摘要
在多人線上戰術競技遊戲中，玩家經常需要於資訊不完整的短時窗內，在爭奪有價值的地圖目標、轉向相對安全的替代資源，以及投入時間取得更多情報之間作選擇。本文將此問題建構為具二元隱藏敵方狀態、二元有誤觀測與三類行動的序貫貝葉斯決策模型，並以《王者榮耀》的地圖資源取捨作研究語境。首先，推導直接爭奪與安全交換的臨界信念；其次，證明在訊號對稱且具有辨識力的條件下，偵察的最適性出現於先驗信念的連續中間區間，並導出該區間的閉式端點與資訊成本臨界值。進一步加入條件風險值（Conditional Value-at-Risk, CVaR）的下行損失懲罰，以及偵察可靠度隨時間提高、機會成本隨時間累積的最適觀測時間模型。基準假設下，直接行動的無差異臨界值為 0.4667；當訊號準確率為 0.80 且偵察成本為 0.80 時，偵察在先驗危險概率約 0.2821 至 0.6667 之間優於兩種立即行動。加入尾端損失質量 0.20 與風險權重 0.25 後，模擬所用策略區間約變為 0.162 至 0.538，反映風險厭惡可能使偵察區域向較低危險信念位移。五組先驗、每組 180,000 次的蒙地卡羅抽樣與解析期望一致，最大均值絕對偏差為 0.0259 以下（假設效用單位）。研究提出可證明的訊息取得條件、可操作的模型估計路線，以及對視野系統與決策支援的理論含義；研究並未以遊戲實測驗證各項係數。
**關鍵詞：**王者榮耀；部分可觀測決策；貝葉斯訊號；資訊價值；條件風險值；最適偵察時間。
1 引言（Introduction）
1.1 研究背景與動機
《王者榮耀》屬需要即時協作、地圖資訊整合與競爭性資源管理的團隊競技遊戲。當玩家考慮走向一處高價值中立目標時，敵方是否在附近集結、能否及時到達、投入該目標是否放棄別處收益，通常不會同時確定。資訊不對稱造成的問題並不止於「應否冒險」：獲得情報本身也需要時間，而爭奪窗口可能於偵察期間逐步消失。當隊伍偏好規避不可承受的損失時，最大化均值收益的決策還可能與保護尾端結果的決策不同。
研究者很容易將此類問題化約成「有視野就打，沒有視野就撤」的經驗法則。然而視野存在度不是充分統計量。一項精度很低的訊號可能沒有任何行動價值；相反，一項不夠完美但能使決策從爭奪切換成交換的訊號，可能值得付出明確的時延代價。玩家對敵方埋伏概率的信念會影響是否願意為情報付款，這帶來資訊價值的內生非線性。
先前保存的研究示例探討「開團後先跟進、再分級承諾」的兩階段協調博弈，特色在策略互補、行動時延和隊友信號。本文轉向隱藏敵方狀態下的資源配置與主動資訊取得：決策者不需要推測隊友是否跟團，而需比較可觀測性、替代目標收益、偵察時間和尾端損失，故在研究問題、數學機制及實驗單位上均屬另一條研究線。
1.2 研究問題、目標與假說
**核心問題（Research Problem）。**面對未知的敵方守候狀態，當可選行動包含「立即爭奪主目標」、「交換替代資源」和「先偵察再按訊號選擇」時，何種先驗信念、訊號精度、時間成本及風險偏好使偵察具有正的淨決策價值？
**研究目標（Research Objectives）。**本文目標為：(i) 建立可被資料校準的明確收益與訊號模型；(ii) 對最適策略分區提出完整閉式推導；(iii) 計算精度及時間成本對策略邊界的敏感度；(iv) 整合下行尾端風險，以檢視風險偏好是否改變資訊需求；(v) 提供可重現的蒙地卡羅核對、圖表及未來實測研究方案。
**研究問題（Research Questions）。**RQ1：不偵察時，危險信念達何臨界值應放棄主目標？