分配向量。此為本研究操作性定義的條件性核心：O-core 要抵禦最有利於離隊者的外部反應，P-core 則只抵禦最不利於離隊者的外部反應；它們不等於所有文獻中的遞迴核心概念。

定義聯盟超額 e_R(S,x)=V_R(S)−x(S)，正值代表反事實外部選項高於目前團隊分配。對每個 R 設定最小核心鬆弛 ε*_R：在效率條件下，令所有 e_R(S,x)≤ε，而共同 ε≥0 取得最小的值。若 ε*_R=0，則 R-core 非空；否則為空。最小 ε 的 LP 採用所有 30 個真子聯盟不等式及一條總效率等式，不對其他分區進行隨機抽樣。

3.4 重要符號

4. 數學模型與求解（Mathematical Model）

4.1 全部離隊反事實與計算規則

五人的全集共有 2⁵−2=30 個非空真子聯盟。對每個聯盟 S，以集合分區遞迴產生全部剩餘玩家分區。相應配置總數為 5×B4+10×B3+10×B2+5×B1=5×15+10×5+10×2+5×1=150。這 150 個配置只表示某個聯盟及其餘下玩家的反事實安排；它們不代表 150 場比賽。完整的全部五人分區本身只有 52 個；由於每個分區可有多個候選退出聯盟，因此兩個數字不同而不矛盾。

在同一分區中，若觀測者指定三人聯盟 S，餘下兩人結伴，其資源占比是 27/35；若餘下兩人分散，其占比是 27/29。對 S 而言，分散外部玩家可提高自己的相對資源收益。對其他規模 S，計算規則相同。程式以遞迴分區生成器避免漏算或重複分區，再以最大值和最小值分別建立兩種條件性退出選項。

4.2 條件性最小核心的線性規劃

每個制度 R 都解一個同樣結構的 LP：

其中每條不等式適用於 ∅≠S⊂N，x_i 在計算中可取任意實數；ε=0 時單人聯盟條件自然保證其單獨退出選項。這是一個線性優化問題，求解器回傳的 x 是可能不唯一的最優頂點，不是任何公理化公平分配或核仁的唯一答案。程式以 SciPy 的 HiGHS 求解，逐一檢查 30 條聯盟限制及效率；所有中間假設、分區值和隨機種子均可查閱程式與 CSV。

4.3 對稱有效率分配與退出超額

當 w_ij=1，每人的 b_i 可不同，但互補與競逐兩項均只取決於聯盟人數。將 b_i 從 x_i 扣除，令 y_i=x_i−b_i，整體效率表示為 Σ_i y_i=10α+β。考慮對稱基準 x_i^sym=b_i+2α+β/5：它對每個人的個人基值提供相同的協作剩餘。這是利用對稱性取得的一種效率分配，不宣稱是含外部性的博弈中唯一或通用的 Shapley 值。

對 k 人退出組，假定餘下 m=5−k 人全部分散時，競逐份額是 k³/(k³+m)；全部合併時，份額是 k³/(k³+m³)。由此在 x^sym 下的制度 R 阻擋超額是

上式每一項的含義如下：退出組可保留原有的 k 人基值，新增 k(k−1)/2 條內部配對，取得制度 R 的競逐資源份額，然後減去全隊先前給予這 k 人的額外合作收益。個人基值互相抵消。全部四種退出規模 k=1,2,3,4 都須檢查，不能只根據最有趣的三人例子判斷核心非空。

5. 理論分析及證明（Theoretical Analysis）

5.1 命題一：外部合併、分散與競逐份額極值

命題 1。 在 β≥0 且三次方競逐規則下，對固定 S，外部玩家完全分散時 q(S;Π) 最大；外部玩家合併成一個聯盟時 q(S;Π) 最小。

證明。 令外部玩家的分區人數為 m₁,…,m_r，Σ_jm_j=m。由整數 m_j≥1 可知 Σ_jm_j³≥Σ_jm_j=m，且以全部單人分區取等號。另一方面，由 (a+b)³>a³+b³ 對正整數成立，逐步合併任意兩個組能增加立方數總和，因此 Σ_jm_j³≤m³，當餘下所有玩家同組取等號。q(S;Π)=k³/(k³+Σ_jm_j³) 的分母隨外部立方數總和單調增加，所以外部分散令 S 占比最大、外部合併令 S 占比最小。固定的 b 和 α 互補項不依賴 ρ，故同樣的極值對 V_O、V_P 成立。□

