摘要
在多人協作的有限資源競逐中，某個小組退出後，其他玩家如何重新分組，往往被模型視為外生條件；然而，合併是否能增加外人的總收益，並不能直接保證每一位外部玩家均願意參與。本研究以《王者榮耀》五人隊伍作抽象決策場景，在固定退出聯盟 S 後，建立具有非負互補收益、立方資源競逐與人均協作成本的外部分區個人收益函數。對剩餘 m=5−|S| 位玩家，完整枚舉所有分區，定義不需接收方同意的單方遷移，並同時計算 Nash-stable 分區與外人總效用最大分區。研究推導全體合併、全體分散及兩組二人的穩定成本門檻，使用精確有理數獨立核算及可重現的 Python 數值實驗加以驗證。
在五人、立方競逐、四外人、α=0.5、β=5 的指定合成設定下，全合併僅在 c≤909/1508≈0.6028 時對單邊退出穩定；全分散在 c≥47/44≈1.0682 時對單邊入組穩定；兩組二人對所有個人偏離均穩定的成本區間為 1233/1972≤c≤727/748。更進一步，以獨立有理數枚舉所有 15 種分區及其 128 個單方偏離比較，可得五種形態依照 4、3+1、2+2、2+1+1、全分散之次序完全覆蓋非負成本範圍，故此指定對稱模型對每個 c≥0 均存在純策略穩定分區。當 c=0.8 時，三種具身分差異的兩組二人分區穩定，但其外人總效用均為 213/85≈2.506，低於全分散的 4，效率損失為 127/85≈1.494。精確解析顯示，在整段兩組二人穩定區間，全分散對外人福利均為最優。另以固定亂數種子的 300 組非負異質互補權重檢查穩健性；此部分僅為合成敏感度而非統計推論。結論只成立於文中明示的遷移、平分、成本與對手結構假設。
關鍵詞： 分區函數博弈；內生聯盟形成；Nash 穩定性；資源競逐；協調成本；社會效率
1. 引言（Introduction）
1.1 研究背景與問題
五人團隊遊戲常出現玩家暫時協作、結隊、分散控制區域以及互相爭取共同資源的選擇。實際《王者榮耀》中的角色、行動與經濟系統高度複雜，本文不試圖由簡單聯盟模型重現真實匹配或野區收益，而是將其抽象為在固定五人集合內的聯盟形成問題。此種簡化能隔離個人誘因與群體效果的邏輯關係，亦清楚指出將來需要何種玩家遙測才能檢驗理論。
前一研究 HOK-007 引入分區函數（partition function form），證明當離隊聯盟 S 面對其餘玩家全分散或全合併兩種外部反應時，所得到的條件核心門檻不同。其樂觀及悲觀退出價值是對所有外部分區取最大或最小的反事實結果，並未指定外部玩家如何作出個人選擇。這留下了實質問題：全合併即使對外人整體有利，會否被其中一人主動退出？全分散能否抵擋一人加入別人隊伍？如果兩者均不穩定，是否存在能自發維持的中間分區？
本文聚焦此缺口，研究由個人移動形成的外部分區，並把產生的穩定結構與整體福利最佳分區比較。整體福利與個別穩定不同：個別遷移只考慮移動者當下效用，而總福利衡量所有外人，單方變更會通過共同資源的分母影響未移動者。因此，局部最適可能遠離集體最適。此現象作為博弈論的研究對象具有分析價值，但不應被轉譯成未經實證的玩家人格或戰術建議。
1.2 研究目標、問題與假說
Research Objectives：（一）建立與 HOK-007 資源競逐式分區函數相容、但具有明確個人效用分配的模型；（二）以個人離組／入組操作內生定義穩定外部分區；（三）證明對稱情形的準確成本條件及完整穩定區間覆蓋；（四）計算穩定分區的福利損失及異質權重敏感度。
Research Questions： Q1：何時外人全合併或全分散在單方遷移下穩定？Q2：四名外人何時形成二二分組均衡？Q3：個人穩定的分區能否被其他分區在總福利上嚴格支配？Q4：HOK-007 的極端反事實分區是否可由個人遷移機制支持？
