兩人共用雨傘究竟誰較濕？幾何遮蔽、風向不確定性與極小極大公平的理論分析

Who Gets Wetter Under One Shared Umbrella? Geometric Shadowing, Stochastic Wind and Minimax Fairness

研究性質： 原創理論建模與合成電腦實驗；沒有真人受試者、真實濕衣量測或氣象站觀測。本文所有百分比均指水平身體占地圓的未遮蔽面積比例，除非特別說明，並非人體或衣物的實際濕度。版本： 2026 年 10 月 16 日作者端完成稿；六筆 DOI 已核對 Crossref 書目資料，四角色模擬內審及 PDF 逐頁檢查已執行；未接受外部真人同行評審。

中文摘要

兩人共撐雨傘時，傘柄移向哪一方、誰應退讓半步，以及所謂「公平」是否代表雙方平均同樣濕，都是可精確建模卻經常由現場禮貌處理的問題。本文將雨傘視為半徑固定的水平圓盤，把兩人的水平投影簡化為不同半徑的圓，並以雨滴水平速度與落下速度所決定的斜向投影構造遮蔽足跡。以兩個圓盤的交疊面積除以個別人形圓面積，建立可解析計算的未遮蔽比例。模型提出完整保護的不可能條件、以最大個人暴露比例為準的極小極大位置，以及隨機風向下兩種容易混淆的公平準則：個人期望暴露之最大值，與每種天氣情境中最大暴露的期望值。在完全人工設定的傘半徑 0.36 米、人形圓半徑 0.23 與 0.17 米、中心距 0.48 米的情境下，完全覆蓋兩人的必要且充分幾何條件不成立；固定風向之極小極大位置可把雙方暴露比例降至約 0.185。為研究風向不確定性，本文以指定隨機種子產生 900 組合成訓練風速及另外 16,000 組驗證風速。以個人期望值公平為目標所得的傘柄位置為約（−0.1634，−0.0353）米，另一準則為（−0.1531，−0.0355）米；驗證集之情境最大暴露均值分別為 0.45840 與 0.45596。差異既小且可測，強調公平目標的定義會影響最佳行動。研究附有解析公式、獨立數值積分核對、可重現最佳化與圖表，亦明確指出模型不能用於推算衣物含水率、社交偏好或真實雨量。

關鍵詞： 雨傘共享、圓形交疊、風驅雨、極小極大最佳化、公平分配、樣本平均近似、蒙地卡羅驗證。

English Abstract

Sharing an umbrella raises a deceptively rigorous allocation problem: where should the holder stand, and whose exposure should be prioritised? We represent the canopy and two hypothetical pedestrian footprints as circles, project wind-driven raindrops geometrically, and measure uncovered horizontal footprint fractions by circle-intersection areas. We derive an exact condition for simultaneous full coverage and compare deterministic minimax placement with two stochastic equity criteria: the maximum of individual expected exposures and the expectation of the scenario-wise maximum exposure. Synthetic experiments use a canopy radius of 0.36 m, unequal footprint radii of 0.23 and 0.17 m, and a 0.48 m separation. Complete coverage is geometrically impossible in this configuration. A deterministic minimax arrangement yields approximately 0.185 exposed fraction per person. Under synthetic uncertain winds, two objectives yield distinct placements; 16,000 independent simulated scenarios produce mean scenario maxima of 0.45840 and 0.45596. Exact geometric expressions are independently checked by numerical quadrature, while seeded optimisation and out-of-sample simulations document computational reproducibility. These percentages describe planar geometric exposure rather than measured clothing wetness, medical risk, or human behaviour.

Keywords: shared umbrella; circle intersection; wind-driven rain; minimax; equitable location; Monte Carlo; sample-average approximation.

1. 引言：一把雨傘的禮貌困境

在雨天的行人路上，兩個人把頭湊到同一把傘下，不時出現一種奇特的合作畫面：一人自認已將雨傘讓到對方頭頂，另一人卻發現自己的左邊衣袖仍暴露在雨中；若把傘拉回中央，又有人覺得肩膀被淋。如此微小的決策，混合了幾何、動力學、個人差異和公平判斷。日常用語的「你比較濕」尤其容易混淆：它可以表示未遮蔽面積較大、衣物吸收水量較多、感受到較冷，或某一個人對不公平較敏感。四個命題所要求的資料完全不同。為使結論可以檢查，本文只研究第一種、可幾何定義的暴露代理量。研究不聲稱觀察到人們在真實街道上的行為，也不將模型數值解讀為衣物吸收率。

一把傘若足以覆蓋一個人的全部水平投影，並不保證同時遮住兩個人。兩人所站的位置、身形投影大小與傘面的可移動距離，決定共同遮蔽的可行區域。更重要的是，降雨沿風向傾斜；在雨傘頂部看似置中的圓形，投射到行人所在高度時，遮蔽區域會沿風向平移。兩人肩膀與傘柄的關係，不能僅以直覺上的「傘居中」判斷。假如風向固定，問題可以化為兩圓相交面積的函數最佳化；一旦風向變動，「平均公平」與「每一場情境中照顧最倒霉的人」可能給出不同的最佳位置。這個差異同時連接機率學中期望與極大值的運算次序、運籌學中多目標配置，以及不確定環境下的決策。

本文的主要貢獻有三。第一，提出一套由任意圓盤位置與雨滴速度計算個人遮蔽率的透明模型，並精確證明「兩人皆完全不淋」何時有解。第二，在使用不同大小的人形代理圓時，把「每人未遮蔽比例」與「所有未遮蔽絕對面積」區分，說明看似中立的加權方式會改變誰受益。第三，提出兩個隨機極小極大目標，說明即使每個目標都有合理倫理詮釋，最優決策依舊不必相同。五幅圖、可執行 Python 程式、固定種子與獨立驗證資料使讀者能夠分辨幾何定理、數值現象和模型外的推想。

本研究的幽默性來自問題比例與分析工具的落差：日常爭論的是半步傘位，求解時卻要用非線性幾何最佳化與風險泛函。然而方法的嚴謹度不能因題目滑稽而降低。本文不以手繪示意圖代替證明，不以大量模擬代替解析條件，也不以漂亮的結果圖代替不確定性評估。尤其不能將「圓盤」偷換成「人體」，或把固定示例參數寫成香港行人的實測平均身形。讀者須將結論理解為模型的條件命題：如果幾何、風速分布與公平定義符合設定，則計算給出相應的遮蔽分配。