此命題只界定外部反應集合中的數學最值，並未證明玩家一定會分散或合併。若外部玩家的最佳反應需要考慮風險、時間或不均等的議價權，其行為可能介於兩個端點之間。

5.2 命題二：存在對稱的最優分配

命題 2。 在等重配對 w_ij=1 且 α,β≥0 的模型中，若對任一制度 R，其 ε-core 存在某個有效率分配 x，則對稱剩餘分配 x^sym_i=b_i+2α+β/5 也滿足同一 ε-core。因而 ε*R 可由 max{0, max{k=1,…,4}e_R(k)} 直接計算。

證明。 取 y_i=x_i−b_i。移除 b 項後，每條制度 R 的聯盟限制只依賴該聯盟的人數 k，而與其成員身份無關。對任意置換 σ，將 y 的坐標按照 σ 重排，便得到另一個滿足同樣全部 k 人聯盟不等式的有效率向量。所有可行向量及其置換的平均亦保持線性不等式可行。由所有 5! 個置換平均後，每個人的 y_i 相等；又由效率 Σ y_i=10α+β，其共同值只能是 2α+β/5，正是 x^sym。故只要有任一 ε 可行分配，對稱剩餘分配亦可行。將 x^sym 代入 30 條限制並依 k 分組，最小 ε 恰為全體 k 的最大正超額。□

本證明依賴配對協作只與人數有關；在異質 w_ij 下，即使每人 b_i 可不同，聯盟的可得收益亦取決於具體成員，因此不能將其直接視作對稱。

5.3 命題三：樂觀外部反應的核心門檻

命題 3。 當所有 w_ij=1、β≥0、α≥0，樂觀制度的最小核心缺口為

因此其核心非空當且僅當 α≥16β/145。

證明。 在 x^sym 下，按 k=1,2,3,4 直接代入 q_O(k)=k³/(k³+5−k)。四組超額分別是 e_O(1)=−2α，e_O(2)=18β/55−3α，e_O(3)=48β/145−3α，e_O(4)=12β/65−2α。由 48/145>18/55 可知 e_O(3)>e_O(2) 對 β>0 成立；β=0 時兩者相等。當 e_O(4)>0，即 α<6β/65，此時 e_O(3)−e_O(4)=(48/145−12/65)β−α >0，因為 (48/145−12/65)≈0.1464 而 6/65≈0.0923。換言之，凡 e_O(4) 可能對核心空性有影響時，e_O(3) 更大。e_O(1)≤0。故四個 k 的最大正超額是 max(0,e_O(3))，由命題 2 即得公式。令此值為零，得到 α≥16β/145。□

這個門檻是五人、等重配對、立方競逐、樂觀外部反應的充要條件，不可放大為所有多人線上遊戲協作的普遍規律。

5.4 命題四：悲觀外部反應的核心門檻

命題 4。 在相同假設下，悲觀制度的最小核心缺口為

因此悲觀核心非空當且僅當 α≥6β/65。

證明。 由 q_P(k)=k³/(k³+(5−k)³)，四組超額是 e_P(1)=−12β/65−2α；e_P(2)=−6β/35−3α；e_P(3)=6β/35−3α；e_P(4)=12β/65−2α。前兩者皆不大於零。又 e_P(4)−e_P(3)=(12/65−6/35)β+α>0，除 α=β=0 外均嚴格為正，故最大正超額由四人聯盟產生，值為 max(0,12β/65−2α)。由命題 2 得 ε*_P 的閉式公式。令其為零，得到門檻 α≥6β/65。□

反直覺解釋： 當退出者假定餘下玩家能組成強大反制隊伍，三人離隊本身可能不足以形成最高阻擋誘因，反而四人退出、只留下一人的情境最嚴苛。相反，在外部玩家彼此分散的情境，三人已能建立很強競逐份額，因此三人組決定樂觀核心的邊界。