Research Hypotheses： H1：總收益最高的合併並不必然是個人穩定的分區。H2：某段正協作成本區間存在嚴格低福利的二二分組穩定結構。H3：隨協作成本變動，均衡分區形態可發生離散轉換。這些是假說；只有經後續證明及計算支持者才列為研究發現。
1.3 實際意義及貢獻界限
在真實隊伍中，個體是否接受與其他人配合，取決於相互信任、時序、距離、角色互補與遊戲規則。本文不為它們賦予未經核實的真實數值，而是提供一個可觀測性要求清楚的理論框架：若未來可記錄聯盟變化、局部收益及行動成本，便可嘗試測試不同結盟結構對個人與集體效用的影響。本文所能建立的學術貢獻是模型內的條件性數學結果與可重現例子，不能宣稱發現了真實玩家的均衡策略。
2. 文獻回顧（Literature Review）
Thrall 與 Lucas（1963）將合作博弈的價值定義於完整分區，避免用一個孤立的子聯盟價值隱藏外人的反應；這為 HOK-007 及本研究的共同資源分母提供形式化起點。若忽略外人分組，可能錯判一個退出聯盟的競爭資源份額。本文並不改寫其一般分區函數理論，而是在指定的有限五人競逐例子中明確安排個人選擇。
Hart 與 Kurz（1983）討論聯盟內生形成及穩定性概念，指出聯盟成員仍然是能否維持合作的決策者。Bloch（1996）在收益依賴整個聯盟結構且分配規則固定的框架下分析序列聯盟形成，說明在分區外部性存在時，形成程序與穩定性的選擇本身十分重要。本研究使用更精簡的固定 S、單次單人遷移偏離關係，故既不能直接宣稱是這兩篇研究的均衡結果，也不把有限分區枚舉視為通用均衡存在定理。
Bogomolnaia 與 Jackson（2002）分析偏好取決於本身聯盟成員的 hedonic coalition stability，並研究需接收群體不受損害的個別穩定條件。本文雖借用「個別離組、入組」的研究動機，但玩家效用亦取決於其他外部聯盟的大小及共同分母，所以本研究不是純 hedonic game。此外，本文容許無需接收者批准的加入，對應的是本文自行明確定義的自由入組 Nash stability；若改成需要接收者同意，須重新檢查所有分區，而不可沿用此文的數值結論。
與 HOK-006 的可轉移效用核心及 HOK-007 的極端外部反應相比，本研究關鍵新增物是「個別獎勵分享與協作成本」及「個人遷移後對完整分區的影響」。HOK-004 的歷史報告涉及雙人跨線輪轉及通信延遲，但未在現有 Mac 文庫找到可復驗原件；本篇核心模型刻意不包含輪轉、雙人付款或延遲，以降低表面主題相近所造成的實質重複。
3. 問題建構（Problem Formulation）
3.1 玩家集合、時間及行為範圍
設 N={1,2,3,4,5}，指定退出組 S 滿足 1≤k=|S|≤4，其餘 R={i∈N:i∉S} 共 m=5−k 人。S 在本階段固定為一個外部競爭實體，不參與 R 的再結盟決策；R 的完整分區記為 ρ={T₁,…,T_r}，各 T_j 非空、互斥而且聯集為 R。本文只研究退出後的一次靜態分組，沒有玩家退出組 S 的再加入或多期承諾。這是求解可控的反事實子模型，而非實際配對制度。
R 每位玩家 i 按其所屬聯盟 T_i 的人數及所有外人聯盟大小獲得收益。假定各競爭聯盟在同一期爭奪總量固定為 β≥0 的假設性資源，競逐能力以聯盟規模的 p 次方衡量（p>1）；模型沒有聲稱真實遊戲依聯盟人數立方分配金錢、野怪或勝率。共同分母為 D(ρ;k)=k^p+Σ_{T∈ρ}|T|^p，嚴格為正。