RQ2：具有錯誤率的偵察會在何信念區間成為最佳策略？RQ3：觀測可靠度變好與延誤代價增加之間，是否存在內部最適觀測時間？RQ4：針對極端損失的偏好，如何改變偵察區間？RQ5：解析結論是否能被獨立抽樣機制重現？
**假說（Research Hypotheses）。**H1：對固定的有效訊號，偵察呈現中間信念區間最適，而非信念越危險就越應偵察。H2：當成本相同時，訊號準確率提高會擴大偵察區間。H3：提高偵察時間的邊際成本使最適時間縮短。H4：當直接爭奪有特別沉重的下行損失時，風險懲罰可使偵察在原本較安全的信念區間更有吸引力。H5：蒙地卡羅均值應在抽樣誤差內接近解析值。H1–H5 均是模型內的比較靜態或可測試預測，尚非實際遊戲已證實的經驗規律。
1.3 研究貢獻與定位
本研究最重要的新增內容，是在同一個明確的小型部分可觀測模型中，同時處理有錯訊息的反事實價值、偵察是否值得、偵察要持續多久、以及風險尾端如何影響策略邊界。文中的臨界式屬本模型在特定假設下的代數推導，並不宣稱創立了全新的貝葉斯理論或 CVaR 原理。它的學術價值在於把原本常被分別處理的條件明確接合，產生可逐項核驗、可轉向事件級資料估計的命題。
2 文獻回顧（Literature Review）
2.1 MOBA 行為研究與本研究的觀測缺口
Cheng 等人（2019）使用《王者榮耀》大規模比賽資料分析團隊組成、勝負、持續抗衡及互動行為，顯示遊戲資料可以支持正式的社會科學研究。然而隊伍整體構成與事件級的「是否花一段時間取得目標附近訊號」是兩個不同的分析尺度：即使隊伍構成確定，單個時點仍有未觀測敵方狀態及訊號可信度問題。本文沒有取得該資料集，也沒有把其整體團隊效應套成本文的具體收益參數。
2.2 貝葉斯決策、資訊價值與部分可觀測性
Howard（1966）提出資訊價值（Value of Information）的正式決策分析：資訊的價值來自它改變行動後所帶來的預期效益，不能僅以資訊量衡量。Smallwood 與 Sondik（1973）研究有限期部分可觀測馬可夫過程，建立以信念狀態作為決策對象的基本框架；Kaelbling、Littman 與 Cassandra（1998）系統整理部分可觀測馬可夫決策過程（Partially Observable Markov Decision Process, POMDP）的規劃方法。本文可視為 POMDP 的單事件、有限兩階段特例：隱狀態存在，偵察產生帶噪訊號，然後執行終端資源行動。由於模型刻意簡化到二元狀態與訊號，能得到完整閉式門檻，而不需要以黑盒強化學習替代解析推導。
2.3 下行風險與研究缺口
Rockafellar 與 Uryasev（2000）發展條件風險值的最佳化形式，使決策者可以針對分佈中最不利的一部分結果施加額外懲罰。對 MOBA 而言，某次資源投入的期望可能有利，卻存在單次重大損失；僅以期望值最適化會忽略這種尾部偏好。本文保留風險中立模型作主要定理，再將 CVaR 導入擴充模型，嚴格區分兩套目標函數，避免將風險中立的貝葉斯行動閾值直接當作風險厭惡者的定理。
文獻缺口在於缺少一套以《王者榮耀》資源取捨為研究場景、同時能推導偵察臨界成本、時間與下行風險的透明最小模型。但「缺口」只表示本文聚焦的機制組合，不宣稱相關遊戲或決策理論之前從未使用過資訊價值或風險敏感規劃。
3 問題建構（Problem Formulation）
3.1 局內事件與行動時序