5.5 命題五：條件性核心的包含與外部整合的集體誘因

命題 5。 對任何非負 w_ij、任意 b_i 及 α,β≥0，均有 V_P(S)≤V_O(S)，故 O-core⊆P-core，最小缺口亦滿足 ε*_P≤ε*_O。另在固定的 S 已離隊後，如果餘下玩家可以共同最大化其總可轉移效用、互補權重皆非負，則全部餘下玩家合併為一組可使其合計效用最大。

證明（包含關係）。 對每個 S，同一有限分區集合上的最小值不會大於最大值，因此 V_P(S)≤V_O(S)。滿足更大的 O 約束的每個 x 也滿足 P 約束，遂有 O-core⊆P-core。若選擇某個 ε 使所有 O 約束可行，必定使所有 P 約束可行；對 ε 求最小即得 ε*_P≤ε*_O。上述證明與玩家的個別基值、配對權重不相同無關。□

證明（外部整合的集體誘因）。 固定退出組 S 的人數 k。餘下玩家無論如何分組，其個人基值總和相同；當兩個餘下小隊合併，非負 w_ij 令內部配對效用不下降。另一方面，合併增加餘下玩家所有小組三次方人數之和 A=Σ_jm_j³，其在共同資源中取得的總份額 βA/(k³+A) 是 A 的單調增函數；故餘下玩家總效用不下降。重複合併可達到單一外部聯盟並使集體效用最大。□

最後一項只證明若餘下玩家的總體收益可以自由轉移，外部整合是其集體最優安排。它並未解決不同餘下玩家的內部談判、可執行合約與單獨退出問題，因此不能由此直接宣稱外部玩家在非合作均衡中一定合併。

5.6 比較靜態與相變區域

兩個核心門檻之間有一段非空區間：當 β>0 且 6β/65≤α<16β/145 時，悲觀核心非空而樂觀核心為空。在這段區間，僅僅替換外部反應制度，即會改變全隊分配是否可完全排除所有聯盟阻擋。若 α 低於 6β/65，兩個核心皆空；若 α 達到或超過 16β/145，兩個核心皆非空。

樂觀 ε* 在正缺口區間對 α 的偏導數為 −3，對 β 為 48/145；悲觀 ε* 在正缺口區間對 α 的偏導數為 −2，對 β 為 12/65。當跨越各自臨界門檻，最小 ε 變為零，形成分段線性的穩定性相圖。這些導數代表此假設模型中的效用敏感度，並非玩家對真實金幣、勝率或英雄強度的因果反應。

6. 數值實驗（Numerical Experiments）

6.1 全部假設與計算設定

五名抽象玩家的單獨基值統一設定為 b=(3.2,3.7,4.1,4.4,3.5)，總和為 18.9。等重基準使用 w_ij=1，第一個邊界情境取 α=0.5、β=5，第二個強互補情境取 α=0.7、β=5。等重基準專門驗證命題三、四。異質基準使用十條固定的假設性配對權重：w12=1.45、w13=1.25、w14=0.50、w15=0.80、w23=1.20、w24=1.00、w25=0.70、w34=1.30、w35=1.10、w45=0.95；對角線設 0，其餘以對稱填充。異質第一組取 α=0.5、β=5，第二組取 α=1.0、β=5。

這些數字是研究者事先設定的示例，並未從遊戲客戶端、Kaggle 或社群數據擬合。玩家並未被定義為「法師／射手／打野」等具體官方類別；抽象的 P1–P5 只能表示五名參與者。資源份額 q 不是「取到資源的機率」，而是「固定總量競逐獎勵的理論分配比例」。兩者不能混淆。

計算使用 Python 3.12、NumPy、SciPy、Matplotlib。程序列舉 52 個整體五人分區，對每個 30 個真子聯盟逐一列出全部可行的餘下玩家分區，合計每個場景 150 個聯盟—反應配置。以精確公式計算反事實價值，再透過 HiGHS 解每個制度的 least-core。所有對稱結果均與解析公式以 10⁻⁸ 的絕對容差核對；此外以斷言驗證 LP 效率、全部聯盟不等式及制度間 ε*_P≤ε*_O 的排序。