3.2 符號與數值的識別性
| 符號 | 定義 |
|---|---|
| N、S、R、k、m | 五人集合、退出聯盟、外部玩家、其人數 |
| ρ、T_i、D | 外部分區、i 的組、立方或 p 次資源分母 |
| b_i、w_ij、α | 固定個人基值、對稱配對互補、互補強度 |
| β、p、c | 假設性可競逐總資源、競逐指數、個人新增成員協作成本 |
| u_i、W、ρ_NS | 個人效用、外人總效用、單方遷移穩定分區 |
| Δ_i、L | 個人遷移後的收益增量、相對最佳總福利的效率損失 |
假定 w_ij=w_ji≥0 且 w_ii=0，α、β、c≥0。固定基值 b_i 對不同分區下的偏離誘因不產生作用，因為它們在兩邊相消；比較不同分區的外人總福利時，Σ_i b_i 亦相消。為免誤解，後續數值圖設 b_i=0 只是選擇計量原點，絕非斷言玩家沒有任何固有效用。
3.3 個人效用函數與分區外部性
一個聯盟 T 的總配對互補為 αΣ_{i<j∈T}w_ij，等量分攤每對互補的效益給該對兩人。資源收入先按 |T|^p/D 分配給 T，再在其 |T| 名成員中平均分配；個別協作成本按聯盟內其他成員數量線性上升。故定義：
其中基值 b、互補係數 w、資源指數 p 和成本 c 均為研究者設計，沒有透過任何玩家樣本估計。某玩家離開或加入另一聯盟時，D 會變，因此改變了未移動玩家的資源收益。這種取決於整個分區的非局部依賴，便是本文的分區外部性（partition externality）。
3.4 個人遷移與穩定解概念
對每一個分區 ρ，玩家 i 可以單獨離開本組成為單人組，亦可加入另一個現有外人組。將移動後的完整分區記為 ρ'。如果已經單獨成組，保留原狀不是偏離；亦不允許一人單獨把別人拖入自己的隊伍。關鍵假設是接收聯盟不能拒絕加入，故研究的是自由入組的單方遷移均衡，不涉及多人共同移動或支付補償。
定義 Δ_i(ρ→ρ')=u_i(ρ';k)−u_i(ρ;k)。若對每個 i 和每個合法移動均有 Δ_i≤0，則 ρ 是 Nash-stable 分區（下稱 NS）。如果 Δ_i=0，按無嚴格改善的慣例仍判為穩定。有限分區數不代表任何一般模型必然存在 NS；本文透過全部枚舉在指派的參數下確認，另研究解析條件。
4. 數學模型（Mathematical Model）
4.1 外人總效用與集體最佳
把個別效用在 i∈R 上相加，配對項每條邊計算兩次、每次乘 α/2，得到每條邊總效用 αw_ij；每個聯盟的資源收益是 β|T|^p/D；每個 T 有 |T| 人各付 c(|T|−1)。因此總福利 W 為：
在一個固定 k 下，枚舉所有外部分區可求 W*=max_ρ W(ρ;k)，並定義任一 NS 分區的效率損失 L(ρ_NS)=W*−W(ρ_NS)≥0。因固定常數 b_i 可正可負，本文使用福利差而非 W*/W 比率衡量低效率。若同一參數存在多個 NS 分區，報告所有穩定形態及其中最大損失，以免任意挑一個解當作唯一預測。
4.2 可重現的離散枚舉
四個外部玩家只有 Bell(4)=15 個分區；三人有 5 個，兩人有 2 個，一人只有 1 個。程式以固定元素集合作遞增插入：新增玩家可以獨立成組，也可以加入任一既有聯盟，每次經規範化去除聯盟次序差異。每個 ρ 內枚舉所有玩家及全部合法目的地，對移動前後完整分區計算精確的同一收益函數，並將所有 Δ_i 最大值與零比較。所得 NS 集與透過 W 枚舉得到的 W* 並列，藉此直接看出個人最優與整體最優之差。
5. 理論分析（Theoretical Analysis）
5.1 命題一：全合併的個別退出臨界值
