香港高中有理代數式等價變形的雙層證書：原始定義域、實根判準與有限域恆等檢驗

摘要

香港高中數學的代數化簡與微積分前置知識涉及有理式變形。「兩個式子化簡後一樣」有至少兩個不同的數學含義：它們在共同可定義的點給出相同數值，以及它們作為具有原始定義域的部分函數完全相同。例如 (x²−1)/(x−1) 與 x+1 在 x≠1 上相等，但前者在 x=1 無定義。本文限於整數係數的一元有理表達式樹，提出保留所有原始除法限制的守衛多項式 G，並推導包含（i）交叉乘積的多項式恆等條件，（ii）使用多項式最大公因式及不同實根數比較定義域的精確判準，以及（iii）有限域隨機代入的單向錯誤上界與零錯收的確定性取點條件。證明在非空實數定義域及原始運算語義下，此兩層足以分類「完全等價」「共同定義域上相等但定義域改變」「代數值不等」。以 18 組人工構造的代數式驗證，三類各有 6 組；全部分類經分離的核查程式覆核。對非零交叉多項式、最高次數 d、係數高度上界 H 和質數 p>max{H,d}，t 次獨立均勻模 p 取點造成錯收的概率不超過 (d/p)^t；取 d+1 個互異點則給出確定性判定。此機率界屬既有多項式恆等檢驗理論的條件化應用；本研究的具體貢獻是將原始定義域保留、精確判準及可解釋錯誤分類組合為可重現的香港高中教學研究框架。本文不推論 AI 批改的公平性或真實學生表現。

Abstract

Algebraic transformations may preserve rational values wherever both expressions are defined while changing their original real domains. This theoretical working paper develops a two-layer verification framework for univariate rational-expression trees with integer constants, targeting secondary algebra and the mathematical prerequisites of Hong Kong's Module 2. A recursively constructed polynomial guard records all original division restrictions. A cross-multiplied polynomial checks rational identity, while equality of real zero sets of the guards is decided exactly by the greatest common divisor and distinct-real-root counts. We prove a three-way classification of full equivalence, domain-only change, and algebraic value error. For a nonzero cross difference of degree d, an explicit coefficient-height bound H, and prime p>max(H,d), t independent uniform evaluations have false-acceptance probability at most (d/p)^t; d+1 distinct evaluations yield a deterministic identity certificate. Eighteen researcher-constructed examples are classified as six full equivalences, six domain changes, and six value errors, with a separate computational audit. Polynomial identity testing, computer-assisted mathematical assessment, and real-root-counting methods are established prior art. The integration is proposed as an auditable analytical framework; neither educational efficacy nor global priority of the model has been empirically established.

中文關鍵詞： 香港數學教育；有理代數式；數學等價；定義域；多項式恆等測試；實根計數；電腦輔助評核。

Keywords: Hong Kong mathematics education; rational expressions; algebraic equivalence; domain of definition; polynomial identity testing; real-root counting; computer-assisted assessment.

1. 引言

1.1 一個可被精確表述的判斷問題

考慮學生把 (x²−1)/(x−1) 寫成 x+1。若題目要求在 x≠1 上化簡，這是一個正確的恆等變形；若判準要求前後兩式保持原式的全部實數定義域，原式不能在 x=1 求值，結果卻可以，故兩個部分函數不同。只檢查數值相同，會漏掉這個差異；但一律把消去公因子判為「錯誤」又會忽略合法的帶條件化簡。這是數學語義和評核規則之間可以明確分離的問題。本文提出研究型分類框架，由教師選擇判準，而不自行宣稱香港公開試已採用某一種嚴格部分函數評價。

第二個問題是單靠有限數值代入無法證成一般恆等。例如 x²−1 與 0 在 x=−1 和 x=1 都相同，但在其他大部分位置不相同。浮點代入還可能受到近似、極點及消去誤差的影響。對於自動出題系統、步驟回饋或數學教師檢視答案，需要明確區分：發現一個反例、以高概率排除錯誤，以及給出一般性證明，是三個不同證據層次。

