香港高中 M1 統計延伸：固定總分與異質個別區間下樣本方差的尖銳雙側界、取到證書及複雜度分界

摘要

香港高中數學延伸部分單元一涵蓋樣本方差與統計推斷。然而，當逐筆觀測值只知屬於各自不同的閉區間，同時另有可靠的總分或總和時，通常的單一方差計算未能反映全部可行資料。本文研究實數觀測模型 $a_i\le x_i\le b_i$ 、 $\sum_i x_i=S$ ，求可實現的樣本方差完整範圍。本文從凸投影推導唯一的截斷水位最小化向量，處理退化區間及水位不唯一；從端點擾動證明所有最大化向量均是至多一個坐標離開端點的頂點，建立有限精確上界算法及取到證書。再以 PARTITION 歸約指出即使各區間關於零對稱且固定總和為零，上界門檻判定在二進制整數編碼下仍屬 NP-hard。方差的全部中間值均由可行域的連通性取到。320 組固定種子人造有理數區間以兩種結構獨立的算法核對，110 組人造整數權重檢查歸約的充要關係，均通過。與 Ferson 等（2002）的無固定總和區間方差、Ellis（2026）的共同區間及固定平均數結果相比，本文價值在異質區間、固定總和下整合可供香港資優數學探索的具體證書，而非宣稱水位法、凸頂點性或複雜度結論為世界首創。本文並不報告教學成效。

Abstract

The Hong Kong senior secondary Mathematics Extended Part Module 1 includes sample variance and statistical inference. This theoretical working paper considers individually bounded real-valued observations subject to a known aggregate sum. We characterize their exact attainable sample-variance range. A clipping or water-filling characterization gives the unique minimizing vector, even where the multiplier level is nonunique. A perturbation proof establishes that every maximizer has at most one coordinate away from its individual interval endpoints, yielding a finite rational vertex certificate. We also give a reduction from PARTITION: deciding whether the variance attains a simple threshold remains NP-hard even for symmetric integer intervals and zero total sum. Connectedness of the feasible polytope implies the absence of gaps between the extrema. Reproducible exact-arithmetic scripts cross-check 320 synthetic boxes using independent face searches and integer-grid enumeration, as well as 110 synthetic partition instances. Prior work on general interval variance and on a fixed mean with common bounds is explicitly acknowledged. The contribution is a transparent, heterogeneous-bound specialization suitable for advanced mathematics enrichment; worldwide priority and classroom effectiveness remain unverified.

關鍵詞： 樣本方差；固定總和；異質區間；水位截斷；凸優化；精確證書；計算複雜度；香港 M1。

Keywords: sample variance; fixed sum; interval uncertainty; water-filling; convex optimization; exact certificates; NP-hardness; Hong Kong Module 1.

1. 引言

實際統計表有時保留分數的總和，但每一筆資料可能只可取某段範圍，例如個別量測公差、重建前後的可能成績或隱私保護後的資料區間。學生若把每個區間直接用中點代入，可能違反已知總和；若把每個區間端點獨立選成極大值，則通常也不符合總和。因此問題不是套用單一的樣本方差公式，而是描述所有同時符合資料約束的樣本能達到哪些方差。

香港教育局《高中數學課程闡釋：單元一（微積分與統計）》（2009／2018 年更新）在學習單位 19「抽樣分佈和點估計」要求認識樣本平均值、樣本方差等統計量，並在學習單位 21 提倡探索與研究活動。本文以此為高階延伸背景；不把帶區間不確定性的二次規劃、NP-hard 歸約或頂點枚舉誤寫為 HKDSE 必考內容。尤其課程以點估計統計量為中心，本文是一個由統計概念通往證明、優化及資料可信性的選修探索框架。

核心問題是：已知 $n$ 筆實數 $x_i$ 的個別範圍 $[a_i,b_i]$ 和總和 $S$ ，最小及最大可能的樣本方差是否存在、是否有閉式或有限計算證書、是否所有中間方差可實現、怎樣處理端點限制與整數分數的差別？下文將區分一般定理、固定規則下的數值核查，以及尚未解決的文獻原創性問題。

