洗衣機吃掉的是哪一隻襪？完整襪對的超幾何組合定律

摘要

洗衣後剩下大量單隻襪子，究竟是洗衣機真的「吃襪」，還是隨機取出一部分襪子本來就會造成大量不完整配對？本研究把 $N$ 雙可辨識襪子視為 $2N$ 個獨立實物，隨機無放回取出其中 $k$ 隻，求完整襪對數 $X$ 的期望、變異數及完全找不到一對的概率。得到 $E[X]=k(k-1)/[2(2N-1)]$，並推導指示變數的協方差結構。對 12 雙共 24 隻襪子抽出 12 隻，平均完整對數為 2.8696，變異數為 0.7842；完全沒有完整襪對的機率約 0.001515。120,000 次抽樣模擬的平均為 2.8701。結果顯示不完整配對可純由抽樣機制造成，無需先假定襪子真的失蹤。

Abstract

Do washing machines really eat socks? We study a narrower combinatorial question: if k individual socks are selected uniformly without replacement from N distinct pairs, how many complete pairs should be expected? Using indicator variables, we derive E[X]=k(k−1)/(2(2N−1)), an exact variance, and an expression for the probability of zero complete pairs. With 12 pairs and 12 randomly drawn socks, expected complete pairs equal 2.8696 and variance 0.7842; a 120,000-draw synthetic experiment confirms the results. No evidence about actual sock disappearance is implied.

關鍵詞 / Keywords： 超幾何無放回抽樣；指示量；協方差

1. 引言

晾衣服時常出現「點解有咁多襪都係單隻」的抱怨。人類很容易把無法湊成一對的襪子理解為襪子真的少了一隻；但即使所有襪子都仍然存在，只抽取其中一部分，也會留下大量沒有配偶的單隻襪子。這是配對問題的基率陷阱：看起來缺少配偶的物品，不等於其配偶已被毀滅或吞掉。

本研究不調查洗衣機故障率，也不聲稱完成了家居追蹤實驗。它提出可以在紙上精確證明、再以程式抽樣驗證的組合問題：若 N 雙襪子每雙都能識別，而我們從全部 2N 隻中等概率無放回選 k 隻，平均能湊回多少完整對？哪些抽樣大小才真的不可能連一對也湊不出？

2. 文獻回顧

Hoeffding（1963）探討有限總體無放回抽樣中隨機量的偏差上界，說明不需要把抽取襪子視作獨立事件。Efron（1979）的重抽樣研究展示如何用計算實驗理解統計分佈，但本文的樣本生成是由完全已知的均勻有限總體機制進行，與用未知資料重抽樣估計參數的 bootstrap 不同。Shannon（1948）的機率資訊框架亦可用於理解配對狀態的不確定性，但本文的核心結果不依賴熵公式。

文章所用期望與變異數皆直接推導，不要求讀者相信某一未經核實的洗衣機故障研究。參考文獻主要支持有限總體隨機抽樣的研究方法，而非提供襪子消失的實測比例。

3. 研究問題與假設

R1：從 $N$ 雙襪子隨機取出 $k$ 隻時，完整襪對的期望數由甚麼決定？R2：不同襪對是否可視為獨立完成事件？若不能，變異數的正確公式是甚麼？R3：只取出一半襪子時，完全沒有完整配對的概率有多大？

H1：完整對的期望是二次函數 $k(k-1)/[2(2N-1)]$。H2：不同配對完成事件在固定總抽樣數下相關，忽略共變數會錯估變異數。H3：即使有大量單隻襪子，也可在沒有遺失任何襪子的完整總體內出現。

4. 理論框架

有 $N$ 雙襪子，每雙左右兩隻對彼此唯一匹配。全部共 $2N$ 隻以 $2N$ 個不同實體辨識。從中均勻無放回抽取 $k$ 隻；「完整一對」的定義是該雙兩隻均在樣本內，而不是抽出襪子的顏色相同。對第 $i$ 雙定義指示量 $I_i$，若該雙兩隻均取出則為 1，否則為 0。總完整對數 $X=\sum_{i=1}^N I_i$。

採固定抽取隻數，是為了避免把樣本數浮動與配對不完整程度混為一談。若抽出的襪子數接近 $2N$，不完整配對自然變少；若只抽出小部分，無法配對反而是常態。這個抽樣設定不涉及襪子在洗衣機中損壞、被夾住或遺落在房間。