1.2 香港教育背景與研究邊界

香港教育局的《數學教育學習領域課程指引》（2017）及高中數學補充文件設有必修與延伸部分；2026 年香港考試及評核局評核大綱列明延伸部分單元二（代數與微積分）。高中有理式及方程操作是處理函數、代數運算和進階微積分的基礎。這些官方文件用以界定教育應用場景，並非「電腦核驗可以取代評分者」的授權依據；本文未抽樣任何香港考卷、學生或教師。

與 HKME-001 研究評分步驟的位置敏感度、HKME-002 研究有限時長內的技能覆蓋題組配置不同，本文的目標對象是某一步代數變形本身的邏輯有效性。三篇可作同一研究系列，但各自的定義、證明與驗證任務不同。

1.3 研究問題及貢獻界線

研究問題 RQ1：如何從未化簡的語法樹保留每一次除法所施加的實數定義限制？RQ2：在不數值近似求根的前提下，是否可以有限次精確代數操作判斷兩式原始定義域相同？RQ3：對共同定義域上的代數恆等，隨機代入需要哪些可核查條件才有概率錯收界？RQ4：是否能以簡單且獨立可覆核的例子區分三類語義結果？

本文嚴格證明守衛不變量、實根判準、分類定理、係數高度條件下的概率界及確定性格點證書，並提供計算示例。不主張原創：Schwartz–Zippel 多項式恆等界、Sturm 實根計數、最大公因式、CAS 等價測試及電腦輔助數學評核的基本思想。本文可能具有研究價值的是一個清楚限制輸入語法、可核對條件、能分辨定義域錯誤的整體框架；是否已存在完全等價的框架仍須進一步排查。

2. 文獻綜述及與既有方法的區別

2.1 多項式恆等及代入測試

Schwartz（1980）在 Journal of the ACM 發表多項式恆等的快速概率驗證算法；Zippel（1979）提出稀疏多項式的概率算法。對域上的非零 d 次多項式，從 p 元素域均勻取值，最多 d 個點使該多項式為零。這是本文錯收概率界的直接數學先例，不能僅以把域取為模質數就宣稱新理論。一般多變量版本已有更廣泛結果；本文只用於可確切計算的一元情況。

依照精確係數與取點條件，有限域檢驗有兩種不同用途。若選擇不同整數多項式可能在模 p 下完全重合，抽檢會喪失區分能力，因此必須控制係數高度或使用多模數重建等額外條件。本文選用前者，並提供一個小質數反例，展示不加約束將得出完全錯誤的保證。

2.2 電腦輔助數學評核及等價性

Sangwin（2013）的專著 Computer Aided Assessment of Mathematics 系統討論由電腦代數系統檢查學生提供的數學表達式；其 STACK 系統案例展示多種答案條件。Sangwin 與 Köcher（2016）研究數學試題自動評核，明確區分結果的可自動判斷性和能否證明採用適當方法。STACK 官方文件的 Equivalence answer tests 也說明「代數上相等」「已展開」「已合併同類項」等要求彼此不同。尤其不能忽略的是：STACK 的 Equivalence input assessment 已明確提及以 natural_domain(ex) 追蹤原式自然定義域，並指出其現有等價推理實作容許沒有註明的定義域擴張。因此，追蹤代數式定義域及發現消去限制的問題，明確不是本文首次提出。

故本文的三類結果是對既有領域追蹤及 CAS 等價概念作限制模型下的形式化整合：給出原始語法守衛的明確遞迴構造、在實數域上以 gcd 和不同實根數判域、再與帶條件的有限域恆等證書組合。尚未比較 STACK 程式內部對全部相關輸入的實際輸出或性能，不可推論本文的守衛算法優於 STACK，更不能聲稱是唯一合理的標準。本文不建立真實自動閱卷系統，也不評估書寫形式、題目指定方法、部分給分或語言表達是否合格。能通過雙層證書只回答這一步的函數語義，不回答全部評核問題。

2.3 實代數、定義域及香港課程

Basu、Pollack 與 Roy（2006）的 Algorithms in Real Algebraic Geometry 討論實根計數及半代數集合等標準算法背景。實數上兩個多項式的零點集合是否一致，可轉化成最大公因式與實根數計數。這一精確判準使用現成的數學理論，本文是給出其在保存原始語法定義域上的導出與正確性證明。香港教育局與考評局的課程及評核文件提供背景，但並不能支撐模型對本港考試成績的統計推論。