2. 文獻綜述及問題定位

Ferson、Ginzburg、Kreinovich 與 Aviles（2002）直接研究逐筆區間資料的樣本方差上下界；其大學原始書目與摘要已指出一般下界有可行的二次時間算法，而一般上界為 NP-hard。這是本研究不可忽略的先例，本文不能把「區間方差下界易求、上界難求」宣稱為獨立新發現。同一研究路線的 Ferson 等（2002）之 SIGACT News 論文亦給出 NP-hard 證明。本文特定採用額外線性等式 $\sum_i x_i=S$ ，因此呈現另一個易於逐步證明與精確計算的受限問題。

Kishida（2017）從結構化奇異值研究區間方差、協方差與相關係數的包絡，其出版商摘要明確指出這些統計量在一般區間資料下涉及困難優化。Koshelev、Jalal-Kamali 與 Longpré（2011）反過來在方差有上限時研究區間不確定資料的均值可達範圍；限制方向有關但不等同於本文固定均值求方差。以上部分期刊只能核對出版商題錄、摘要或可公開段落，未完成所有定理的逐句全文先例排查。

與本文非常接近的 Ellis（2026）研究在每筆觀測共用 $[m,M]$ 區間且平均數已知時的尖銳最大方差；該文於 2026 年 8 月發表，提供細緻的端點構造。本文須明確承認其共同區間是本模型的特例。另一方面，Bhatia 與 Davis（2000）處理已知均值及全域上下界時的一般方差不等式；它對上界可能過於保守，並不自動反映有限樣本、個別不同區間及整數總分的組合限制。

表 1　主要相關研究與本稿的模型差異（資料：文獻原始題錄及可讀摘要）

研究	已查證的主要問題	與本研究關係	驗證限制
Ferson 等（2002）	一般區間資料樣本方差精確界及複雜度	強直接先例；本文多固定總和等式	可得大學摘要及公開文字，全文先例比較仍待加深
Kishida（2017）	區間方差、協方差、相關係數	擴展一般區間統計的工具	可核出版商摘要，付費全文受限
Koshelev 等（2011）	方差有界時均值的範圍	約束方向互換；不可混為相同問題	出版商摘要及書目
Ellis（2026）	共同個別區間、固定平均的精確最大方差	固定總分共同區間特例；極重要先例	期刊全文網頁節錄及作者機構題錄
本工作論文	異質 $[a_i,b_i]$ 、固定 $S$ ，完整方差可達區間、唯一最小向量、精確上界證書	展示整合算法、退化條件、難度邊界和香港 M1 延伸框架	未核世界新穎性；無教學實驗

2026 年 10 月 15 日另以「區間數據方差固定平均數／固定總分」、「区间统计方差上下界优化」及英文 “fixed mean interval sample variance”、“variance under box constraints sum equality” 搜尋中文與英文索引。暫未取得可核對作者、正式刊期及正文的具名中文直接學術論文；此結果反映檢索及資料庫存取限制，不能推論中文文獻不存在。詳細紀錄見隨附 Literature_Search_Log.md。

3. 理論模型與假設

設 $n\ge2$ ，端點 $a_i,b_i\in\mathbb R$ ， $a_i\le b_i$ ，且已知 $S\in\mathbb R$ 。定義可行資料集

P=\left\{x\in\mathbb R^n:\ a_i\le x_i\le b_i\ (1\le i\le n),\quad \sum_{i=1}^{n}x_i=S\right\}.\tag{1}

本文均假設 $\sum_i a_i\le S\le\sum_i b_i$ ；否則 $P$ 為空，任何「方差上界／下界」均沒有實際可行意義。每個區間獨立作為先驗限制，固定總和加入後會產生各坐標的依存關係。允許 $a_i=b_i$ ，包括只有一個可行向量的退化問題。除非在特定段落明說取整數， $x_i$ 均為連續實數。