6.2 圖 1：核心門檻相圖

圖 1。β=5 時，以等重配對強度 α 為橫軸，展示兩種外部反應的 exact least-core 缺口；所有值由假設模型的閉式結果計算。

在圖 1，悲觀條件性核心較早變得非空，其 α 臨界值為 5×6/65≈0.461538；樂觀條件性核心要達到 5×16/145≈0.551724 才非空。0.461538 至 0.551724 的區間是兩種穩定性評估發生分歧的區間，並不是玩家操作表現的勝率差異。相圖的左右斜率來自命題三與四，非以隨機資料回歸估計。

6.3 圖 2：哪種人數的聯盟最可能阻擋？

圖 2。α=0.5、β=5、等重配對的有效率對稱分配，對所有 k=1 至 4 計算兩制度的聯盟阻擋超額。

以這組設置為例，樂觀制度的三人阻擋超額 e_O(3)=48×5/145−1.5≈0.155172；四人組的 e_O(4)=12×5/65−1≈−0.076923。悲觀制度的三人和四人超額均為負，故在此設定沒有任何有利於退出的子聯盟。分析全體 k 後才可以判斷哪一組是最強阻擋，不能只比較五人與一人價值。

6.4 圖 3：相同三人團隊在不同外部結構下的資源份額

圖 3。固定三次方競逐權重，完整展示 k=1–4 的離隊資源份額；虛線 k/5 是僅按人數比例分配的參照基準。

在 k=3 時，餘下兩人合併令三人份額為 27/35≈0.771429，兩人分散則為 27/29≈0.931034，差異約 0.159606 個資源總量比例單位。可見第三方分區安排在完全相同的離隊人數下，仍大幅改變離隊者的競逐收益。這是本文研究「分區外部性」的直接對照，而非另一種固定三人獎勵模型的重複演示。

7. 結果及討論（Results and Discussion）

7.1 等重互補：同一五人環境的兩種核心判斷

全部指標由完整聯盟—外部分區枚舉和 LP 求解取得。由於基值總和是 18.9，等重 α=0.5 情境的五人總效用為 18.9+10×0.5+5=28.9。這個總效用在兩個外部反應制度下完全相同：改變的只是子聯盟認為退出後能取得的資源份額，因而改變其穩定性阻擋條件。圖 1、圖 2 及上表共同支持命題三和四，並非遊戲實測或因果估計。

當 α=0.5、β=5，對稱 x_i=b_i+1+1=b_i+2 即 x=(5.2,5.7,6.1,6.4,5.5)，是樂觀 least-core 的一個最適解，最大的三人退出誘因是 0.155172。然而若剩下的人可協調合併，這組資源總量所支持的悲觀核心非空；此時可以找到有效率且不被任何悲觀退出組阻擋的分配。這是「聯盟穩定性取決於外部回應」在同一合成模型中的具體反例。

7.2 異質互補的 LP 結果

圖 4。兩組固定假設性異質配對權重下的樂觀與悲觀最小核心缺口；由 30 個子聯盟 LP 約束直接求解。

當 α=0.5、β=5 並採用附錄 A 的異質權重時，總邊權 10.25，五人價值等於 18.9+0.5×10.25+5=29.025。此時樂觀 ε* 約為 0.295768，悲觀 ε* 為 0。可見在這個例子中，一些成員之間較強的互補不足以確保每個退出組均願意接受既定五人安排。當 α 提高至 1.0、β 保持 5，兩個制度都可找到沒有正聯盟阻擋超額的效率分配；不能把這個單一案例概括為所有異質權重都會在 α=1 時穩定。