2.4 文獻比較的限定結論

表 1 區分公開先例和本篇可檢查的組合性推導。公開資料的部分章節只可閱讀摘要、書目或開發文件，沒有宣稱對全部全文、學位論文、中文資料庫作系統性查找。

表 1　先行研究與本篇數學任務的比較（資料來源：所列文獻及本研究定義）

3. 理論框架：有理表達式樹與原始語義

3.1 符號和假設

以 x 表示實變數，ℤ[x] 為整數係數一元多項式環，ℚ(x) 為有理函數域。表達式 E 由整數常數、變數 x、二元 +、−、×、÷ 以有限語法樹建立。程式為非負整數次方提供重複乘法簡寫，不包含開方、對數、三角函數、條件分段函數或符號不等式。所有子樹對應的除數均假設在 ℚ(x) 中並非恆等為零；整個表達式的實數定義域非空。

表達式與多項式的代數化簡需分開。對每個語法樹建立三元組 T(E)=(A_E,B_E,G_E)，其中 A_E, B_E, G_E ∈ ℤ[x]，B_E 非零，G_E 非零；在原式定義域上 E(x)=A_E(x)/B_E(x)。守衛 G_E 保留所有原始除法限制，不能在構造時約去可能為零的因子。Z_ℝ(F):={a∈ℝ:F(a)=0} 表示實零點集合，ρ(F)=|Z_ℝ(F)| 表示非零一元多項式的不同實根個數；常數非零時 ρ=0。

定義 D(E)={a∈ℝ: E 按照語法樹的每一步原始運算均有定義 }。本文使用兩種等價：共同域值等價表示在 D(E)∩D(F) 上數值相同；完全等價則另外要求 D(E)=D(F)。一元非零多項式只有有限個實根，故兩個允許的非空定義域相交後仍包含無限多個實數。

3.2 原始定義域的遞迴編碼

對整數常數 c 設 T(c)=(c,1,1)，對變數設 T(x)=(x,1,1)。假設 T(E)=(A,B,G) 及 T(F)=(C,D,H)，四則運算依表 2 產生新三元組，不做約分。

表 2　表達式樹的整數多項式更新規則（來源：本文定義）

除法時 C(x)≠0 保證 F 的值非零。這與要求其未約分分母 D(x)≠0 不同；後者已由 H(x)≠0 保證。因而守衛增加因子 C，不是簡單增加 D。對 E=(1/x)/(1/x)，原始定義域是 ℝ\{0}；即使最後有理函數恆等於 1，守衛仍含 x，確保丟失定義點的問題可辨認。

3.3 引理 1：守衛不變量

引理 1（Syntax-guard invariant）。 對上述每個容許的表達式 E，B_E 與 G_E 為非零整數多項式，且

此外，若 G_E(a)≠0，則必有 B_E(a)≠0。

證明。 對語法樹高度作歸納。整數和變數的值在所有實數上存在，基本情況成立。若 E、F 兩子樹符合歸納假設，三種非除法運算恰在兩子樹皆定義時可算；守衛 GH 的非零集合即其交集。兩個分母在此交集均非零，代數等式按四則運算成立。若為 E÷F，還需 F(a)≠0。由歸納假設，當 H(a)≠0 時，F(a)=C(a)/D(a) 且 D(a)≠0，故 F(a)≠0 當且僅當 C(a)≠0。因此原式定義域恰為 G(a)H(a)C(a)≠0；在此集合上 B(a)C(a)≠0 且 E(a)/F(a)=A(a)D(a)/(B(a)C(a))。假設除數作為有理函數不恆為零，且輸入域非空，確保必要多項式不是零多項式，歸納完成。□

圖 1　雙層檢核的邏輯流程。 圖中的三類結論均指形式語義，而非實際考試分數；資料來源：本文的確定性模型。

3.4 引理 2：共同定義域的恆等條件

引理 2。 設 T(E)=(A,B,G)、T(F)=(C,D,H)，令交叉差 N=AD−CB。則

證明。 引理 1 保證共同定義域上的 B(a)D(a)≠0，因此兩式相等當且僅當 N(a)=0。若 N≡0，即處處相等；反之，D(E)∩D(F) 是從 ℝ 刪去兩個非零多項式的有限個零點，故是無限集合。非零一元多項式最多有其次數那麼多個不同實根，所以在無限集合為零迫使 N≡0。□