當總和固定時，樣本平均數為 $\bar x=S/n$ ，以 $n-1$ 為分母的樣本方差滿足

V(x)=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\frac Sn\right)^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2-S^2/n}{n-1}.\tag{2}

因此，極大和極小 $V$ 等價於在 $P$ 上極大及極小嚴格凸的二次型 $Q(x)=\sum_i x_i^2$ 。 $P$ 是非空、閉、有界、凸的多面體，連續函數 $V$ 的極值必然取到。下文要求的「尖銳」是存在可行向量等號取到，並非對未知真實資料的概率置信界。

4. 研究方法及精確可重現性

首先以區間投影的坐標不等式證明最小二次型的唯一性，再使用固定總和的兩坐標擾動找出極大向量的端點形狀，形成上下界的有限有理演算法；其次由連通性處理完整值域；最後用 PARTITION 的標準可判定問題做計算複雜度歸約。這些是數學證明，與以下有限測試的邏輯角色不同。

驗證程式 code/verify_exact.py 使用 Python 標準庫 fractions.Fraction 作精確有理數運算、固定隨機種子 20261015，令 $2\le n\le5$ 、整數區間及可行整數總和隨機生成 320 份合成配置。下界的水位向量與獨立枚舉所有 $3^n$ 種「下端／上端／自由」面，再於每個面求條件最小二次型交叉檢驗；上界則與逐坐標整數格點全枚舉核對。由於這批案例的端點和總和為整數，每個極大頂點亦為整數，格點枚舉確實可獨立驗證上界；在一般非整數資料中不能把粗格點當成上界的證明。另以 110 個合成整數 PARTITION 例子逐一核對歸約雙向關係，保存機器可讀的 qa/verification.json。

數學圖像由 code/make_figures.py 使用同一精確求界器作圖。掃描曲線上的自變數與畫圖位置可經浮點近似繪製，但其所用的上下界值先由有理數計算得到；所有圖都是模型產生，並無真實香港學生成績。

5. 定理、推導、反例及演算法

5.1 低方差的唯一「水位截斷」解

定義 1（截斷函數）。 對 $a\le b$ 定義 $\operatorname{clip}(t,a,b)=\max\{a,\min\{t,b\}\}$ 。令

F(t)=\sum_{i=1}^n\operatorname{clip}(t,a_i,b_i),\qquad F(t)=S.\tag{3}

每項截斷函數連續、非遞減，而 $F$ 亦如此；當 $t$ 小於全部下端點時， $F(t)=\sum a_i$ ；當 $t$ 大於全部上端點時， $F(t)=\sum b_i$ 。連續值定理保證至少有一個水位 $t$ 滿足（3），包括 $S$ 在邊界的情況。 $F$ 可能出現平台，故水位本身未必唯一。

定理 1（精確且唯一的最小化向量）。 任選一個滿足（3）的 $t$ ，設 $x_i^*=\operatorname{clip}(t,a_i,b_i)$ 。則 $x^*\in P$ 且 $x^*$ 是 $Q$ （因此亦是樣本方差）的唯一全域極小向量。若 $F(t_1)=F(t_2)=S$ ，兩個不同水位仍給出相同 $x^*$ 。

證明。 若 $x_i^*=a_i\ge t$ ，對任何 $y_i\in[a_i,b_i]$ 有 $(x_i^*-t)(y_i-x_i^*)\ge0$ ；若 $x_i^*=b_i\le t$ ，兩因子均不正，積仍非負；若 $a_i<x_i^*<b_i$ ，則 $x_i^*=t$ ，積為零。端點重合 $a_i=b_i$ 時相應增量為零，亦成立。對任意 $y\in P$ ，由 $\sum_i(y_i-x_i^*)=0$ ，可得

Q(y)-Q(x^*)=\sum_i(y_i-x_i^*)^2+2\sum_i(x_i^*-t)(y_i-x_i^*)\ge\sum_i(y_i-x_i^*)^2.\tag{4}