2. 文獻回顧：風驅雨與分配公平之間的缺口

風驅雨不是垂直降水加上一個任意修飾詞；只要雨滴具有水平速度，落到不同高度的位移就會改變遮蔽物的有效投影。Blocken 與 Carmeliet（2004）回顧建築科學中風驅雨的實驗、半經驗與數值建模，指出此類問題關係到建築表面受到的水分負荷。這份綜述對本文的啟示是：只考慮雨量大小，忽略速度方向，就不能完整描述受雨表面的幾何關係。然而其研究對象主要是建築立面，不涉及兩人共用遮蔽物，更沒有提供人形遮蔽圓盤的直接參數。因此，本文只借鑑風向具有幾何後果這個研究背景，而不冒稱既有建築模型已驗證本研究的傘位解。

Blocken 等人（2011）比較多種風驅雨沉積模型，並對照兩個具有實尺寸量測的建築案例。此處的相關性主要是方法論：預測模型之間可能存在差異，實地資料是評估外部有效性的必要元素。本文完全不擁有同類型的行人實測，因此最多聲稱解析模型已在其數學設定下自洽，不能聲稱雨天實驗也已驗證。將合成風速分布明確列為假設，正是避免把建築研究的經驗結論過度轉移到個體暴露問題。

雨滴並不具有單一且普遍不變的終端速度。Gunn 與 Kinzer（1949）測定不同水滴在靜止空氣中的終端下降速度；Beard（1976）進一步討論雨滴尺度、形狀與終端速度所涉及的不同流動機制。基於此物理背景，本文採用固定垂直下降速度，只是為了把幾何遮蔽問題從複雜流體動力學抽離。固定的 3 米／秒是本文生成合成情境的假設值，絕不能表示文獻證實所有雨滴都以此速度下降。另一方面，把水平速度設為常態分布是演示演算法穩健性的方便設計，不代表風場現實上恰好服從獨立常態，也不代表不同雨滴的速度沒有時間相關。

公平性同樣需要引用恰當的學科脈絡。Ogryczak（2000）在位置分配問題中討論不平等衡量及公平效率，顯示「選擇最佳位置」除了總效率，還必須考慮個別受益者的損失分布。這個觀點直接支持本研究同時報告兩名行人的損失，而非僅把兩個數字相加。Das 與 Dennis（1997）說明以不同權重作目標加總，在非凸 Pareto 前緣時可能漏掉有效解，提醒研究者加權和的選擇本身是一種價值取向。本文因而另外求解最大個人暴露比例，不把簡單平均當作理所當然的公平標準。這兩篇文獻支持的是多準則最佳化的學術背景，並非雨傘的實驗結果。

六篇正式來源的 DOI、作者、年份、出版刊物及題名，另由出版商或大學研究紀錄逐筆核實，參見 Reference_Verification_External.md。其中 2004 年文獻的正式題名用 A review of，不要與少數機構目錄中 A review on 的轉錄差異混淆。1997 年期刊原名為 Structural Optimization。本文沒有獲取並逐頁精讀以上六篇完整原文，文獻討論僅以可核實的書目、摘要及範圍為界。特別聲明：不存在任何從上述論文摘錄的「兩人共傘平均濕度」資料表；所有涉及共傘的公式與數字均為本文自建模型的結果。

3. 研究問題、可檢驗命題與概念界定

主要研究問題一是：已知傘面半徑、兩個人體投影圓半徑、中心距和風向，是否存在任何一個傘柄位置，使兩人都得到完全遮蔽？這是一個可用三角不等式解答的幾何可行性問題。若答案是否，接下來就不能空泛地要求「兩人都完全不淋」，而須選定暴露函數。研究問題二是：在風向固定時，求最小化最大個人暴露比例的傘位，是否與最小化兩人暴露總和的傘位一致？由於兩人的半徑不同，直接加總絕對受雨面積與先標準化後加總，還可能產生第三個不同的答案。

研究問題三引入不確定性：風向並不提前知道，在作出單一傘柄配置後，每一個可能的風向都產生兩個暴露值。此時，是應先分別對每人取期望，再選擇期望暴露較大者作為評價；還是應先選出每個天氣情境受影響最大的人，再對極大值取期望？兩者的語義不同。前者較接近多日長期平均不吃虧；後者更重視每一次下雨發生時總有一位處境特別差的人。這並非對某一倫理立場的推銷，而是指出不同決策準則應在數學上明示，避免以「公平」一字掩飾不同目標。

作為待檢驗命題，H1 指當兩人間距超過兩個「可完全被傘覆蓋的傘心區域半徑」之和時，雙方完全遮蔽沒有可行解；其性質為解析定理而非統計假說。H2 指在固定基準風速下，最小化最大個人暴露可以選出雙方暴露相近的位置，而其結果通常不同於總損失最小化；此命題關於指定例子的數值解，並非所有可能幾何的普遍定理。H3 指取極大值與取期望的運算順序會改變目標值，在特定不對稱幾何與風向變異條件下亦可能改變最佳傘位。H3 的不等式部分可以解析證明；其最優位置是否不同，則須根據具體分布與可行區域計算，不能僅從不等式推斷。

本文把「受雨」限定為雨滴從傘面高度沿一條固定方向到達一個水平平面後，是否落在一個水平圓形人體代理區域。這個平面既不是衣物表面、面孔，也不代表面積等於實際人體正面迎雨截面。設第 i 人的圓形區域為 $P_i$，在指定傘柄與雨滴方向下的地面遮蔽區域為 $U$，則未遮蔽比例為 $e_i=1-A(D_i;R,r_i)/(\pi r_i^2)$。它是介於 0 和 1 的無量綱幾何量；當 $e_i=0$ 時表示代理區域全被覆蓋，當 $e_i=1$ 時表示代理區域完全沒有被圓形傘影覆蓋。兩者都不等同現實生活的衣物「全乾」或「全濕」。

4. 幾何假設、坐標系與物理投影

採用二維水平坐標 $(x,y)$；兩人圓心分別為 $p_1=(-d/2,0)$ 和 $p_2=(d/2,0)$，圓形半徑 $r_1,r_2$。雨傘半徑為 $R$，傘柄位置定義為 $h=(h_x,h_y)$，相對兩人中點量測。傘面是一個高度 $H$、水平、完全不透水的理想圓盤。忽略手柄傾斜、傘的拱形、傘骨、周邊滴水、側向濺水、行人姿勢與兩人交換位置。作為行為約束，假設移動傘柄的水平範圍有限，即 $\|h\|_2\le L$，而非允許一人拿傘離開另一人無窮遠。