**命題 1。**設 m≥2，所有外人兩兩互補權重為 1，初始全合併 T=R。在上述單方遷移規則下，只有離開成單人組這一種非平凡偏離。全合併為 NS 的充要條件是 c≤c_G，其中：
**證明。**全合併下玩家 i 的個人收益扣除固定 b_i 為 α(m−1)/2+βm^{p−1}/(k^p+m^p)−c(m−1)。i 單獨離開後，其他 m−1 位仍成組，i 的收益變為 β/[k^p+(m−1)^p+1]。把原收益不低於退出收益作移項，再除以正數 m−1，即得 c≤c_G。所有 i 在等重假設下有同一比較，其他目的地不合法或等於原分區，故此條件同時為必要與充分。□
若 m=4、k=1、p=3、α=0.5、β=5，則 c_G=909/1508≈0.602785。在超過此成本的區間，不能把 HOK-007 所用「外人完全合併」極端情境直接視為會自發維持的個人均衡。這句話僅關乎本文選定的自由退出規則，沒有判定真實遊戲中的外人行為。
5.2 命題二：全分散的個人入組臨界值
**命題 2。**在相同對稱假設下，初始所有 m≥2 位外人均為單人組，唯一實質單邊入組會產生一個雙人組及 m−2 個單人組。因此全分散為 NS 的充要條件為 c≥c_S：
**證明。**分散時玩家 i 的收益扣除 b_i 為 β/(k^p+m)。若 i 加入任一其他單人組，新分區的競逐分母為 k^p+2^p+m−2，新雙人組平分資源收益使 i 得 β2^{p−1}/D，再獲 α/2 的單一配對互補並付出 c。由「加入後不嚴格高於加入前」移項，即得上述不等式。等重假設令所有目的地等價，故條件充要。□
在四外人基準，c_S=47/44≈1.068182。這與 c_G 之間有一段開區間，兩個極端分區都不能通過各自的單邊偏離檢查，但不能僅憑這兩個門檻便推出無純策略穩定分區；必須檢查中間的 2+1+1、2+2 或 3+1 分區。
5.3 命題三：兩組二人的穩定區間
**命題 3。**在 m=4、k=1、p=3 且 w_ij=1 的設定下，令分區形態為 2+2。任何玩家的實質單邊移動只有兩類：（a）離隊獨立，形成 2+1+1；（b）加入另一雙人組，形成 3+1。因此 2+2 是 NS 當且僅當 c_L≤c≤c_H，其中：
**證明。**當前每人的配對互補為 α/2，資源收益為 4β/17，成本為 c，故 u_22−b_i=α/2+4β/17−c。若其離開成單人組，分母改為 1+8+1+1=11，單人收益變成 β/11；故保持現況優於離隊當且僅當 c≤α/2+β(4/17−1/11)=c_H。若加入另一雙人組，其新三人組資源分母為 1+27+1=29，個人收益為 α+9β/29−2c；保持現況優於加入當且僅當 c≥α/2+β(9/29−4/17)=c_L。兩類移動窮盡全部實質偏離，兩個條件合起來既必要又充分。□
在 α=1/2、β=5 時，精確有理數得 c_L=1233/1972≈0.625254，c_H=727/748≈0.971925。兩組二人的三個不同玩家配對安排均滿足相同不等式，而不是只有一個特定排列穩定。此分析不能直接外推至異質 w_ij 或需接收方同意的版本。
5.4 命題四：整段二二均衡區間的效率陷阱
**命題 4。**在命題三的合成參數設定中，只要 2+2 穩定，即 c∈[1233/1972,727/748]，外人總福利最高的分區必為全分散 1+1+1+1，且 2+2 的總福利嚴格低於它；特別當 c=4/5 時：
**證明。**由總福利公式及 w_ij=1，五種可能的分組形態對應下表的精確表達式，基值取零；對其他固定 b_i，兩分區差值不變。
| 分區形態 | 外部福利 W（模型效用） |