除非 $y=x^*$ ，右邊嚴格大於零，所以 $x^*$ 唯一。若兩個水位給不同向量，便會同時出現兩個唯一極小向量而矛盾。證畢。

推論 1（尖銳下界）。

V_{\min}=\frac{\sum_i\operatorname{clip}(t,a_i,b_i)^2-S^2/n}{n-1},\qquad F(t)=S.\tag{5}

有限精確算法 A。 先檢查可行性；依大小排序不同斷點 $\{a_1,b_1,\ldots,a_n,b_n\}$ 。逐一代入斷點 $c$ 計算 $F(c)$ ；若等於 $S$ ，選該 $c$ 。若在兩個相鄰斷點 $c<d$ 發現 $F(c)<S<F(d)$ ，其間的活動坐標數 $k=\#\{i:a_i<(c+d)/2<b_i\}>0$ ，取 $t=c+(S-F(c))/k$ ，再計算 $x^*$ 。對有理輸入，此方法全程有理精確，簡單版本為 $O(n^2)$ 次算術運算加排序；維護斷點上斜率變化可將數值運算量降至 $O(n\log n)$ ，但必須另計二進制位元長度。若 $F$ 有水平平台，使用其中任一匹配斷點便可，不應用除以 $k=0$ 的公式。

圖 1 顯示本論文人工例子 $F(t)$ 的分段直線形狀。圖中的 8/3 與固定總和 10 的交點是精確有理結果。

圖 1　截斷總和函數的分段線性形狀；虛線為固定總和 S=10，交點 t=8/3（來源：本文合成模型）。

5.2 高方差的端點頂點定理

定義 2（端點型候選）。 稱 $x\in P$ 為端點型，若除了最多一個索引 $j$ 外，其餘 $x_i$ 都等於 $a_i$ 或 $b_i$ 。固定總和使最後一個坐標由其餘坐標完全決定。

定理 2（所有極大向量的頂點結構）。 $Q$ 在 $P$ 的每一個全域極大向量均屬端點型；反之，每個端點型可行向量均為 $P$ 的頂點。當有退化區間 $a_i=b_i$ ，結論仍成立。

證明。 假如極大向量 $x$ 有兩個不同索引 $i,j$ 同時滿足 $a_i<x_i<b_i$ 、 $a_j<x_j<b_j$ ，取足夠小的 $\varepsilon>0$ ，則 $x^+=x+\varepsilon(e_i-e_j)$ 與 $x^-=x-\varepsilon(e_i-e_j)$ 皆屬 $P$ 。直接展開得到 $[Q(x^+)+Q(x^-)]/2=Q(x)+2\varepsilon^2>Q(x)$ ，故至少一個嚴格比 $x$ 大，矛盾。因此所有極大向量至多有一坐標嚴格在端點內。反過來，若端點型向量 $x$ 可寫成 $x=(y+z)/2$ ，其中 $y,z\in P$ ，則所有端點坐標由區間閉性迫使 $y_i=z_i=x_i$ ；剩下最多一坐標又由總和唯一決定，故 $y=z=x$ ，符合頂點定義。證畢。

推論 2（尖銳上界的有限證書）。 對每個自由索引 $j$ 與其餘坐標的二元選擇 $\sigma_i\in\{a_i,b_i\}$ ，令 $z_j=S-\sum_{i\ne j}\sigma_i$ ，僅保留 $a_j\le z_j\le b_j$ 的候選。則

V_{\max}=\max_{\substack{1\le j\le n,\ \sigma_i\in\{a_i,b_i\}\\a_j\le S-\sum_{i\ne j}\sigma_i\le b_j}}\frac{\sum_{i\ne j}\sigma_i^2+\left(S-\sum_{i\ne j}\sigma_i\right)^2-S^2/n}{n-1}.\tag{6}