雨滴相對地面的速度定為 $(v_x,v_y,-v_z)$，其中 $v_z>0$。從傘面高度 $H$ 下降到行人代理平面的時間是 $\tau=H/v_z$；在此期間的水平位移為 $\tau(v_x,v_y)$。因此，如果傘面圓心為 $h$，在代理平面投射的有效遮蔽圓心為

這項轉換不要求解流場，而是在雨滴速度短時間近似不變的前提下，把雨滴軌跡視為直線。若雨滴會加速、風切隨高度變化或撞擊傘緣產生二次水滴，則不再能簡單使用此式。其好處是容易檢查方向：如果水平風使雨滴向正 $x$ 方向移動，傘面截住的雨滴原本會落在傘位更靠正 $x$ 的位置，因此地面遮蔽圓心相對傘柄向正 $x$ 位移。為使遮蔽中心回到兩人中間，傘柄反而應向負 $x$ 移動，這個補償方向將在計算結果中出現。

本文的全部數字來自一組事先宣告的假想示例：$R=0.36\,\mathrm m$、$r_1=0.23\,\mathrm m$、$r_2=0.17\,\mathrm m$、$d=0.48\,\mathrm m$、$H=0.55\,\mathrm m$、$v_z=3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、平均水平速度 $(0.8,0.2)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，傘柄移動上限 $L=0.19\,\mathrm m$。兩個圓形代理的半徑不同，是為了觀察公平目標對個體尺度不對稱的反應，並非對任何性別或年齡的身形假設。兩圓中心距大於半徑之和，故代理圓彼此沒有交疊；這有助於使遮蔽面積的詮釋簡潔，但真實人們可能挨得更近。

圖 1 在同一平面上標出傘影、兩人代理圓與風向位移，是理解後續公式最重要的幾何定義圖。圖中距離以米表示，圓形大小按上述合成參數繪製；不應把圖解讀為人體輪廓示意照片或測得的步行姿勢。

圖 1　幾何配置。 兩個不同大小的代理圓、傘影圓與風向投影；來源：本文自行設定及計算的合成幾何。

5. 兩圓相交面積與完全遮蔽的不可能條件

給定雨滴方向，定義 $D_i=\|s(h,v)-p_i\|_2$ 為傘影圓心與第 i 人代理圓心距離。遮蔽面積就是半徑 $R$ 與 $r_i$、圓心距 $D_i$ 兩個圓盤的交集面積 $A(D_i;R,r_i)$。有三種基本情況：若 $D_i\ge R+r_i$，兩圓互不相交，交集面積為零；若 $D_i\le|R-r_i|$，半徑較小的圓完全落在較大的圓內，交集面積為 $\pi\min(R,r_i)^2$；剩餘的情況為部分交疊，需使用由兩扇形扣除三角形得到的透鏡形面積公式。

為保持每一項的物理意義與版面可讀性，透鏡形交疊面積拆為兩個扇形面積減去三角形面積 $A=A_1+A_2-A_3$，其中

此公式僅用於 $|R-r|<D<R+r$，因為 $D=0$ 時分母不能直接套用，而相切時應使用分段極限。程式以 np.clip 將受有限精度影響的反餘弦輸入限制在 $[-1,1]$，將根號內因舍入造成的微小負值設為零，並依照完整包含、部分交疊、完全分離三情況處理。這些細節不是格式上的裝飾；最佳化會反覆測試相切附近的傘位，若數值函數偶爾回傳 NaN，最佳化結果便沒有可信度。最終未遮蔽比例由 $e_i(h,v)=1-A(D_i;R,r_i)/(\pi r_i^2)$ 算出。

重要的是每人的分母取自身面積，而非取傘面面積。假設某一小型代理圓的絕對未遮蔽面積為 $0.01\,\mathrm{m}^2$，另一較大圓為 $0.02\,\mathrm{m}^2$，不能據此直接斷定小圓對公平問題沒有受損；如果小圓總面積只及大圓一半，兩者未遮蔽比例其實一樣。反過來說，如果我們關心的是假想地面接收水滴的總量，在垂直雨滴通量相同的條件下，則應使用絕對面積而非個人標準化比例。選擇哪一種測量，屬於研究問題的一部分。

本模型可以推導一個毋須任何模擬的可行性定理。若 $R\ge r_1,r_2$，要使第一人完全被傘影包含，傘影中心必須位於以 $p_1$ 為中心、半徑 $R-r_1$ 的圓盤內；第二人亦然。因此，同時完全遮蔽等價於兩個傘影可行圓盤相交。在不設傘柄移動限制的情況下，其必要且充分條件為

證明如下：若某點 $s$ 同時位於兩個可行圓盤，三角不等式給出 $d=\|p_1-p_2\|\le\|p_1-s\|+\|s-p_2\|\le R-r_1+R-r_2$；反之，若兩個可行圓盤的中心距不超過兩半徑之和，它們在平面上有交集，可選其中一點作傘影中心，故兩人皆被完全包含。證畢。額外的柄位半徑限制 $L$ 只能縮小可行集合，不會使原本不可能的雙人完全遮蔽變為可能；因此上述不等式失敗時，即使移動限制放寬也沒有解。

代入示例，右側為 $2(0.36)-0.23-0.17=0.32\,\mathrm m$，而兩人距離 $0.48\,\mathrm m$。因 $0.48>0.32$，兩人完全遮蔽在此幾何設定中不可能。這個結論不依賴風的方向或速度，因為風只會令傘影平移，不會改變單一傘影圓的半徑。若增加傘面半徑、減少兩人距離、或重新設定人體代理圓大小，則必須重新檢查不等式，不能把不可能性當作所有雨傘的普遍定理。

6. 公平函數：同樣暴露、總量最低與極大值最低

把兩人未遮蔽比例記為 $e_1(h,v)$ 與 $e_2(h,v)$，固定風速後最直觀的效率準則是 $J_{\mathrm{sum}}(h)=e_1(h,v)+e_2(h,v)$。它同等重視兩人的比例損失，但不要求兩個比例相等。若目標改為總未遮蔽實際代理面積，則 $J_{\mathrm{area}}(h)=\pi r_1^2e_1(h,v)+\pi r_2^2e_2(h,v)$；由於兩人的面積不同，第二式相當於對較大的代理圓賦予較大權重。即使兩種準則都可描述為「令受雨量最少」，其數學意義也不同；本文的核心公平分析選用第一種無量綱個人損失，以避免大小差異直接變成一票多票。