此引理不適用於把「只在某一指定有限測試集相等」直接推廣為恆等，亦未解決定義域是否一致。若課程問題只要求 x≠1 條件下化簡，引理 2 已是其相等部分的適切語義；是否必須註明額外定義域，是題目層面的規範性選擇。

4. 研究方法及可重現計算設計

本研究採取演繹數學證明加小型確定性例子核對。首先由語法樹抽取 A,B,G，再以最大公因式及不同實根計數求原始實域是否一致；另計算交叉差 N 的精確整數多項式係數、總次數及結構性係數上界。最後透過不作浮點捨入的模質數運算，驗算有限域不同根數，與理論概率上界比較。

主程式 code/analyse.py 使用 Python 3、SymPy 及 Matplotlib；所有例子都直接由 E 表達式樹組成，不輸入真實學生作答。主程式生成 results.json、三幅 PNG；第二程式 code/independent_audit.py 不匯入主程式，按另外手動編定的案例預期答案比對 18 個分類，使用另外獨立寫出的多項式表達式檢查實根數、重根計數及四個質數下的模根個數。這種獨立核對只是有限實作一致性，並非相同算法不存在共同盲點的保證，更不取代一般定理的數學證明。

如需在真實課室使用，應另行完成語法輸入容錯、教師評分規則訪談、真實題目標註、盲法雙評分及倫理審查。本文沒有生成問卷、抽樣學生或模擬真實成績分佈。所有候選題評分見 ../Research_Cycle_003.md，引用核對與閱讀限制見 Literature_Search_Log.md。

5. 數學推導、證明及邊界

5.1 定理 1：最大公因式的原始定義域判準

設 G,H∈ℤ[x] 均為非零多項式，令 Q=gcd(G,H)，即在 ℚ[x] 上取一個非零最大公因式，忽略非零常數倍。設 ρ(P) 是非零多項式的不同實根數目，可由平方自由化後的 Sturm 鏈或其他精確實代數算法求得。

定理 1（Real-domain coincidence criterion）。

證明。 在特徵零域 ℚ，a 為 G 與 H 的共同實根當且僅當 a 為 Q 的實根，故 Z_ℝ(Q)=Z_ℝ(G)∩Z_ℝ(H)。因每個集合有限，Z_ℝ(G)=Z_ℝ(Q) 當且僅當其基數相同，即 ρ(G)=ρ(Q)；同理 Z_ℝ(H)=Z_ℝ(Q) 當且僅當 ρ(H)=ρ(Q)。兩個零點集合一致，當且僅當兩者皆等於交集；取補集即得域相同。□

注釋 1。 此定理無需列出每個實根的閉合根式，只需精確計算根數。重根只計一次；例如 G=x² 與 H=x 的不同實根數均為 1，Q=x，三個根數相同，正確判定兩者在實數上都只排除 x=0。

注釋 2。 非零實根因子的差異，未必改變實數定義域：G=x²+1 與 H=1 皆沒有實根，兩者域均為整個 ℝ。反過來，不應僅比較多項式次數或它們是否成比例；兩個守衛可能次數不同卻排除相同的實根。

反例 1（忽略實數域的誤判）。 x²+1 在實數上沒有零點，但在某些有限域可有零點。以模質數的根集合直接代替實數根集合，並不能推得實數域相同或不同；定理 1 的 ρ 必須是在實數上作精確判定。此處也說明隨機模 p 恆等檢驗不能兼做實數定義域核驗。

5.2 定理 2：雙層分類的必要充分條件

對允許的表達式 E,F，令 N=A_ED_F−A_FB_E；令 Q=gcd(G_E,G_F)。定義下列互斥、窮盡的三類：A 類是完全等價（兩個部分函數有相同域和值）；B 類是共同域值等價但原始域不同；C 類是在共同域上存在某點兩者的值不同。