5. 研究方法

以組合計數求單一襪對同時入選機率，再利用期望線性性求 $E[X]$；對不同兩雙同時完整的事件，求四隻襪均入樣本的概率以計算共變數及 $\mathrm{Var}(X)$。另對零完整對事件，用「先從 N 雙中選 k 雙，再從每雙選左或右」直接計數。對 N=12 及 $k=0$ 至 24 逐一計算期望、變異數和零配對概率。

數值驗證用隨機種子 20261025，從 24 隻中均勻無放回抽 12 隻，獨立重複 120,000 次，記錄每次完整對數。資料分類 E（組合推導）和 D（蒙地卡羅）；沒有量測或虛構任何家庭洗衣數據。

除了用指示變數求完整襪對數的期望及變異數，還能由生成函數得到整個精確分佈。任一指定襪對只有三種被抽中狀態：兩隻均沒有入樣本，對取樣數的權重為一；恰有一隻入樣本，有左襪或右襪兩種選法，權重為 $2x$；兩隻均被抽中時，完整對數增加一，權重為 $yx^2$。對全部 $N$ 對襪子，聯合計數多項式是 $(1+2x+yx^2)^N$。其中 $x^k y^j$ 的係數，正是恰好抽出 $k$ 隻而得到 $j$ 個完整配對的樣本組合數。

展開該多項式，可得在固定 $k$ 時完整對數為 $j$ 的精確概率：$P(X=j)=\binom Nj\binom{N-j}{k-2j}2^{k-2j}/\binom{2N}{k}$，超出合法範圍的二項係數按零處理。合法配對數下界是 $\max(0,k-N)$，上界是 $\lfloor k/2\rfloor$。下界反映超過 $N$ 隻襪子的固定抽樣必定包含至少一雙完整襪；上界反映每個完整對一定需要兩隻。用這個公式在所有合法 $j$ 加總，應等於一；再以 $j$ 加權即可得到期望值，以 $j^2$ 加權可求變異數。

上述方法能提供與指示變數推導不同的獨立檢查途徑。指示變數法依靠兩隻或四隻指定襪同時被抽到的組合概率；生成函數法則先枚舉每雙襪子的三種狀態再取係數。若兩種解析方法在不同 $k$ 都得到相同期望、變異數和零配對概率，且蒙地卡羅直方圖與整個精確分佈一致，比只檢查單一平均值更能排除程式錯誤。

在固定樣本容量下，不同襪對是否完整並不獨立，因為某一襪對已佔用的兩隻會減少其他襪子的可選名額。如果程式錯誤地為每個襪對獨立生成是否完整的伯努利標籤，可能得到類似平均卻有不正確的分佈或變異數。正確模擬必須先將全部 $2N$ 隻襪子分別標識，再不放回等概率選取恰好 $k$ 隻，最後按配對編號統計。這是抽樣機制的實質要求，並非圖表上的呈現細節。

6. 數學或計算模型

任何特定兩隻襪同時入選的概率由組合數比值得到

利用線性期望，即使不同 $I_i$ 彼此相關，仍有

對不同 $i\ne j$，兩雙共四隻襪同時入選的概率為

當 $k<4$ 時定義 $p_4=0$。再由 $X$ 的平方展開，得到

不能把第二項略去，因固定樣本容量的無放回抽樣會令不同事件相關。零完整對的樣本需從不同襪對各選一隻：先選 $k$ 雙，再對每雙各選左右一隻，共 $2^k{N\choose k}$ 種；總樣本數是 ${2N\choose k}$，因此

若 $k>N$，鴿籠原理保證至少取出一雙完整襪子，故零配對機率必為零。這項非漸近結果不依賴大樣本近似。

把每一雙襪子設為一個指示變數 $I_i$，當該雙的兩隻襪都進入抽樣時等於一，否則為零，則完整配對數是 $X=\sum_{i=1}^N I_i$。固定抽取 $k$ 隻、總共有 $2N$ 隻時，任何指定兩隻同時被取出的概率等於 $k(k-1)/[2N(2N-1)]$。將這個概率乘以 $N$，便得到期望公式 $E[X]=k(k-1)/[2(2N-1)]$。這個推導並不要求不同襪對獨立；期望線性性在有相關性的情況下仍然成立。