另一個準則為 $J_{\max}(h)=\max\{e_1(h,v),e_2(h,v)\}$，即極小化最受影響一人的未遮蔽比例。其最優值是 $\min_{\|h\|\le L}J_{\max}(h)$，是一個典型的 minimax 問題。這個準則不保證兩人必然完全相等：若移動範圍有限、其中一人本來已被極佳保護，或幾何處在不可微的相切區域，最優點的兩人暴露可以不同。只有在具備合適連續性及配置自由度的特定情況下，沿著兩人暴露交換優勢的路徑移動，才可能透過中間值產生近似相等的最優位置。因此，我們把「兩人會同樣濕」作為可能的數值結果，而非先驗公平公理。

要比較這些目標，必須保留共同可行域 傘柄偏移距離不超過 0.19 米的圓形區域。如此才能避免以一個準則可以把雨傘移動更遠、另一準則移動受限的失衡設計來誇大目標差異。從多準則幾何看，將每一個可行 $h$ 映射至平面點 $(e_1,e_2)$，可得到暴露的可行集合。若另一個可行位置使兩人暴露皆不增加、其中至少一人嚴格下降，原本位置就是被支配點。未被支配的配置形成 Pareto 邊界；單純的加權和通常只選中其中一部分，而極大值準則偏向關注暴露比例較高者。這個框架也使我們能把公平與效率的衝突表達為可觀察的數字，而非對共傘禮貌作主觀評論。

多數現實社交場景還存在互惠偏好，例如甲可能願意承擔較大暴露，以換取乙更舒適；也可能一人握傘時較不容易把傘柄移近另一人。這些現象可以透過不同權重、效用函數或協商博弈延伸，但本文沒有社會調查資料去識別權重。擅自把 $J_{\max}$ 稱為「人類真正的公平偏好」會混淆規範定義和經驗事實。本文只說：在指定代理暴露和規範目標下，何種配置令目標最小。

7. 不確定性之下，兩個「照顧最濕的人」不相同

現在令水平雨滴速度 $V=(V_x,V_y)$ 為隨機向量，而傘位 $h$ 在看到實際速度之前已經決定。對給定 $h$，兩個未遮蔽比例 $e_1(h,V)$、$e_2(h,V)$ 也成為隨機變數。若每個人擔心的是自己在許多類似雨天的長期平均未遮蔽比例，便可最小化

這裏 MEE 是 maximum expected exposure 的縮寫。先對每一個人的暴露取期望，再選兩人之中期望較高者，是關注長期平均個人境況的準則。它可能令兩人的長期期望相近，但不保證每一次風向實現時皆相近。即使期望恰好都是 0.25，也可能在某些風向下甲暴露 0.05、乙暴露 0.80，而在另一些風向下角色互換；長期平均沒有描述每場雨最受影響者的經驗。

另一個目標則在每次風向實現後，先計算該場景中較大的暴露比例，再對這個最差個人的暴露取期望：

這裏 ESM 指 expected scenario maximum。每場雨中成為「最差一人」的身分可以隨風向交換，故 ESM 看的是每個場景中負擔最重者的平均處境；它不等於固定選出長期較差的一個人。對任何固定 $h$，由於 $\max(X,Y)\ge X$ 與 $\max(X,Y)\ge Y$ 幾乎處處成立，對兩邊取期望即可得到

這個不等式適用於所有可積的隨機暴露量，毋須假設常態分布、幾何對稱或兩人獨立。它也可視作「極大值函數為凸函數」的 Jensen 不等式例子。惟須特別小心：對每個 $h$ 成立的數值不等式，並不證明兩個最佳傘位不同。兩個函數有可能在同一位置同時達到最小，尤其是完全無風向不確定性、或者任一個人幾乎始終是最差者的情況。若要顯示最優位置確實不同，仍必須求解兩個最佳化問題，並在獨立樣本上比較。

極大值與期望不能交換的原因可以用兩種極端情境理解。假設在兩個同等機率的純理論情境下，一個固定傘位分別產生 $(e_1,e_2)=(0,1)$ 與 $(1,0)$。每人的期望都是 0.5，因此 MEE 為 0.5；但每次總有一人完全暴露，ESM 為 1。反過來，若每個情境皆為 $(0.5,0.5)$，兩項準則都等於 0.5。這個例子不是本文隨機數據的結果，而是用來精確闡釋兩個準則的理論反例。它說明即使每個人的平均暴露比例一模一樣，每一次落在「被犧牲」位置的人仍可能非常吃虧。

我們的合成風向設為 $V_x\sim N(0.8,0.55^2)$、$V_y\sim N(0.2,0.35^2)$，二者獨立；單位皆為米／秒。所有風速樣本由 NumPy 的 default_rng 偽隨機數生成，訓練種子為 2026101906，留出驗證種子為 2026101909。這個分布不是從香港天文台或其他氣象資料庫擬合而得，負速度樣本只代表風向可逆轉，不應解讀為雨滴往天空上升，因垂直下降速度仍固定為正的 3 米／秒。模型沒有按照風向重新調整雨滴密度，也沒有隨雨強變動重新加權情境，因此各次風樣本被賦予相同的統計權重。

8. 研究方法：解析核對、最佳化及獨立蒙地卡羅

研究運算分成幾何公式驗證、無風向變異的基準分析、隨機公平最佳化、獨立測試與敏感度檢查五個部分。首先以 analysis.py 求解固定平均風速下的傘位問題，計算兩人圓形遮蔽比例，產生圖 1–3。接著以獨立的 uncertainty_analysis.py 把固定速度擴展成有分布的水平速度；後者本身包含兩圓相交的向量化解析公式，並以垂直切片數值積分作獨立交叉驗證，避免單純重用相同解析函式而使錯誤彼此掩蓋。

獨立積分的概念是，令半徑為 $r$ 的圓心在原點、半徑為 $R$ 的傘影圓心位於 $(D,0)$；對水平坐標 $x$，前者的垂直半弦長為 $\sqrt{\max(0,r^2-x^2)}$，後者為 $\sqrt{\max(0,R^2-(x-D)^2)}$。相交面積可由下式對所有兩圓水平投影重疊的區間積分得到：