定理 2（Three-way semantic decision）。

證明。 引理 2 說明共同域上處處值相同當且僅當 N≡0。在此前提下，由引理 1 及定理 1，兩者域相同當且僅當三個實根數一致，因此 A、B 類的等價敘述成立。若 N≢0，引理 2 的逆否命題保證兩者不可能在整個共同域上值相同，故有至少一個共同可定義點使值不同，屬 C 類。三種情況由 N 是否零及三個根數是否一致分割全部模型輸入，互斥且無漏。□

評核語義的提醒。 定理 2 是數學分類，不是教育評分政策。若老師要求「化簡並保留限制」，B 類需提示補上定義域；若問題明示「在 x≠1 上」求表示，B 類可能合題意；C 類則是共同域上的實際數值錯誤。除題目限制另有指明，不能由 B 類自動推斷學生的數學知識不足，也不能由 A 類自動給滿分（例如未按指定方法、未寫推導）。

5.3 係數高度、模質數混淆與可檢查前提

為簡化說明，設兩式的分子、分母整數多項式分別為 A,B、C,D，交叉差 N=AD−CB。對整數多項式 P=Σ_j p_jx^j 定義係數絕對值和 ||P||₁=Σ_j|p_j|；由卷積的不等式 ||PQ||₁≤||P||₁||Q||₁，

命題 1（Coefficient survival）。 若 N≢0 且質數 p>H，則 N mod p 在 𝔽_p[x] 中不會成為零多項式。

證明。 取 N 任一非零整數係數 n_j，由式（5）得 0<|n_j|≤H<p，故 p 不整除 n_j，其在 𝔽_p 中的係數非零。於是 N mod p 非零。□

取 p>H 是簡單且可核查的充分條件，絕非最小所需質數。對很大的符號式，H 可能極度保守；亦可以使用多質數或其他精確算法替代，但本文沒有為該延伸作性能保證。

反例 2（質數太小導致永久錯收）。 設 E=2x、F=0。交叉差 N=2x 並非零多項式，但若只用模 2 代入，則全部有限域點都給 N≡0 mod 2。不論抽多少次，錯收概率都等於 1；此時 (d/p)^t=(1/2)^t 完全不成立，原因是欠缺 N mod p≢0 的前提。系統若不檢查係數是否在模數下全部消失，便不能引用所謂「多抽幾次自然可靠」的論點。

5.4 定理 3：隨機有限域代入的單向錯收界

對一個已知 N≢0、d=deg N≥0 的比較，選整數質數 p>max{H,d}，從 𝔽_p 獨立、均勻、有放回抽取 a₁,…,a_t，接受的快速條件是全部 N(a_j)≡0 (mod p)。這項快速條件只檢查代數等價層；定義域層仍須依定理 1 精確計算。

定理 3（One-sided modular error）。 若 N≢0 且條件如上，則

若 N≡0，每一次代入均必通過；所以此為「可能錯收、不會錯拒真正的多項式恆等」的單向風險，而不是兩類對稱分類錯誤。

證明。 命題 1 保證 N mod p 非零，其在 𝔽_p[x] 的次數不超過 d。域上一個非零 d 次多項式最多有 d 個不同根，故每次均勻代入使其為零的概率不超過 d/p。因各取點獨立且有放回，全部通過的概率是單次概率的 t 次方，得到式（6）。若 d=0 且 N 非零，沒有根，故錯收概率恰為零。□

反例 3（非獨立取點）。 以 N=x²−1、p=263 為例，假若每次都重用第一次的相同點，兩次接受概率仍為 2/263，而非 (2/263)²。如果抽樣策略相關，不能擅用乘冪上界；但若不放回、抽 t≤p 個互異點，則實際全為根的概率最多為 (d)_t/(p)_t（當 t>d 時為零）。

圖 2　固定質數 p=257 下不同 d 的數學錯收上界與抽點次數。 各線為公式 (d/257)^t，不是經驗統計或香港學生模型；資料來源：定理 3 計算。

5.5 定理 4：零錯收的確定性格點判定

隨機測試通過不構成絕對的代數恆等證明。若可以接受 d+1 次模計算，則可得到更強的結論。

定理 4（Deterministic identity grid）。 已知 N=AD−CB∈ℤ[x] 次數不超過 d（若 N=0 視為任意上界可用），且 H 滿足式（5）。若質數 p>max{H,d}，則對任意 d+1 個兩兩不同的模 p 點 a₀,…,a_d，