|---|---|
| 1+1+1+1 | 4 |
| 2+1+1 | 1/2+50/11−2c |
| 2+2 | 1+80/17−4c |
| 3+1 | 3/2+140/29−6c |
| 4 | 3+64/13−12c |
全分散不低於其餘四形態的必要充分成本界分別是 c≥23/44、c≥29/68、c≥45/116、c≥17/52；其中最大值為 23/44。由 1233/1972>23/44 可知，整段二二均衡區間內，全分散都嚴格高於任何非全分散的分區（包含 2+2）。將 c=4/5 代入得 W_22=1+80/17−16/5=213/85，與 W_single=4 的差為 127/85。此數為精確有理數，並非從散點圖估出的近似值。□
這個結果揭示一種個人穩定而集體可改善的結構。與「二二玩家協作一律較差」的敘述不同，本命題只有在特定高成本區間、固定資源指數及個別無補償移動的條件下成立。若允許四人同時解散組隊，集體可改善；若只容許一人退出，退出者因分母變化而損失，故現狀自我維持。這是協調失靈的數學機制，不是實際對局中的因果發現。
5.5 命題五：兩名外人情況的臨界行為
**命題 5。**當 m=2、k=3 且 w_12=1 時，外人僅有 {1},{2} 及 {1,2} 兩種分區，設 c_2=α/2+β[2^{p−1}/(k^p+2^p)−1/(k^p+2)]。當 cc_2，雙人分散分區是唯一 NS；當 c=c_2，兩者均是 NS。
**證明。**兩名玩家對稱且沒有其他外部玩家，合併與分散時每人的共同收益增量恰為 c_2−c。合併狀態唯一有意義偏離是其中一人退出，分散狀態唯一偏離是其中一人加入另一人。若 cc_2，分散給兩人嚴格更高收益；等號時不存在嚴格改善。兩個分區已窮盡狀態，遂得結論。□
這也顯示四外人的中間聯盟現象不是從兩外人的最簡單情境自動推得。研究 m=4 的重要性在於同一位玩家可以在離組與加入第三方之間比較，且分區外部性改變所有人的資源分母。
5.6 命題六：完整對稱相圖與純均衡存在性
命題 6。維持 m=4、k=1、p=3、α=1/2、β=5、w_ij=1，且協作成本 c≥0。令 c_G=909/1508、c_L=1233/1972、c_H=727/748、c_S=47/44。下表列出每一種外人規模型態是 NS 的充要條件。兩個相鄰形態只在共享端點共同穩定；在其他成本下，穩定形態唯一，但同一形態可有不同玩家身分排列。
| NS 分區形態 | 該形態分區數 | 精確穩定成本區間 |
|---|---|---|
| 4 | 1 | 0≤c≤909/1508 |
| 3+1 | 4 | 909/1508≤c≤1233/1972 |
| 2+2 | 3 | 1233/1972≤c≤727/748 |
| 2+1+1 | 6 | 727/748≤c≤47/44 |
| 1+1+1+1 | 1 | c≥47/44 |
**證明。**在等權下，同一組員人數形態的任兩種分區可藉重命名玩家互相對應，而個人收益不變，故僅須就五種形態選一個代表。任何合法遷移前後的收益差均形如 A−cΔn，其中 A 為精確有理數、Δn 是玩家遷移後及遷移前所屬聯盟的隊友數差。因而每次「偏離不得盈利」均給出成本 c 的一條閉半直線約束，交集是精確閉區間。命題 1–3 已處理第一、第三、第五形態：4 的約束為 c≤c_G；2+2 的約束為 c_L≤c≤c_H；全分散的約束為 c≥c_S。
就 3+1 而言，原先的單人成員若加入三人組，必須有 c≥c_G 才不會盈利；原先三人組的一名成員若改投單人成員，構成 2+2，必須有 c≤c_L。