此處 $a=\max(-r,D-R)$ 為積分下界，$b=\min(r,D+R)$ 為積分上界。

積分中的 $(z)_+=\max(0,z)$；若積分上界低於下界，面積設為零。因解析交疊公式由圓弧角度推得，而這項驗證使用一維切片面積，兩者具有獨立的計算路徑。程式測試了完全包含、部分交疊、完全分離及接近相切等六組幾何案例。觀察到的最大絕對差約為 $9.40\times10^{-12}\,\mathrm{m}^2$，小於預先設定的 $10^{-7}\,\mathrm{m}^2$ 驗證門檻。這是雙重數值計算的一致性檢驗，不能當作對真實人體遮蔽的外部實驗驗證。

隨機目標採用樣本平均近似（sample-average approximation）。從假想分布生成 $n=900$ 個獨立速度向量 $V^{(k)}$，對每個可行位置 $h$ 計算兩個暴露值，再以有限樣本平均代替未知的分布期望。於是

二者都在半徑 $L=0.19$ 米的閉圓盤上最佳化。實作先以 SciPy 的 differential evolution 在座標包圍盒搜尋，對圓盤外的候選位置加懲罰，再從多個初值以 SLSQP 及明確的圓盤不等式約束作局部精修。這種多起點搜尋比只從原點作一次梯度下降更能降低停留在非理想局部解的風險。然而由於目標包含極大值與圓形相切分段，且樣本數有限，演算法沒有提供所有參數下的全域最佳證書。因而文章一律稱計算到的「數值最優候選」或「最佳化解」，不假定局部演算法已完成形式上的全域唯一性證明。

最佳化與驗證必須分開：若只報告用來挑選傘位的 900 個訓練風速上的最小目標值，便會因為反覆挑選位置而產生樂觀偏差。本文另用種子 2026101909 生成 16,000 個未參與最佳化的合成風速，對兩個已固定的傘位計算個別期望暴露、MEE、ESM 和標準誤。若 $Z_1,\ldots,Z_m$ 是獨立驗證樣本中的單一損失，則樣本平均的估計標準誤為 $s_Z/\sqrt m$；在樣本數大而有限變異的條件下可用 「樣本平均值加減 1.96 倍標準誤」 作常態近似區間。對非平滑的 max(mean) 值，不能忽略兩個期望相互競爭的問題而直接套同一個標準誤，故本文另列兩人的期望值及其各自標準誤，不把最大值差距寫成已完成的形式假說檢定。

最後，為比較兩種決策在同一場合成雨中的損失，本文使用成對驗證：令 $Z_k$ 為兩個固定政策在第 $k$ 個相同風速下的情境最大暴露差，再求 樣本平均值、$s_Z/\sqrt m$ 及常態近似區間。這樣能利用共同亂數降低比較的不必要變異，因為每對結果共享天氣擾動。區間只反映在給定訓練得到的固定政策、給定合成風速模型下，獨立驗證樣本有限所造成的蒙地卡羅不確定性；它沒有包括風速分布選錯、人體幾何選錯或訓練種子變動帶來的不確定性。未經這項區分就把狹窄的區間寫成真實世界的「顯著優勢」，會造成誤導。

9. 固定風向結果：風影平移與傘柄偏移

在示例的平均風向下，水平雨滴從傘面高度下降到代理平面時，預測的水平位移為 $(0.55/3)(0.8,0.2)\approx(0.1467,0.0367)$ 米。因此，即使傘柄握在兩人中點，傘影也會偏向正 $x$、正 $y$，尤其使左側代理圓受到較少覆蓋。固定風向的原始 analysis.py 計算出原點傘柄下兩人的未遮蔽比例約為 $(0.641572,0)$。這並不是左側人「濕度 64%」，而是其抽象占地圓有約 64.2% 面積位於傘影圓外；右側代理圓則恰好在此特殊幾何配置下被完全包含。

從這個結果可見，即使兩個人與傘柄的水平距離相等，雙方未遮蔽面積仍可能高度不平等。造成差異的直接原因是雨滴軌跡的幾何偏移及兩個代理圓的尺寸不同。若把中心配置改為較接近風向逆側，遮蔽影便回到兩人之間。圖 2 顯示風向位移與解的位置如何變化；其分析用途是區分「握傘位於中心」與「遮蔽中心位於中間」兩種不同位置概念。直接以兩人中點當作傘影中心的口語規則，在存在水平風時須經修正。

圖 2　固定風向影響。 風向引致的傘影位移及兩人的未遮蔽比例；來源：本文理論模型及合成參數。

對此固定風向求最小化最大個人未遮蔽比例，得到的數值解為傘柄約 $(-0.16746,-0.03621)$ 米，而雙方暴露比例都約 $0.18504$。此處約 18.5% 的對稱分配是此一參數組合的計算結果，而非每個共傘情況都會出現的固定比例。作為對照，最小化兩人比例損失總和可選出另一偏移位置；其價值判斷取向是允許其中一方多承受少量暴露，只要另一方獲得較大的下降。研究中的不同函數有不同的計量單位和權重，即使兩者都叫做「雨淋最少」也不能直接比較未定義的目標值大小。

圖 3 把公平極大值準則對不同配置或權重的影響視覺化，用來檢查將傘位從一人移向另一人時，個別暴露值如何交換優勢。請留意，這類曲線展示的是兩個圓形交疊面積的函數，沒有收集路人的實際滿意度。圖表中的點也不能當作受試者資料；每一點只代表某組輸入參數下的計算。這個區分對本研究尤其重要，因為純幾何模型可以產生極平滑的線條，但真實衣物因吸水、風、步態與雨量變化不會必然服從相同形狀。

圖 3　公平配置比較。 在固定假想風向下權衡兩位行人未遮蔽比例；來源：本文解析幾何及數值最佳化。

此外，完全遮蔽不可能性與公平可改善是兩件不同的事。因 $0.48>0.32$ 米，兩人不能在同一把設定的傘下同時得到 $e_1=e_2=0$；但這不表示移動雨傘毫無意義。固定風速下將最大個人暴露比例由原點傘柄配置的約 0.642 降至約 0.185，正好說明在有硬性幾何限制的情況下仍存在實質配置選擇。這種結論並不表示真的能令某人少濕百分之幾，因為暴露代理量沒有包含人體立體表面與被雨滴攜帶的實際水量。