證明。 左推右由多項式恆等立即成立。反過來，若 N≢0，命題 1 得 N mod p 非零且次數不超過 d；但該多項式在域中有 d+1 個不同根，與域上非零多項式的根數上限矛盾。故只能 N≡0。□

算法上的實務含義。 在有可證 d、H 的情況下，d+1 點提供確定性恆等判定；之後加上精確實域比較可獲定理 2 的形式數學證書。若沒有可核查的 d 和 H，即使列出很多隨機點也不能把結果寫成定理 4 意義上的證明。原式定義域內的極點不會令模測試失效，因實際計算的是無除法的交叉多項式 N，而非直接求兩個有理分數的值。

5.6 多步推導的錯誤風險累積

設某份人工建立的算式推導共有 m 個相鄰步驟，對第 i 步的非恆等交叉差採用 p_i,d_i,t_i；若每步都符合定理 3 的前提，則由並集界，可得任一實際非恆等步驟被模測試錯收的概率不超過

這裏 I_err 只包含實際為非恆等的步驟。並集界不需要不同步驟之間互相獨立，但每一步內的 t_i 次取點需符合定理 3 的獨立性，才能使用其乘冪上界。若採定理 4 的確定性判定，則在精確運算前提下上述錯收項均為 0。注意此模型沒有計入誤辨手寫符號、題目要求的教學方法及語法解析錯誤，不能把式（8）理解為真實 AI 批改總錯誤率。

5.7 複雜度與不可處理的輸入

在一元整數多項式表示下，最大公因式、平方自由化與實根計數有已知精確算法；但表達式樹的逐層分子分母和守衛多項式在未簡化情況下，可能產生很高的次數及大整數係數。運算成本依表達式的位元長度、次數、係數高度及所選實根算法而異；本文沒有聲稱整體演算法對輸入語法樹長度必為低次多項式時間。若以浮點數近似判定實根，定理 1 的「精確」保證即不適用。

此框架限於整數常數建構的一元有理式；有理數常數可先通分至整數多項式，但需證明守衛在縮放下保留零集。多元有理式的實零集一般不再是有限個實數點，不能直接套用「不同實根數」判準；涉及平方根、絕對值、對數、複數分支、除法以外的局部函數及不等式時，亦需另建定義域語義。特別是負整數冪在程式中尚未作為原子操作實作，必須顯式寫成 1/(...)；所有等式若只在有限個測試點成立，仍不足以證明完整實數域上的恆等。

6. 研究結果：十八組確定性示例

6.1 三種結果與代表案例

主程式完整計算 18 組研究者構造的有理式，得到 6 組 A 類（完全等價）、6 組 B 類（只改變域）、6 組 C 類（共同域上數值不等）。這組例子刻意均衡設計，不代表現實中三類錯誤的出現頻率均為三分之一。表 3 選取重點案例；完整 18 組的每個 G 根數、N 次數、模質數及模根個數均留於 results.json。

表 3　有理式的三類語義判定（來源：本文人工構造、精確符號計算）

圖 3　18 組研究者構造例子的三類結果分佈。 本圖展示預先設定案例的可驗證分類結果，不能用於估計學生答題正確率、錯誤率或人口分佈；資料來源：results.json。

6.2 模 263 下的完全枚舉

選用主程式產出的例子 C09，其 N=x²−1、d=2，p=263。由於 263 為質數且大於公式（5）的高度上界及次數，命題 1 的前提成立。模 263 下恰有 2 個根 1、262，故一個均勻取點恰有概率 2/263≈0.0076046 錯收；兩個獨立取點的確切概率是 4/69,169≈0.0000578294。該例在理論上達到定理 3 的上界。若用 d+1=3 個互異取點，定理 4 保證沒有一個非零二次多項式可在全部點通過。