圖 5。異質 α=0.5 的兩制度 least-core LP 解，黑色橫標為個人單獨基值；LP 解僅是最適解中的一個可行頂點，非唯一公平規則。

在同一總效用約束下，兩個制度給出的 LP 分配可以不同。例如異質臨界情境下，樂觀 LP 選得 (5.343809,5.646787,6.318809,6.471787,5.243809)，悲觀 LP 選得 (5.276923,5.951923,6.601923,6.351923,4.842308)。兩向量的總和都為 29.025，而其分配差異來自制度的不同退出限制與 LP 頂點選擇。這並不表示悲觀分配對每一位玩家都更公平，也不表示模型預測具體玩家會實際收到這些收益。

7.3 敏感度與局部穩健性

程序令異質基準中的每條配對權重 w_ij 獨立加上 N(0,0.24²) 的假設性擾動，將每條邊的最小值截為 0.10，並強制對稱 w_ij=w_ji。固定 random seed=20261015，重複 300 個權重矩陣。每次重新計算兩個反應制度的全部聯盟值，並各自解一個 LP。兩個制度在同一權重樣本上成對計算，因此可以逐一比較它們的 ε*。

圖 6。僅改變研究者假設的角色配對權重，固定競逐指數三、α=0.5、β=5；合成 Monte Carlo 結果並非真實玩家樣本估計。

在 300 個固定種子權重擾動中，程式逐次驗證 ε*_P≤ε*_O，與命題五一致。0/300 和 280/300 只代表當前假設模型及擾動分布的模擬頻數，不是關於真實玩家行為的勝率，也不應視為某項政策可以提高勝率 93.3 個百分點的證據。由於未做外部資料擬合，不能為此表附上以真實母體為目標的信賴區間或顯著性檢定。

7.4 與 HOK-006 的差異及學術意義

HOK-006 用 v(S) 為每個聯盟指定一個不隨其他玩家狀態改變的價值，其三人飽和資源獎勵可由多個互不相容的反事實分別取得。HOK-007 則要求同一完整分區中資源的總份額恰為 β，並根據競爭聯盟的人數立方份額產生外部性。兩個研究均涉及五人合作與核心，但定義的資源結構、離隊選項、求解約束和臨界條件完全不同。

HOK-007 特別展示，保持五人團隊總效用不變，單是改變「退出後另外四人或兩人如何應對」的預期，就可能改變核心是否為空。這是一個關於聯盟形成解概念選擇的學術結果。實際解釋時應避免把「悲觀核心較容易非空」理解為鼓勵玩家消極或故意打壓隊友。其意思只是：更有凝聚力的外部競爭者，在模型中可能降低小聯盟退出的相對吸引力。

7.5 公平性、執行性與可能應用

一個核心非空的結論只說明存在一個有效率且符合所選擇反事實條件的效用分配。它不代表所有玩家能談成這種分配，也不代表分配可以在真實遊戲中直接執行。核心的含義依賴對退出權、聯盟形成、玩家理性與效用可轉移性的假設。若遊戲局內資源無法即時交換，玩家也無法可信承諾跨期補償，則核心作為穩定性準則可能比實際制度可行集寬鬆。

在合法資料充足且可測量時，本模型可以形成假說：在控制離隊成員能力、團隊經濟等因素後，外部玩家能否快速重組會影響離隊策略的機會成本。要將此變成實證檢定，需先指定正式遊戲版本、資源事件、五名玩家的分工及可觀測行動，並估計不同分區下的反事實價值。未經識別、單靠比賽後的勝負分類資料，無法直接證明外部反應引起的因果效果。

8. 限制與外部效度（Limitations）

模型是理論抽象。 本研究沒有驗證任何版本《王者榮耀》的資源效益是否按聯盟人數立方比例分配；此假設不是遊戲設計事實。更沒有測量組合技能、兵線、路線旅行時間、敵人反應速度或角色位置。其競逐資源是總量固定的單次抽象獎勵，而遊戲的多種資源往往不能在同一時窗任意替換。

玩家集合與分區可行性。 形式上允許五名玩家任意分成多個互不重疊團體，沒有檢查實際地圖路線、視野、角色互補性是否足以完成任務。因此數學可行聯盟可能在遊戲中並不可行。動態敵方戰術若改變資源總量 β，模型需要把對手行動及資訊狀態寫入收益函數。