至少有一個端點型向量（ $P$ 非空且極大點存在），所以候選集合非空。最多掃描 $n2^{n-1}$ 組配置，可用有理數精確比較及輸出取到向量；直接逐組計算為 $O(n^2 2^n)$ 次基本有理運算。這是有限精確算法，不是一般多項式時間算法。 重複出現的頂點可去重，但去重不影響正確性。圖 2 顯示二維時的端點與投影幾何。

圖 2　二變量的固定和直線與樣本方差：極小值可在內部，極大值於端點取到（來源：本文合成模型）。

5.3 全部可達方差沒有空缺

定理 3（尖銳完整值域）。 $P$ 上可達樣本方差恰好是閉區間

\{V(x):x\in P\}=[V_{\min},V_{\max}].\tag{7}

證明。 根據定理 1 及定理 2，存在兩個可行向量 $x^-$ 、 $x^+$ 分別取到兩端。對任何 $\lambda\in[0,1]$ ，由 $P$ 的凸性， $x(\lambda)=(1-\lambda)x^-+\lambda x^+\in P$ ； $V(x(\lambda))$ 是 $\lambda$ 的連續函數，起點及終點值為兩端。中間值定理證明兩端之間每一個實數都可實現，超出兩端的值又違反極值定義，故得（7）。證畢。

這一結論容許直接構建門檻證書：例如若指定方差門檻 $T$ ，則存在符合總分的資料恰有 $V=T$ ，其充要條件是 $V_{\min}\le T\le V_{\max}$ 。但此結論對整數分數並不適用，因整數可行資料集不一定連通。

5.4 上界的計算難度：固定總和也無法消除難例

命題 1（上界門檻 NP-hard）。 考慮各端點為二進制編碼整數、已知 $S$ 的有理方差上界判定問題：「是否存在 $x\in P$ 使 $V(x)\ge T$ ？」即使將輸入限定為 $S=0$ 且每個 $[a_i,b_i]=[-w_i,w_i]$ 、 $w_i$ 是正整數，該判定問題仍為 NP-hard。

證明。 從 PARTITION 的正整數 $w_1,\ldots,w_n$ 歸約。考慮固定 $S=0$ 和上述對稱區間； $x=0$ 保證可行。逐坐標的平方上界給出

V(x)=\frac{\sum_i x_i^2}{n-1}\le\frac{\sum_i w_i^2}{n-1}=:T;\quad V(x)=T\iff x_i\in\{-w_i,w_i\}\ (\forall i).\tag{8}

因為 $\sum_i x_i=0$ ，等號成立當且僅當存在正負號 $\epsilon_i\in\{-1,1\}$ 令 $\sum_i\epsilon_iw_i=0$ ，亦即原整數集合可分成等和兩組。構造區間及 $T$ 只需多項式位元運算，故 PARTITION 多項式歸約至「能否達到 $T$ 」。因此判定問題 NP-hard。此歸約建立的是最壞情況難度，不表示每個教學小例都難以求解，也不表示無任何特殊情況的高效算法。證畢。

上述可行域仍含連續實數，不能把「找不到端點配置」理解成不可行；不可行的是取到指定最高門檻。這個反例說明固定總分約束並不保證上界的逐端點貪心選擇有效。此歸約採用標準 PARTITION 難度基礎，且一般區間方差難度已有先例；未宣稱此證明為新計算複雜度突破。

5.5 共同端點是已知特例；分母須一致

若全部 $a_i=m$ 、 $b_i=M$ 且 $M>m$ ，令 $c=S/n$ 、 $r=n(c-m)/(M-m)$ 、 $k=\lfloor r\rfloor$ 、 $\alpha=r-k\in[0,1)$ ，則取最大值時有 $k$ 個值為 $M$ 、一個可能的值為 $m+\alpha(M-m)$ ，其他為 $m$ 。Ellis（2026）的結果（原文以 $n$ 為分母的總體式方差表示）換算成本文的 $n-1$ 樣本分母後成為

V_{\max}=\frac n{n-1}\left[(c-m)(M-c)-\frac{(M-m)^2}{n}\alpha(1-\alpha)\right].\tag{9}