10. 隨機風向結果：平均公平與每場公平的落差

在不確定風向下，固定風速得到的最優傘位不再自然保持最優；持續有風向差異會使傘影在代理平面上形成一個隨機位移群。以 900 個訓練樣本求解 MEE，得到傘柄 $h_{\mathrm{MEE}}\approx(-0.163365,-0.035321)$ 米。該訓練集的兩人期望未遮蔽比例皆約 0.259423，故 MEE 的訓練目標約為 0.259423。這個高度接近的期望平均，是最佳化在所見樣本下主動平衡兩個個體的結果，不能視為兩人每次遇到的風向都獲得平均分配。

用相同 900 組訓練風向，若直接最小化 ESM，所選傘位轉為 $h_{\mathrm{ESM}}\approx(-0.153088,-0.035530)$ 米。ESM 訓練目標約為 0.451256；同一配置下，兩人的個別平均未遮蔽比例則分別約為 0.280976、0.235015。這個最優解不強求兩人的平均值一致，而是願意讓左側代理圓的長期平均暴露略高，只要不同風向下的情境最大暴露能夠減少。結果顯示，所謂「公平」不是經過一個神秘的標準化程式就會自動得出的答案，而要從要保障哪種損失開始定義。

驗證集採 16,000 個事先獨立生成、沒有用來選擇配置的速度向量。MEE 配置的兩人驗證期望暴露為 $(0.252825,0.268833)$，兩者各自標準誤約為 $(0.001726,0.002090)$；相應的最大個人期望暴露是 0.268833，而驗證情境最大暴露的期望是 0.458396，其標準誤約 0.001462。可見訓練集中的完美平均平衡沒有在留出資料中逐位重現：這正是有限隨機樣本會產生估計變異、不能只報訓練結果的重要實例。若一篇文章只列 0.259423 這個訓練最小值，便會低估讀者在相同假想分布下重抽風向時可能得到的風險。

ESM 配置在同一批 16,000 個驗證風向上的兩人期望暴露為 $(0.274033,0.244309)$，各自標準誤約 $(0.001770,0.002019)$；驗證 MEE 為 0.274033，驗證 ESM 則為 0.455956，後者標準誤約 0.001435。就個人長期期望的最大值而言，MEE 配置的 0.268833 低於 ESM 配置的 0.274033；但就每場情境最大暴露的平均而言，ESM 配置的 0.455956 小於 MEE 配置的 0.458396。此一方向性符合兩個目標分別在最佳化不同風險函數的設計，但兩個指標的數值尺度不同，不應拿 0.268833 與 0.455956 當作同一量比較政策「優劣」。

因為兩套配置使用完全相同的驗證風向，還可逐場相減以檢查 ESM 配置改善情境最大暴露的程度。以 MEE 配置情境最大暴露減去 ESM 配置情境最大暴露，所得平均差約 0.002441，成對標準誤約 0.000243；在獨立抽樣及常態近似下，95% 蒙地卡羅區間約為 [0.001964,0.002917]。這個差距數值上相對較小，卻足以在指定合成分布及固定兩個已訓練傘位的條件下，區分兩者期望的情境最大暴露。區間並不處理模型參數不確定性，也沒有賦予合成雨況任何對實際香港行人所具備的代表性。

圖 4 展示兩個配置在相同留出天氣樣本下，每次情境的最大未遮蔽比例分布。若只看平均值，0.458 與 0.456 容易被理解為幾乎一樣；把分布放在一起，則可看到不同風向造成的暴露廣度，以及只有部分情境的差異推動平均風險變化。此圖的橫軸仍是無量綱水平投影暴露，並非衣物重量增加的百分比；曲線密度只反映我們隨機產生的風速，真實下雨頻率不能從圖形直接推定。

圖 4　外樣本情境暴露分布。 兩個已訓練傘位在共同 16,000 組合成驗證風向下的情境最大暴露；來源：蒙地卡羅模擬。

最核心的計算發現是目標順序的不同同時影響要量度甚麼與應把傘柄移往何處。若希望每天結算帳目時沒有某一個人長期承擔較大的平均份額，MEE 是合乎此定義的指標；若希望每場雨都盡量避免任何一人嚴重被忽略，ESM 較貼近該規範描述。兩者的距離在示例中約一厘米，表示風險觀點的差異未必導致巨大的空間動作；是否有現實意義仍取決於握傘的可操作精度、身形模型和行人如何移動。本文沒有以如此細微的數值差距支持任何生活建議的精確厘米標準。

11. 敏感度、方向變異與不等式的幾何解讀

為了解決「結果是否只是選定一組風速標準差才會出現」的疑問，額外建立五組風向波動場景，以係數 $\lambda\in\{0,0.5,1,1.5,2\}$ 同時乘以水平速度的兩個標準差，而平均速度、傘面大小、兩人位置與傘柄移動半徑保持不變。每組用新的固定種子抽取 650 個訓練風向，對 MEE 目標重新最佳化，再以 3,500 個獨立風向計算其外樣本 MEE 與 ESM。注意不同 $\lambda$ 的行人傘位都經過重新調整，所以此分析同時包含「自然波動增加」與「知道這個波動程度後重新選擇位置」兩個效果。

表 1　合成風向標準差倍數與公平指標（外樣本）。 為避免目前 PDF 排版器在直欄 Markdown 表格中合併儲存格，五組數字分行列明；每行依次為倍率、MEE、ESM、ESM 減 MEE。

倍率 0.0：MEE＝0.185042；ESM＝0.185042；差距＝0.000000。

倍率 0.5：MEE＝0.210696；ESM＝0.316719；差距＝0.106023。

倍率 1.0：MEE＝0.272273；ESM＝0.453330；差距＝0.181057。

倍率 1.5：MEE＝0.325968；ESM＝0.570356；差距＝0.244388。

倍率 2.0：MEE＝0.407376；ESM＝0.668214；差距＝0.260838。

在完全無波動的 $\lambda=0$ 情況，每個場景的風速相同，故 最大個人期望暴露等於情境最大暴露的期望，兩個準則必然一致，約為基準固定風向的 0.185042。隨著風向分布擴闊，即使允許重新最佳化 MEE，兩個準則的差距仍在這五組示例中逐漸擴大。其直觀原因是，某些雨況下較左側的人暴露較高，另一些雨況則可能是較右側的人暴露較高；把人別先平均會抵銷部分差異，而逐場選最大者則會保留每場最嚴重的個別暴露。這個解釋與第七節的解析不等式一致，但表中的單調性只是這五組合成參數與有限樣本的觀察，不是對所有風速分布的單調性定理。