若要計算變異數，就不能只把每雙視為獨立伯努利試驗，因為固定取樣容量會使事件彼此連動。兩個不同襪對同時完整，需四隻指定襪都被抽中；該機率可用四階下降階乘與總母體相同階乘之比表示。將 $X^2$ 展開會得到自身的 $N$ 個變異數項，和彼此不同的 $N(N-1)$ 個共變數項。若忽略後者，在中間抽樣比例下便可能得到錯誤的不確定性。當 $k=0$ 或 $k=2N$ 時，結果完全確定，正確方差應為零，這是很有用的邊界測試。

「一雙都沒有湊齊」有直接計數公式：若 $k\leq N$，先挑出 $k$ 個不同襪對，再從每對挑左襪或右襪之一，合計 $\binom Nk 2^k$ 種樣本；全部可能的抽法是 $\binom{2N}{k}$。兩者相除即零完整對的機率。若 $k>N$，由鴿籠原理至少有一對完整，零配對概率恆為零。這個組合邏輯不但提供解析答案，也使讀者能以小母體完全枚舉進行獨立驗算。

7. 研究結果

令 N=12、k=12，即從 24 隻襪子抽出一半。完整襪對期望 $132/46\approx2.8696$，精確變異數約 0.78423；120,000 次合成抽樣得樣本平均 2.87012、樣本變異數約 0.78318。完全沒有完整對的機率 $2^{12}/{24\choose12}\approx0.001515$，即只有約千分之一點五。圖 1 追蹤抽出數 $k$ 與期望完整對數的曲線；圖 2 呈現零配對概率隨 $k$ 下降；圖 3 顯示抽出一半時的完整對數模擬分佈。

這裏最有趣的是平均完整對數不足三雙，但不代表其餘九雙的襪子有九隻永久遺失。抽出十二隻之後，其餘十二隻仍留在總體內，很多抽到的單隻襪子配偶正好不在本次樣本。把未同時出現的物件誤認為失蹤，本質上忽略了抽樣框架。

模型圖表及數據來源

圖 1　抽出隻數與完整襪對期望 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 2　零完整配對的精確概率 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 3　抽出十二隻後的完整襪對分佈 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

8. 討論

從組合數學看，未完整配對可以是純取樣問題。對 N=12、k=12，雖然抽到零雙的概率極低，但完整對數集中在幾雙附近，與日常「一堆單隻」的視覺印象一致。用同樣的推導亦可以研究成對耳環、手套、零件、學生證連掛繩等物品。關鍵是固定總物品、無放回抽樣與對偶關係。

若想研究真正的「洗衣機吃襪」現象，必須另加遺失機率、襪子隱藏位置及非隨機抽樣機制。若兩隻襪子因同時放在洗衣袋而高度相關，本研究的均勻取樣假設會失效；若一些襪子更容易掉進被套或洗衣機縫隙，更需要使用不等機率選取模型。數學基準不能代替家居觀察。

本研究分析的是「從全部襪子中隨機拿出部分時，會看到幾雙完整」的抽樣問題，與襪子是否真的在洗衣過程中失去蹤影有本質差異。抽出的 12 隻襪平均湊成約 2.87 雙，不表示洗衣機吞掉了 9.13 隻，也不表示其餘襪子全數遺失；未湊成雙的襪子仍然在抽取樣本中，只是另一隻可能留在未抽取集合。若把配對不足當作損失件數，會犯下把組合分類混同物質流失的錯誤。

另一個容易混淆的指標是「完整襪對數」與「落單襪子數」。若樣本大小固定為 $k$，每一完整對佔兩隻，其餘單隻數 $S=k-2X$。因此 $E[S]=k-2E[X]$，兩個指標可以互相轉換，但不應在同一段文字中混用單位。當 $N=12,k=12$，平均完整對數約為 2.87，因此平均落單襪子數約為 6.26 隻。這個結果比「襪子少了一半」更能精確表達配對現象。

若要真正研究家居襪子失蹤，應在洗衣前逐隻識別襪子、記錄進出洗衣機的數量，並在不揭露家庭私隱的前提下追蹤晾衣、收納與配對階段。對每個環節建立可稽核的轉移紀錄，才能辨認是否有損失、損失發生在哪個步驟，以及是否與襪子尺寸或洗衣容量相關。這需要真實觀測資料和不同的隨機過程模型；本文的超幾何結果可作為完全無遺失情境下的理論對照。