本文的頂點枚舉可重新求得該式，但（9）應明確歸功於共同端點的既有先例；研究上較難的部分是每筆 $[a_i,b_i]$ 不同時無法以單一 $k$ 替代組合選擇。例如 $n=5,m=0,M=1,c=0.1$ ，總體式方差最大為 $0.04$ ，本文採用的樣本方差最大是 $0.05$ ；若漏掉分母換算便會造成錯誤比較。

6. 精確結果、人工例子及邊界案例

例 1（異質區間與已知總分）。 取四筆人造連續分數範圍

a=(0,1,2,2),\quad b=(2,3,4,5),\quad S=10;\quad x^-=(2,8/3,8/3,8/3),\quad x^+=(0,1,4,5).\tag{10}

截斷水位 $t=8/3$ ，定理 1 給出 $V_{\min}=1/9$ 。頂點定理枚舉九個不同的端點型可行向量，最大向量 $x^+$ 的平方和為 42， $S^2/n=25$ ，故 $V_{\max}=(42-25)/3=17/3$ 。中點向量 $(1,2,3,3.5)$ 的和為 9.5，並不滿足 $S=10$ ；對各上端點一律選最大亦只會得到總和 14。這兩種常見捷徑都無法代替精確證書。

表 2　異質區間精確範例：數據均為本文合成，並非學生觀察

觀測序號 $i$	下端 $a_i$	上端 $b_i$	最小方差向量 $x_i^-$	最大方差向量 $x_i^+$
1	0	2	2	0
2	1	3	8/3	1
3	2	4	8/3	4
4	2	5	8/3	5
合計	5	14	10	10

圖 3 用同一組個別界改變 $S$ （從 $\sum a_i=5$ 到 $\sum b_i=14$ ）展示尖銳上下界隨總分移動的形狀。曲線在可行域的不同端點配置切換時可能轉折；陰影中每個固定 $S$ 的縱向值均能由某個實數資料向量取到，依據為定理 3，而非圖片的視覺連續性。

圖 3　總分 S 改變時的樣本方差精確可達上下界；陰影為可達區間（來源：本文有理數合成模型）。

例 2（水位非唯一但向量唯一）。 取 $a=(0,5)$ 、 $b=(1,6)$ 、 $S=6$ 。所有 $1\le t\le5$ 都滿足 $F(t)=6$ ，但輸出始終為 $(1,5)$ ；相應樣本方差為 8。若直接以方程根的非唯一性推論最小向量非唯一，便違反嚴格凸性。

例 3（實數分數與整數分數不可混用）。 兩筆數值都限於 $[0,1]$ 、總分為 1。實數模型的最小值在 $(1/2,1/2)$ 取到 $V=0$ ，最大值在 $(0,1)$ 取到 $V=1/2$ ；若要求兩筆皆為整數，唯一的有序選擇只有 $(0,1)$ 與 $(1,0)$ ，方差必為 $1/2$ ，不存在實數模型的中間值。因此本文的所有定理均應先標註「實數資料模型」；整數格點最小化另屬離散優化問題。

例 4（完全退化與不可行總分）。 若全部 $a_i=b_i$ 且 $S=\sum a_i$ ，可行域為單點，上下方差相等。若 $S<\sum a_i$ 或 $S>\sum b_i$ ，連一個向量也沒有，求界算法必須回報不可行。若單點資料值並不相等，上下界相同並不表示方差必為零。

表 3　驗證設計與通過紀錄（固定種子 20261015；全為合成案例）

驗證目標	與主算法相異的檢驗方法	次數	結果
水位下界	枚舉 $3^n$ 個固定端點／自由面，逐面求二次函數最小值	320	320/320 一致
端點頂點上界	遍歷全部整數格點可行向量，取最大平方和	320	320/320 一致
整數格點下界作上界檢查	確認連續最小值不高於格點最小值	320	320/320 成立
PARTITION 特例	完整枚舉正負號，與 $V_{\max}=\sum w_i^2/(n-1)$ 比較	110	110/110 等價
完全退化區間	驗證單點且雙界相同	9	9/9 成立
平台水位反例	人工指定不同水位、相同向量	1	1/1 成立