圖 5 把上表的兩個外樣本目標隨標準差倍率改變的曲線並列。圖中沒有置信帶，是因敏感度實驗的重點在比較經再最佳化的不同參數配置，且每個配置只以一次獨立訓練／驗證種子估計。若要據此對現實中的風速波動量作統計推論，應對每個倍率重複很多次獨立訓練，納入氣象資料誤差、垂直速度與人形幾何參數的不確定性，再繪製跨重複試驗的置信帶。本圖目前只足以支持「在指定合成例子中，波動愈大，兩個風險定義之間的差距也愈大」這個描述性結論。

圖 5　風向波動與風險定義。 不同標準差倍率下重新訓練 MEE 配置，獨立驗證其 MEE 與 ESM；來源：本文合成敏感度模擬。

從幾何上還可以解釋為甚麼兩種最佳位置只差約一厘米，而評價值可能相差約 0.19：兩個目標對同一位置如何評分的定義，遠比決策位置稍微改變所造成的差異大。依照固定某一個人的平均暴露來衡量，每次對手的高暴露情境不一定被加進風險；依照場景最差者衡量，每次局部最不利風向都要算。這種差距並非傘位帶來的額外物理遮蔽，而是先平均或先比較的數學運算順序帶來的風險量測差異。當以兩種目標選出兩個非常接近的傘位時，目標值本身依然可能差很多。因此，必須分開比較同一指標下的政策改善，以及不同指標對同一政策的評分差別。

12. 討論：哪一個人應退讓，以及能否只用一個最優答案

這項研究揭露的第一個反直覺現象，是握傘處在兩人正中央不代表傘影中心在中央。若雨滴朝某方向斜落，傘影會沿其水平速度方向平移，所以為兩人平均提供遮蔽的傘位，可能須往看起來對某一人「偏心」的方向移動。這種外觀看似不公平、結果卻較公平的情況，反映空間介質會使行動位置和受益位置分離；類似結構也出現在道路救援資源位置、無線訊號覆蓋及照明幾何配置。不過類比只限於最佳化的抽象結構，不能把這些領域的經驗係數直接帶入雨傘模型。

第二個現象是完全平均和效率最優未必同義。兩人圓的半徑不同，絕對未遮蔽面積與比例損失的權重不同；而在任何固定配置下，一個人的暴露改善未必抵過另一人的增加。若共傘者的目的是保護較易被雨淋困擾的一方，還可對兩人的暴露比例引入主觀權重 $w_i$；但使用這些權重必須由雙方偏好或外部研究提供，而不能從未測的身形與性別猜出。透過顯式設定不同目標，研究至少清楚指出：任何「公平分配雨傘」的單一數字，背後都已有一項倫理選擇。

第三個現象在於無法由長期平均判斷每一次互動是否公平。MEE 在訓練樣本上能平衡兩個人的平均暴露，仍可能出現各種風向下某一人嚴重未被覆蓋的情境。ESM 關注這類每場景最大暴露，但可能犧牲一些個人長期期望平均的平衡。從日常直覺看，有人重視「每個禮拜大家一樣濕」，有人重視「今天不能讓任何一方特別慘」；兩種態度並無必要互相否定。研究提供的是可檢查的數學語法，讓雙方在討論公平之前先說清楚如何衡量暴露。

必須同時拒絕把微小的合成最優位置差異誇大成實用精密指引。兩人的實際肩部位置會在行走時不停變化，握傘的手不會依照真實風向毫秒級調整，傘面也往往有傾角和弧度。因此 $(-0.1634,-0.0353)$ 米只是相對兩個固定代理圓中點的數學坐標，不是應指示市民把傘向左移動 16.34 厘米的公共安全建議。若給出這種數值很準確的口語指示而不解釋模型假設，便會產生虛假的工程精確性。本文希望保留數值的可重現性，同時限制它的實際物理詮釋。

研究亦有一個方法論上的意義：不必因為題材令人發笑就把結果寫成表面有統計顯著性的娛樂問卷。純理論定理可以完全不依賴受試者；電腦模擬可以清楚承認是在合成參數下驗算數學後果；模擬審稿角色亦應公開註明為作者側品質檢查，不能冒充外部期刊的真人同行審查。此種分層是維持可信度的關鍵：知道一個模型可以做甚麼，和知道它尚未證明甚麼，兩者同樣重要。

13. 限制、內部效度與外部效度

最根本限制是將人體近似為水平圓盤。人的頭部、軀幹和衣袖位於不同高度，兩人可能一高一矮，雨滴到達不同高度時形成的傘影平移量也不同。對真實立體人體而言，遮蔽應按各表面元素的法向、雨滴方向與局部流場計算撞擊通量，並可能受到自己身體阻擋其他部位的影響。簡單地把水平未遮蔽比例轉成濕衣面積會忽略這些物理機制。本文沒有測量衣物材質、織物吸水速度、濕度、溫度、雨滴粒徑分布或心理主觀不適；因此任何關於「哪一方更冷、較不快樂或因此吵架」的因果命題都不屬於研究結果。

第二類限制是雨傘本身被當成完全水平、零厚度、可完全攔截所有雨滴的圓盤。真實傘面多為曲面，傘柄位置與傘面圓心的投影可因傾角而偏移，雨滴亦可被傘緣導向，產生飛濺與滴水。人體走路產生的相對風與局部氣流會改變雨滴軌跡，兩人挪動也意味著雨傘的可行域不是一個固定半徑的圓。要使結果具有工程外部效度，至少需有動態人體模型、傘面幾何量測、不同高度的斜雨投影、行人速度，以及使用傘者可實現的控制動作。

第三類限制是合成風向分布。兩個水平分量獨立常態、垂直速度固定，並不等於真實氣象條件；風速可能具有陣風、時間相依性、空間不均勻與粒徑依賴，並可能與雨強同時改變。對風向波動倍率所做的敏感度檢查，只是在同一分布族內調整標準差，無法涵蓋厚尾分布、方向循環、突變風向或有相關係數的二維風場。真實雨量和道路遮蔽物還會造成空間遮擋，因此圖 4、5 的分布不能被解讀為公共氣象預測。若以真實資料校準模型，應公開觀測來源、時間解析度、排除規則與合法使用條款。