設研究單位為一次可辨識的地圖資源決策事件：隊伍可選擇嘗試接觸某高價值中立目標（例如一個需要接近的爭奪點），或轉往相對可預期的兵線／防守型替代資源。本文僅用「主目標」及「替代資源」稱呼兩個方向，不假定特定版本的野怪屬性、刷新秒數、龍種、增益、裝備或英雄技能。效用是抽象的事件後淨局勢改變指標，不直接等於遊戲勝率或金幣。
隱藏狀態為 Θ∈{H,L}，其中 H 代表敵方具備對主目標的強防衛或埋伏能力，L 代表該處暫時適宜爭奪；玩家的先驗為 p=Pr(Θ=H)。時間零點的可用行動為 C：立即爭奪主目標；T：直接交換至替代資源；S：先取得一次有誤的偵察訊號，再決定 C 或 T。S 具固定淨成本 k≥0，概括偵察行動的曝露、路徑偏離與決策延遲；進一步的時間模型將此成本拆解。
**圖像化時序：**先驗 p → 選擇 C、T 或 S →（若 S）觀察危險／安全訊號 → 更新後驗 → 執行 C 或 T → 獲得終端事件收益。模型內不含英雄間同時策略對抗，因此行動最適性是貝葉斯決策最適性，不是 Nash 均衡。
3.2 假設及其可反駁性
**A1（二元狀態）。**敵方部署被壓縮為 H 或 L，作為一次事件的最小充分摘要；實際可包含多種隊伍位置、技能狀態與兵線條件，需於未來資料中檢驗是否足以描述收益差異。**A2（風險中立基準）。**主模型先最大化期望淨收益，稍後明確加入風險敏感替代目標。**A3（固定收益表）。**在一次決策事件中，給定狀態與最終行動即可決定淨收益；這忽略了玩家與敵人的戰術反應。**A4（訊號結構）。**單次偵察訊號有對稱正確率 q∈[0.5,1]，且條件於隱狀態生成，沒有策略性欺騙。**A5（共同成本）。**偵察成本 k 加在觀測後任一行動的收益上，以保持可解性。**A6（共同先驗）。**研究主體以單一決策者對 H 的信念 p 為對象；不同隊友可以有不同 p，但本篇不求共同信念均衡。**A7（無額外回合）。**基準只有一次偵察，避免重新觀察無限次的停止問題。**A8（正確校準）。**解析模型假設用作計算的 p、q 等於生成機制；真實玩家認知可能偏誤，另列為實證問題。
3.3 符號與收益設定
表1 核心符號與經濟意義（所有數值均為假設）
| 符號 | 定義 | 基準設定 |
|---|---|---|
| Θ∈{H,L} | 敵方主目標防衛強、弱的隱狀態 | 二元 |
| p | Pr(Θ=H)，危險先驗 | 0 至 1 |
| q | Pr(危險訊號｜H)=Pr(安全訊號｜L) | 0.80 |
| k | 一次偵察的合併成本 | 0.80 效用 |
| C,T,S | 立即爭奪、直接交換、先偵察 | 三類策略 |
| R(a,Θ) | 行動 a 在狀態 Θ 的事件淨效用 | 見表2 |
| α | CVaR 最不利尾端的概率質量 | 0.20 |
| λ | 尾端損失在目標函數的懲罰權重 | 0 或 0.25 |
| d | 偵察持續時間（抽象時間單位） | 0 至 2.4 |
| γ,v | 準確率改善速度、時間成本斜率 | ln(2.5)、0.60 |
表2 直接行動的狀態相依收益矩陣（假設效用單位）
| 最終行動 | L：主目標相對安全 | H：敵方高風險守候 | 建模含義 |
|---|---|---|---|
| C：立即爭奪 | +8 | −6 | 上行較大，逆境損失亦大 |
| T：資源交換 | +1 | +2 | 較可預測；主目標被守時交換略具吸引力 |