表 4　常見邏輯錯誤、反例與正確做法

待檢命題	反例／問題	正確結論
「取全部中點即可估方差」	例 1 的中點總和是 9.5 而非 10	應先滿足固定總和，再計算變異程度
「凸函數極小值必在頂點」	例 3 實數情況在 $(1/2,1/2)$ 取到極小	嚴格凸函數的最大值可在頂點；最小通常在內部
「有兩個水位就有兩個最小向量」	例 2 全區間水位輸出同一向量	最小向量唯一，乘數水位可非唯一
「所有中間方差對整數資料可達」	例 3 整數值域只有 $\{1/2\}$	連通值域定理只對連續實數模型成立
「固定總分令上界必有快速貪心算法」	命題 1 的 PARTITION 特例	一般上界仍具有 NP-hard 的最壞情況

7. 討論：與香港 M1 統計和數學資優課程的聯繫

本模型可作高階開放題：先給學生四筆不同的區間與總分，要求他們透過畫圖、整理可行配置及比較離散度，自行發現「盡量拉近」和「盡量推向端點」的兩種機制；之後逐步引入 $Q=\sum x_i^2$ 、水位截斷以及最多一個自由坐標的證明。這樣一來，統計量的定義可以連結到帶約束的優化、連通性與反例。探索活動必須按學習者代數與推理程度分層，不能假定所有 M1 學生具備凸分析或 NP-completeness 的正式背景。

研究工作論文提供的是可證的數學任務設計素材，尚未證明這樣的活動會提高 HKDSE 分數、概念理解或數學自我效能。若要轉成實證教育研究，需另行設計明確的前後測、評分規準、比較組、教師實施一致性和倫理審批。所有此類效果主張都留待未來。

模型同時揭示三個解題素養：一是變數量詞與假設（某個可行資料集可能性，並非已知實際分數）；二是分辨連續模型與整數成績制度；三是分清「存在高效下界算法」與「整個雙側求界問題能在所有情況快速解出」。此等區分有助避免在圖表、統計課題或 AI 輔助推理中把數值猜測當成證明。

8. 研究限制及原創性界線

第一，所有主結果建立於實數閉區間與恰好已知的總分。當分數必須為整數、總分帶誤差，或區間互有非線性依賴時，水位法的尖銳性與完整連通值域需重新研究。第二，精確枚舉上界的指數規模限制它用於大量觀測；本稿沒有聲稱得到一般高效上界算法。第三，320 組有理盒與 110 組 PARTITION 例子是有限合成核查，不能取代一般性證明，也不代表演算法在大型資料上的實際速度。第四，文獻查新並未覆蓋付費英文全文、所有中文期刊、學位論文和前向引用網絡。水位、凸頂點性、二次規劃和一般區間方差困難性有明確既有理論。本文只能主張已完成特定模型的自洽整合與香港課程的高階延伸設計；是否具有足夠未發表的數學新意，仍需外部專家與更深入查新。

最後，本稿未經真正的獨立同行評審，五視角模擬評審是內部品質審查，不可寫作「已同行評審期刊論文」。香港教育局課程文件支持與樣本方差的內容聯繫，不等於官方認可本文教學干預或將難度證明納入評核要求。

9. 結論

在逐筆異質區間和固定總和的連續資料模型中，最小樣本方差由唯一截斷水位向量精確取到；所有最大樣本方差向量必是至多一個自由坐標的端點型頂點。兩端可用有理精確算法及實際取到向量證書確認，全部中間方差皆可實現；另一方面，PARTITION 歸約表明對稱區間及零總和的上界門檻判定仍有 NP-hard 的最壞情況。本文把既有區間統計及共同區間尖銳界文獻如實納入，提供可重現的香港 M1 高階延伸研究稿。下一步須做更完整的原文先例與數學審稿，再尋求香港教師檢視與適當的教學效度評估。

參考文獻

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