其餘合法偏離（例如三人組成員離隊自立）代入同一效用式後給出的限制不更嚴格。就 2+1+1 而言，單人成員若加入另一單人成員構成 2+2，必須有 c≥c_H；二人組成員若獨立成組，形成四個單人組，必須有 c≤c_S；其餘偏離亦不縮窄該區間。為避免只憑直覺略去較不明顯的偏離，附屬 audit_exact_phases.py 另用 4⁴ 個標籤組合獨立去重取得 15 分區，對 128 個合法單人偏離比較逐一以 Fraction 解閉半直線，確認五個區間各自充要。五個區間首尾相接，故對每個 c≥0 都至少有一個 NS。□
適用範圍。本命題只是特定合成對稱模型中，對所有非負 c 的純均衡存在結果。若改變權重、p、資源分享、接收同意規則或離隊組大小，128 個線性比較的系數均可能改變；即使是有限分區博弈，也不能僅憑此例推出通用存在性。
6. 數值實驗（Numerical Experiments）
6.1 實驗材料、參數與方法
本研究沒有任何玩家來源的資料集、遊戲重播檔或真實資源紀錄。以下數值全是 Python 程式以研究者選定參數計算。基準：N=5、k=1、m=4、w_ij=1（i≠j）、α=0.5、β=5、p=3、b_i=0；成本 c 在 [0,1.5] 每 0.005 一點，共 301 個點。每個成本完整計算 15 個分區及其全部單人偏離，取出所有 NS 與全部外部分區的 W 最大值。程式用 Python 整數／浮點計算枚舉，另用 Python Fraction 獨立核對臨界值、五個形態的連續成本全區間及 c=0.8 的福利數。浮點格點相圖僅是展示；不跨格點的存在性結論來自命題 6 的精確閉區間驗算。
異質權重穩健性使用固定 PRNG seed 20261015，按對稱邊 i<j 逐一從 [0.65,1.35] 的均勻分布抽取 w_ij，設定 w_ji=w_ij，完成 300 組synthetic 擾動。每一組都重算所有分區。此抽樣分布完全是本文假設，不是《王者榮耀》實際玩家互補分布；300 組也不是實測樣本量，均值與分位數不可當成真實母群體統計推論。
6.2 穩定分區的成本相圖
圖 1：橫軸是個人每額外隊員的協作成本（模型效用），縱軸是外人分區的規模型態。每個點來自完整枚舉並依個人偏離定義篩選，所有資料均為 synthetic。
由圖 1 與命題 1–3、6 可見，不同成本區間支持不同穩定分區。在中間成本，極端的全合併和全分散可能均不穩定，但 3+1、2+2 或 2+1+1 的中間分區可以成為 NS。此合成對稱基準的五個精確閉區間首尾銜接，因此非負協作成本下必有純 NS；該結論不能移植到異質參數。相同規模型態可有數個身分不同的等價分區；因此數值報告必須同時列出穩定分區個數和分組型態。四個共享門檻處，相鄰兩種形態都滿足無嚴格偏離條件，這是弱不等式定義直接造成的邊界多重性。
6.3 福利差距與穩定性門檻
圖 2：在固定合成基準下，對照所有分區最佳外人總福利 W 與穩定分區中最差總福利。兩條曲線之間的距離是本研究定義的效率損失；非實際比賽勝率差。*
福利差距在某些成本區域明顯，即使每位玩家都缺乏一次單獨移動的利益。這不與個人理性矛盾，因為多人同時變更與單人偏離是不同的可行操作。若圖上某個成本值不存在 NS，程式應把該點的穩定福利記為缺值而非任意選一個分區；本次指定成本格點則直接由完整枚舉輸出。
圖 3：命題推導的四條成本門檻作為數值圖表，單位為模型效用。圖像對應精確 Fraction 有理數結果；全部設定均為 synthetic。
6.4 偏離收益核對與代表案例