另一例 C17，其 N=x³−x=x(x−1)(x+1)，在模 263 下恰有 3 個不同根 0,1,262，故兩次獨立取點均恰落根上的概率為 9/69,169≈0.000130116；四個互異取點足以作確定性恆等判定。兩例都顯示隨機與確定性檢驗的證據層級差異：樣本少時只是誤判概率控制；達到次數加一的互異樣本數，才有一般性證明。

注意 C02 的 N≡0，不論抽多少點都會通過代數恆等層，但定理 1 會從 G_E=x−1 與 G_F=1 的不同實根數檢出原始定義域差異。故只增加概率抽檢次數，無法補救語義中的「消去限制」缺陷。C05 則提供反向案例：G_E=x²+1 與 G_F=1 雖然多項式形式不同，兩者沒有實根，應判為 A 類。守衛多項式相等既不必要也不充分；應比較其實數零點集合。

6.3 獨立核查範圍

獨立程式不用主程式的表達式編譯函數，按手寫的分類預期查核 18 組輸出，並以另外列出的整式驗證根數：x−1 的根數為 1，x²−1 為 2，x²+1 為 0，x² 的不同實根數為 1。又對質數 101、263、509、1009 全枚舉有限域點：線性 x−1 恰有一根、二次 x²−1 恰有兩根、三次 x³−x 恰有三根。所有預期檢查通過，見 independent_audit.json。

這些算例只能確認選定例子的分類、實數根數及有限域根數吻合。定理 1–4 對任意允許輸入的有效性依靠第 3–5 節的一般證明，絕不能用 18 組案例的成功率反過來推論所有語法輸入均已測試或無程式錯誤。

7. 討論：香港高中代數等價的三種教育情境

7.1 將不同數學主張分開標示

在練習講解中，直接寫「不可以把 (x²−1)/(x−1) 化成 x+1」並不準確，因為原式在共同域上的確等於後式；更嚴謹的回饋是：「化簡後的值在 x≠1 時正確；原式的條件 x≠1 需保留」。這類回饋可由 B 類結果直接產生，不需要推斷學生的錯誤原因。若題目明訂只檢查值等價及特定有效範圍，則同一變形也可能依題意被接受。這說明教師先行聲明核驗語義比僅獲得軟件的「true/false」更重要。

在處理例如 1/(x²+1) 等沒有實數極點的有理式時，若系統僅憑「出現除號」一律要求排除某些實數，也會給出不合理的警示。實根判準處理的正是零點是否在實數域存在，而不是從字面上看到分母就假設有禁值。對學生而言，這有機會成為理解函數定義域和有理式化簡的重要例子；但能否改善學習，需要有對照的教育實驗，本文未測試。

7.2 與微積分概念的連繫

原式與約簡式的定義域差異，在微積分中也具有具體意義。例如 f(x)=(x²−1)/(x−1) 於 x=1 沒有函數值，但其極限 lim_{x→1}f(x)=2 存在。極限的存在、可去間斷點的補定義與「原函數在該點有定義」是不同命題。雙層框架只驗證有理式的函數值和原始定義域，並未自動證明極限、連續性、可微性或積分結果。若未來要擴展至 M2 微積分步驟，須增加極限及連續性語義，不能直接把 B 類都當作微積分錯誤。

7.3 三元輸出與自動回饋設計

對資訊系統而言，數學上「數值不一致」的 C 類可以附帶一個確實在共同域內的代入反例，以幫助教師核查。若由模質數發現 N(a)≢0，該點是有限域上的代數反例，未必就是合法的實數代入，因為 a 可能恰好令原式某個分母為零；要呈現人能理解的實數反例，必須另選保證位於共同域內的有理數並以精確運算檢查。本文的程式目前只輸出符號證據與模根個數，並未聲稱實作對學生的自然語言回饋或實數反例生成。

對 B 類，回饋可指出兩式的原始定義域集合不同，但若要精確列出所有排除點，還須從非共同實根中構造明確代數數的表示式。根數比較本身只負責決定是否相同；它不自動列出差異點。若教學介面需要解釋，可用根隔離區間或可符號表示的根作補充，但此功能不屬本文程式的交付範圍。

對 A 類，亦不應把數學等價當作符合所有寫作規範。Sangwin 與 Köcher（2016）已表明自動核驗數學結果與核驗指定推理方法是兩個不同問題；例如正確的多項式展開如未合併同類項，仍可能未符合題目要求的標準式。完整自動評核須把本研究形式核驗、題型標準、過程證據及人工審核整合，並經公平性及效度研究。