核心定義依賴反應制度。 樂觀和悲觀退出價值取極值是一種透明的範圍分析；它們並非經由非合作動態均衡求得的唯一真實預測。餘下玩家對結盟的想法也可能受信任、通信成本、心理偏差及條件合約影響。雖然命題五證明餘下玩家整體可能偏好合併，但集體最佳不保證實際每個人願意簽署同一合約。

可轉移效用及分配限制。 文中允許將抽象戰術效用在玩家間分配，可協助研究承諾補償，但實際收益可能無法重新分配。若效用不可轉移，應使用 NTU 博弈或個別參與限制模型，不能直接套用本文 LP。無成本轉移的假設也使分配從真實心理偏好中抽離。

數據與統計效度。 所有數值是作者預設，300 組波動只反映指定權重分布；沒有玩家實測樣本量，也未作統計抽樣設計、參數估計或因果識別。因此結果只有內部代數一致性與對局部參數的敏感度說明，並無跨賽季、跨段位或跨英雄的外部效度保證。

進一步數學限制。 本研究只考察原始五人團隊是否可抵禦一次子聯盟退出，沒有求全部分區上的遞迴核心、演化穩定集合或均衡聯盟結構。線性規劃給出的 x 向量亦未滿足額外的公平、個別時間成本、不可轉移技能價值和談判流程約束。競逐成功指數固定等於 3；若將其改為 2、4 或允許非單調配對權重，解析係數和主導聯盟規模都可能改變。

9. 結論（Conclusion）

本文從五人合作中一項被忽略的問題出發：某個離隊小隊的得益，可能取決於其餘玩家在離隊後如何重新分組。為此建立可轉移效用的分區函數模型，對任一完整玩家分區分配固定總量的競逐資源，並加入單人基值及兩兩合作互補。完整列舉五人的 52 種分區與每個情境 150 個離隊—外部反應配置，再以最小核心線性規劃處理所有子聯盟阻擋限制。

在等重互補、立方競逐的特定假設下，樂觀退出核心的充要門檻為 α≥16β/145，悲觀退出核心的充要門檻為 α≥6β/65。兩者分別對應最小缺口 max(0,48β/145−3α) 與 max(0,12β/65−2α)。這些解析結論由完整枚舉 LP 驗證；異質模型的假設數值顯示同一 α、β 可以產生樂觀核心空而悲觀核心非空的結果。對每組配對權重，悲觀最小缺口不大於樂觀最小缺口的排序亦得到一般性證明。

學術貢獻在於證明核心是否存在可以隨外部反應假設而改變，即使整隊的可分配總效用完全沒有變化。數學結果對理解協作退出、資源競爭和對手重新結盟具有解釋價值；但尚無任何真實《王者榮耀》局內行為資料可支持實際策略、玩家心理或勝率推論。後續研究應先建構可識別的反事實分區數據，再檢查最適外部反應是否能從通信約束、個別議價或多期非合作均衡內生導出。

參考文獻

Funaki, Y., & Yamato, T. (1999). The core of an economy with a common pool resource: A partition function form approach. International Journal of Game Theory, 28(2), 157–171. https://doi.org/10.1007/s001820050010

Kóczy, L. Á. (2007). A recursive core for partition function form games. Theory and Decision, 63(1), 41–51. https://doi.org/10.1007/s11238-007-9030-x

Ray, D., & Vohra, R. (1997). Equilibrium binding agreements. Journal of Economic Theory, 73(1), 30–78. https://doi.org/10.1006/jeth.1996.2236

Shapley, L. S. (1971). Cores of convex games. International Journal of Game Theory, 1, 11–26. https://doi.org/10.1007/BF01753431

Thrall, R. M., & Lucas, W. F. (1963). N-person games in partition function form. Naval Research Logistics Quarterly, 10(1), 281–298. https://doi.org/10.1002/nav.3800100126

五筆文獻均已對出版者或學術機構書目核對作者、刊名、出版年份及 DOI，電子書目另存於文庫中的 06_參考文獻/HOK-007_核實學術文獻.bib。本論文重點引用分區函數與外部預期的理論結果，並未聲稱這些文獻直接研究《王者榮耀》。