圖 4：先對每個分區計算全部合法單人偏離中的最大正收益（若無盈利偏離則取零），再對同一規模型態的各分區取最小值。因基準的互補權重相等，同形態的結果相同，故此最小值同時等於該形態任一分區的最大正偏離收益。零值代表該形態可穩定；五種形態及全部 15 個分區均由腳本檢查；資料為 synthetic。
當 c=0.8，外人全分散福利為 4，三個不同二二組合全都滿足 NS，各自福利為 213/85≈2.505882。二二組合的某位玩家單獨離隊後資源份額改變，且另一個雙人組仍存在；另一種偏離是加入對方雙人組產生三人組。兩者均不能嚴格改善其個人收益。相反，若四名外人能同時選擇全分散，總福利增加 127/85；所以兩組二人構成可被集體方案改善的個別穩定結構。
| 檢查結果 | 基準數值／性質 |
|---|---|
| 當 c=0.8 可行外部分區數 | 15（完整枚舉） |
| 單方遷移穩定分區個數 | 3（全部為 2+2） |
| 外人福利最大分區 | 1+1+1+1，W*=4 |
| 二二組合福利 | 213/85≈2.505882 |
| 最差穩定分區的福利差距 | 127/85≈1.494118 |
| 數值來源 | 全部 synthetic；無玩家樣本 |
6.5 異質權重和離隊人數
圖 5：300 組固定種子生成的非負異質配對權重，重算最大外人福利與最差 NS 福利差；橫軸是模型效用，縱軸是合成組數，與實際玩家勝負數目無關。
在這 300 個合成擾動組中，對每一組皆能找到至少一個 NS 分區，且每組都有至少一個 2+2 的 NS。這僅支持設定在較溫和異質權重擾動下的數值穩健性，不能證明對任意權重、成本或 p 都存在此類分區。資料的重現性來自公開列出種子、抽樣上下界、全分區迴圈與所有輸出 CSV；沒有任何不確定性區間被解讀為實際遊戲的信賴區間。
7. 結果與討論（Results and Discussion）
7.1 為何個人不願意變更低福利現狀
個人對一次遷移的比較包含三種相反效應：新增的配對互補、由分組大小變化帶來的資源份額，以及因隊友增加而上升的協作成本。只考慮兩人互補時，增加配對效益可能令人推斷合併總是可取；但本模型每個競爭聯盟都共用同一份 β。玩家加入較大的組會改變 D，並同時減少原組及其他組的相對份額，故以當前局部條件衡量的入組決策未必讓外人整體福利增加。
c=0.8 的結果尤其清楚：兩個二人組的某一人若單獨離隊，自己的福利不升；若移往另一個二人組，也不升。四人共同解散分組可增加外人總福利，卻不是模型容許的單人策略。這是典型的集體行動困難：一個更好的集體結果不必存在從現狀出發的單方嚴格改善路徑。因定義只涉及個人移動，結論應稱為單方穩定而非多方談判、強核心或序列完美均衡。
7.2 與 HOK-007 樂觀／悲觀核心的關係
HOK-007 在固定退出組 S 後，選取外人全部分散及全部合併來界定 S 的最大與最小競逐收益，其結論是某種條件退出核心的數學關係。本研究表明，極端分區是否為外人可維持的結果，本身需要個人收益分配與遷移規則。這兩篇研究並無邏輯衝突，因為 HOK-007 問「若外人如此分組，S 得多少」，HOK-008 問「外人是否願意如此分組」。此差別對任何後續將條件核心應用於遊戲行為的研究都十分重要。
新增協作成本也代表 HOK-008 並非簡單地把 HOK-007 的某個 V(S) 代入常數 c；外人聯盟的共同福利可與個人決策不一致，而給出不同的內生比較靜態。因此目前只能將 HOK-008 的分區當作反事實反應的候選，不能把它回填成 HOK-007 的一般穩定性存在定理。未來若要比較由 Nash 分區導出的 S 退出價值，須另外定義均衡多重性下的選擇或混合機制。
7.3 模型預測與研究啟示的可識別性