7.4 誤差預算的條件式延伸

在需核查很多算式且計算量有限的情境，式（8）可作形式化的抽點資源預算。例如對每個步驟設定個別容許錯收上界 δ_i，一個充要於所用保守上界的抽點設計是選 t_i 令 (d_i/p_i)^{t_i}≤δ_i，而令總和 Σδ_i≤δ。當 0<d_i<p_i 時，可取

這只是由定理 3 的不等式移項而來，不是已證最優的資源分配方法；它亦不回答如何識別真正的非恆等步驟。若教師需要形式上零錯收的代數證明，應優先採定理 4 或精確符號化簡，而非單靠非常小的 δ 代替數學證明。類似的精度選擇值得研究，但前提始終是原式屬於本文限制的表達式類別。

8. 限制、效度威脅與未解問題

資料與推論限制。 18 組全部由研究者為呈現邊界情況而設計，其數目不對應任何香港公開試樣本，沒有能力分佈、樣本誤差、p 值、教學效果量或師生訪談。因此不能報稱香港學生有三分之一會犯定義域錯誤，也不能認定三元提示相較普通批改提高成績。香港課程和考評文件只提供適用背景，不是模型有效性的實證。

數學範圍限制。 本文禁止除零恆等的子樹與整個域為空的表達式；如果容許 1/(x−x) 這類在所有實數都無定義的輸入，則引理 2 使用的共同域無限集合證明需要修訂。即使在合法輸入內，若以方程式「解集等價」代替函數「取值等價」，交叉差的條件也不直接相同。√(x²) 和 x 在複數及實數上的分支語義不同，超出本篇範圍。

實作與演算法限制。 對很深的巢狀表達式，無約分守衛的次數和係數可能急速膨脹；即使符號判定有一般終止性，也沒有由本文推得實際部署的速度或記憶體上界。SymPy 精確根數算法的正確性屬軟件依賴；本研究提供定理證明、例子交叉核對，而沒有形式驗證 SymPy 原始程式。解析手寫答案、辨別乘號與變數、OCR 誤讀及用戶輸入安全，均尚未實作。

既有文獻與新穎性限制。 多項式根數上界、實根計數、CAS 評核與 STACK 等價推理都有先例。本研究只可暫稱「在香港高中代數例子中的可稽核雙層整合框架」，尚未完成包括中文學位論文、所有自動證明／教育科技會議及付費全文在內的系統檢索。若後續發現同型算法，應如實下修新穎性敘述，而不能以案例命名及框架命名自稱先發明。

研究倫理與公平性限制。 若將此類工具帶入真實課室，應確認錄入數據範圍、是否有學生個人資料、教師如何處理 B 類答案、學習需要差異及錯誤回饋機制；正式研究須依機構要求完成倫理審查與取得所需同意。本文沒有收集個人資料，也未建立一個實際運作的閱卷服務。

9. 結論

本文明確區分有理式兩種常被混用的等價意義：相同共同域上的函數值，及作為原始定義域相同的部分函數。對非空實數定義域的一元整數係數有理表達式樹，構造不用約分的守衛三元組，證明其非零集合恰為原式定義域；以交叉多項式恆等決定值等價；以最大公因式的不同實根數決定域等價；故可精確分出完全等價、只變更定義域與代數值錯誤三類。

在有限域抽檢方面，本文列出係數高度與質數選擇的必要核查前提，導出條件式單向錯收界 (d/p)^t，並證明 d+1 個互異點可以在適當條件下轉為確定性身份證書。18 組人工例子的全部分類及四組質數下的根數檢查吻合；但這些仍只是理論與小規模可重現核驗。所用多項式概率界和實代數算法均為既有數學；本篇主要價值是對香港高中有理式變形提供可證明、可解釋、明確限定的判定框架。下一階段宜在教育研究倫理及教師 rubric 先行確定的前提下，檢驗真實題目如何區分「保留限制」與「僅在指定區間化簡」，再考慮多變量、根式及教學回饋的擴展。

參考文獻

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