第四類限制是最佳化的數值性質。圓盤交疊面積在相切邊界附近可能使導數不夠平滑，樣本平均也會產生有限樣本雜訊。差分進化加多初值局部修正雖可降低搜索風險，但不足以為所有風向分布提供全域最優證明。即使固定種子可以完全重現所報數值，也不能據此稱其獨立於 SciPy 版本、浮點架構與最佳化容許誤差。加強版研究應對可行傘柄圓盤作自適應網格全域下界、區間運算及收斂檢查；若要估計最優決策本身的不確定性，亦應跨不同訓練樣本種子重複求解，而不能只對一個已固定政策進行 16,000 次驗證。

第五類限制是公平定義的規範性。以最大未遮蔽比例作效用函數，假定暴露比例的每單位增加對兩位行人的損失可在同一尺度比較。現實中，一方可能穿防水外套、另一方拿着不能淋雨的物品；此時公平權重應考慮後果與偏好。就算對每人使用相同標準化比例，亦不一定代表福利公平。本文沒有任何人類實驗數據去估計這些效用權重，所以不對「誰有道德義務讓傘」作價值判決，只提供一個可修改的決策框架。

14. 結論與未來研究方向

以水平圓盤代理兩人、以傘影圓代理遮蔽、以斜雨投影描述風向，便可以在不虛構一位真實受試者的情況下，嚴格回答一系列共傘幾何問題。當 $R\ge r_1,r_2$ 時，無移動限制下同時完全遮蔽的必要充分條件為 $d\le2R-r_1-r_2$；本文合成參數的閾值是 0.32 米，而兩人相距 0.48 米，因此不可能全數遮蔽。固定風速下，公平極小極大傘位可使兩人的抽象未遮蔽比例皆約 0.185，顯示即使完美遮蔽無解，空間配置仍然重要。

風向具不確定性後，研究以兩種不同風險泛函把公平問題表達得更準確。MEE 描述長期個人平均中較差者，ESM 描述每場雨中較差者的平均；後者永不小於前者，但兩者最佳配置可能不同。指定合成例子中，兩準則所選的傘柄位置相差約一厘米，在共同 16,000 組留出風向中，分別產生約 0.45840 和 0.45596 的情境最大暴露期望。跨標準差倍率的示例又顯示，風向波動可擴大兩種風險定義之間的數值差距。研究的可轉移貢獻是幾何條件、風險定義與評估方法，而非給任何城市的行人一份精密到厘米的雨傘操作守則。

後續研究可沿三條互補方向前進。首先，建立不同高度與立體表面法向的受雨模型，加入雨傘實際曲率及傘緣滴水，檢查單一水平投影代理量與更接近物理的水量通量是否有系統性偏差。其次，在正式取得真實風速與雨滴資料、並清楚遵守來源授權後，對分布參數進行估計，用跨日期測試考察對未知雨況的外推可靠度。最後，可設計自願參與、明確告知用途的行人偏好研究，讓參與者比較總面積、平均個人比例與情境最大損失三種分配原則，而不預設人類只認同其中一個標準；此類研究尚未進行，不得提前報告假想參與者結果。

參考文獻（References）

Beard, K. V. (1976). Terminal velocity and shape of cloud and precipitation drops aloft. Journal of the Atmospheric Sciences, 33(5), 851–864. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1976)033%3C0851:TVASOC%3E2.0.CO;2

Blocken, B., & Carmeliet, J. (2004). A review of wind-driven rain research in building science. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 92(13), 1079–1130. https://doi.org/10.1016/j.jweia.2004.06.003

Blocken, B., Abuku, M., Nore, K., Briggen, P. M., Schellen, H. L., Thue, J. V., Roels, S., & Carmeliet, J. (2011). Intercomparison of wind-driven rain deposition models based on two case studies with full-scale measurements. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 99(4), 448–459. https://doi.org/10.1016/j.jweia.2010.11.004

Das, I., & Dennis, J. E. (1997). A closer look at drawbacks of minimizing weighted sums of objectives for Pareto set generation in multicriteria optimization problems. Structural Optimization, 14(1), 63–69. https://doi.org/10.1007/BF01197559

Gunn, R., & Kinzer, G. D. (1949). The terminal velocity of fall for water droplets in stagnant air. Journal of Meteorology, 6(4), 243–248. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1949)006%3C0243:TTVOFF%3E2.0.CO;2

Ogryczak, W. (2000). Inequality measures and equitable approaches to location problems. European Journal of Operational Research, 122(2), 374–391. https://doi.org/10.1016/S0377-2217(99)00240-4

附錄 A：程式、參數與資料血緣

本論文提供 analysis.py（固定風向幾何）、uncertainty_analysis.py（隨機風向雙公平準則）、data/summary.json、data/stochastic_summary.json 以及 figures/ 五張分析圖。所有資料來源均為解析公式或程序生成的合成情境，無外部人體／氣象數據。執行 python3 analysis.py 與 python3 uncertainty_analysis.py 可分別重建確定性與隨機計算；執行後應核對隨機計算的訓練樣本數 900、獨立驗證樣本數 16,000、訓練種子 2026101906、驗證種子 2026101909，以及數值積分核對門檻 $10^{-7}$ 平方米。

圓形交疊採分段解析幾何，隨機暴露矩陣尺寸為 $n\times2$，政策共同使用同一獨立驗證樣本，敏感度倍率為 0、0.5、1、1.5、2，圖 4–5 由後一份程式生成。可見結果受 SciPy 最佳化誤差與隨機模擬有限樣本影響；若在不同平台重新執行，允許最後幾位小數發生微小浮點差異。數值驗證是作者端內部運算檢查，並非外部實驗；本論文尚待四角色模擬內部審閱以及完整排版、字型與頁面圖形檢查。

附錄 B：記號對照

幾何長度（單位：米）：$R$ 表示雨傘水平圓半徑；$r_i$ 表示第 i 人代理圓半徑；$d$ 表示兩人代理圓心距離；$H$ 表示傘面至代理平面高度；$h$ 是相對兩人中點的傘柄位置；$L$ 是柄位可移動半徑。

雨滴及遮蔽：$v_z$ 為定義為正的垂直下降速度（米／秒）；$V_x,V_y$ 是隨機水平速度（米／秒）；$s$ 是代理平面的傘影中心（米）；$D_i$ 是傘影中心至第 i 人中心的距離（米）。

面積及風險：$A(D_i;R,r_i)$ 表示兩圓交疊面積（平方米）；$e_i$ 是個人水平代理圓的未遮蔽比例（無量綱）；$J_{\mathrm{MEE}}$ 是最大個人期望暴露比例（無量綱）；$J_{\mathrm{ESM}}$ 是每場情境最大暴露比例的期望（無量綱）。