若未來嘗試實證，至少要記錄隊伍短期協作組別、玩家位置及行動、協作成本的可觀測代理、事件前後收益，以及資源競逐在相同版本下的實際規則，才能區分 c、w 與 β 的作用。即使有這些資料，玩家分組與效用仍會共同受到技術水平、角色組合、當局形勢及敵方行動影響，需要明確的因果設計或結構估計；單純觀察到二二分組不應直接歸因於協作成本。
理論上，本文揭示可透過外部誘因或群體協調改變低福利均衡的空間。設計合法補償、允許多人共同移動或要求接收者同意，都可能使穩定分區改變。然而這些是未研究的制度變種。本文沒有計算最適補償，也不建議玩家在實際對局中刻意拆隊，更不能宣稱能提高真實勝率。
8. 研究限制（Limitations）
首先，所有成本、互補、分組和資源收益都是合成假設；立方規模指數 p=3 是用來呈現外部性的一個建模選擇，沒有被《王者榮耀》的技能或地圖資源機制實證支持。固定五人、退出一組的場景忽略敵方玩家、英雄位置、實時視野和多期經濟變動。這些限制使結果只具有模型內的條件效度。
其次，配對互補均分只是簡化的分配規則，實際團隊的互補效益可能不對稱、可為負數，或依角色存在非線性成本。c(|T|−1) 將所有新增隊友的成本設為相同，可能低估溝通網絡、領導者能力及互信造成的異質性。若存在組員之間的支付轉移，個人收益可由分區內重新分配，NS 結構可能改變。
第三，自由入組假設可能不適用於必須被接收群體批准的合作任務，亦不包含多人同時結盟或拒絕現有合作的談判順序。某些分區的單方穩定性並不等於個別穩定（individual stability with consent）、核心穩定、強 Nash 均衡或動態吸引子；有限網格上的純 NS 存在亦不能視為一般存在性定理。
第四，敏感度分析只抽取指定區間的正互補權重，沒有抽樣負互補、隨時間變化的成本、不同競逐指數或不對稱資源收益分攤。300 次 Monte Carlo 樣本全為偽隨機人工生成，不具有真實世界可推廣的統計涵義。成本格點間的特殊邊界以解析式核對，但圖上的離散相圖不構成任意實數參數的完整證明。
最後，本文的外人福利只計及 R，沒有把退出組 S 的成本、收益或五人社會總福利當成規範性最佳化目標。若改用五人總福利最大、團隊內公平或團隊外敵人的反應，最佳分區可能不同。這是問題定義的限制，亦說明理論結論不能被任意轉成玩家策略建議。
9. 結論（Conclusion）
本文從固定退出組之後剩餘玩家的自發分組出發，提出以個人均分競逐份額、對稱配對互補及人均協作成本構成的分區依賴收益模型。全部枚舉最多四名外部玩家的所有 15 種分區和全部單方遷移，並解析證明全合併、全分散、兩組二人的穩定成本條件；另外對全部 128 個有理數偏離比較完成精確相圖證明。在四外人基準設定下，五種規模型態連續覆蓋全部 c≥0，其中兩組二人的 NS 區間為 1233/1972≤c≤727/748；該整段成本區間中，外人福利最大的分區均為全分散。於 c=0.8，二二分組雖具個人穩定性，其總效用僅 213/85，較最佳的 4 少 127/85。
這些結果說明，一個個人無法以單步偏離改善的協作組織，可以被集體選擇嚴格改善。其原因不只是直接協作成本，也包括個人移動改變所有聯盟在固定共同資源中的份額。這一模型內結論將 HOK-007 的外生極端反應推進至個人可維持的分區判斷，同時清楚區分樂觀／悲觀合作核心與 Nash 個人遷移穩定性。未來研究須納入接收方同意、動態博弈與可識別的實際局內資料，才可推進對真實《王者榮耀》玩家行為的推論。
參考文獻
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