補充：極端「沒有一雙」事件的直接計數。 若從 $N$ 雙襪子、共 $2N$ 隻中均勻抽出 $k$ 隻，而且不容許樣本中出現任何完整一雙，則只能先選出 $k$ 個不同的襪對，再由每一對選左襪或右襪。可行抽樣數因而是 $\binom Nk2^k$；所有樣本數為 $\binom{2N}{k}$，故在 $k\leq N$ 時，$P(X=0)=\binom Nk2^k/\binom{2N}{k}$。當 $k>N$，鴿籠原理保證至少有一雙完整襪，所以零配對概率為零。這個分段閉式結果既可由生成函數的常數項導出，也可由直接組合計數獨立證明。

以十二雙襪子恰抽十二隻為例，沒有一雙完整配對的精確概率是 $2^{12}/\binom{24}{12}$，約 0.001515，即每約六百六十次此類純隨機抽樣才出現一次的稀有事件。這不是「洗衣機完全沒有弄丟任何襪子」的觀測概率，而是定義明確的「抽了一半襪子卻沒湊成一對」組合事件。若有人只從衣櫃抽取少量襪子，得到零完整對的概率可以很高；同一套日常說法必須指明抽取幾隻，數學命題才有可比較的內容。

模型還具有自然的單調性耦合。先把全部襪子作一次均勻隨機排列，再依序取出前 $k$ 隻；在這個共同隨機排序中，增加抽取數 $k$ 時，完整配對數 $X_k$ 不可能下降，因為已完成的配對不會在加入新襪時消失。因此不只平均值 $E[X_k]$ 隨 $k$ 增加，整個分佈也滿足一階隨機占優。這項結構結果與期望公式互補，可用同一模擬路徑畫出 $k=0,1,\ldots,2N$ 的階梯軌跡，逐條檢查配對數沒有負增量。

當抽樣數由 $k$ 增至 $k+1$，新抽到的襪子能形成完整對，當且僅當其另一隻早已在前 $k$ 隻之中。由對稱性，新襪的伴襪在之前 $k$ 個位置的概率是 $k/(2N-1)$，所以 $E[X_{k+1}-X_k]=k/(2N-1)$。把這個邊際增量由零加至 $k-1$，立刻得到 $E[X_k]=k(k-1)/[2(2N-1)]$，與逐對指示變數推導一致。這給出比單次樣本平均更易審核的遞推結構，亦明確說明為何抽得越多、每多取一隻帶來的預期新配對增量會越大。

上述證明要求逐隻等概率無放回抽樣，且每雙恰好有兩隻。若襪子以不同機率被選出、已有部份物理遺失或存在看起來相同卻不能配對的襪子，無論分佈還是邊際增量公式都需要重新建立。真實洗衣流程的觀察研究應另行區分「未在此樣本中」、「配錯另一雙」與「確實已遺失」三個互斥狀態，以防止把組合上的缺席誤寫成設備造成的遺失。

9. 研究限制

所有襪子被假定可以唯一配對，不考慮多隻同款混搭、破損、色差、不同尺寸，亦不代表襪子真實出現的隨機機制。被抽出的襪子數固定，可能與洗衣後逐件晾曬的程序不同。蒙地卡羅平均接近解析結果，只驗證程式實作，不構成洗衣機實驗證據。

10. 結論

在完整總體中隨機無放回抽取襪子，完整配對數的期望是 $k(k-1)/[2(2N-1)]$，變異數則需要考慮不同配對事件的協方差。12 雙襪子抽出 12 隻時，平均只有約 2.87 雙完整；大量單隻襪子的出現，本身不需要襪子真的被任何機器吞掉。

11. 未來研究方向

可擴展模型以允許不同襪子有不同遺失概率，並分析取樣、洗衣機故障及使用者整理習慣三種機制的可識別性。若要以真實家居資料估計遺失概率，應設計有實際編號、知情同意與固定跟蹤流程的觀察研究，而非靠回憶單隻襪子的數目。

參考文獻

• Hoeffding, W. (1963). Probability inequalities for sums of bounded random variables. Journal of the American Statistical Association, 58(301), 13–30. https://doi.org/10.1080/01621459.1963.10500830
• Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1–26. https://doi.org/10.1214/aos/1176344552
• Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27(3), 379–423. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x

本文是虛擬學術研究所的原創模型演練；它不是實地研究或同行評審期刊論文。 所有模擬數值均可在同一資料夾的 data/summary.json 與程式中核對。