收益表是用來解釋定理的正規化思想實驗，並非由遊戲勝率、經濟或版本數據估計而來。特別是 R(T,H)>R(T,L) 表示敵方越集中主目標，另一側可取資源的相對性價值可能越高，這是一項有待檢驗的條件性假設，而非地圖常數。若替代資源在敵方守候時也變得危險，理應重估整張收益表。
4 直接行動的貝葉斯基準（Baseline Bayesian Decision）
當玩家不能、或不願先進行偵察時，直接爭奪的預期收益為 (1−p)8+p(−6)=8−14p；直接資源交換的預期收益為 (1−p)1+p2=1+p。因此行動比較為：
兩者之差 D(p)=V_C−V_T=7−15p。令其為零，即得到第一個可檢驗的決策界線：
**命題1（直接行動的唯一切換門檻）。**在表2、A1–A3 的假設成立時，若 pp₀，資源交換唯一最適；p=p₀ 時兩行動等價。**證明：**D(p) 是斜率 −15 的嚴格遞減直線，僅有單一零點 7/15。故按其正負決定兩策略排序；無其他極值，得證。
此命題同時提供重要反例：沒有取得敵方視野並不自動意味必須交換。當 p 足夠小，爭奪的潛在上行可以覆蓋低概率的不利狀態；但本結論僅針對正規化收益表成立，不能直接轉移為真實遊戲的固定 46.67% 門檻。
5 貝葉斯偵察與資訊價值（Scouting and Value of Information）
5.1 有錯訊號與後驗
偵察產生 y∈{h,l}；h 為「觀測危險」，l 為「觀測安全」。訊號可靠度的對稱假設意味著 Pr(y=h｜H)=Pr(y=l｜L)=q；兩種錯誤訊號概率都是 1−q。利用貝葉斯公式：
在 q>0.5 且 0<p<1 時，有 p_l<p<p_h。當 q=0.5 時，兩個後驗皆等於 p，訊號不含可決策的辨識力；當 q=1 時，後驗變成完美揭示狀態。注意此處的 p_l 為「收到安全訊號的後驗」，稍後標記 P_L 的大寫變數才是策略區間下界。
依訊號選擇行動的自然政策為 S：危險訊號選 T，安全訊號選 C。除 S 外，還須核對觀測後無視訊號而一律 C 或一律 T，以及採取反向政策的情況。當 q≥0.5、k≥0 且比較的是期望值時，無視訊號的兩政策相對直接做同一行動減少 k；反向政策的期望值也不優於同等前提的正向政策。因此三項代表性的期望函數 C、T、S 足夠決定最優解，且完整枚舉在程式中再次檢查。
5.2 訊號政策的無條件期望
若真實狀態為 L，正確安全訊號的概率為 q，玩家因此獲得 +8；錯誤危險訊號的概率為 1−q，玩家只取得交換 +1。故條件期望為 1+7q。若真實狀態為 H，正確危險訊號引導交換 +2 的概率為 q；錯誤安全訊號引導爭奪 −6 的概率為 1−q，故條件期望為 8q−6。加權並扣除成本 k：
整理可得：
其對先驗危險概率的導數為 q−7<0，代表即使經過偵察，整體不利狀態增加仍降低期望收益。但 S 的絕對收益下降，不代表相對 C 或 T 的淨優勢一定下降；最適區間由兩項相對差值控制。
5.3 偵察優勢的雙重不等式
與立即爭奪比較，V_S−V_C=(7+q)p−7(1−q)−k。與直接交換比較，V_S−V_T=7q−k−(8−q)p。兩項同時非負時 S 才是全域最優策略。定義大寫 P_L 和 P_U 分別為 S 的低、高邊界：
**命題2（資訊取得的中間信念區間）。**對 q>1/2、k≥0，若 P_L0 隨 p 遞增，故 S≥C 的充要條件是 p≥P_L；S−T 以斜率 −(8−q)<0 遞減，故 S≥T 的充要條件是 p≤P_U。兩半直線交集正是閉區間；嚴格部分亦然。加上對照的無視訊號策略被成本支配，結論成立。
由 P_L<P_U，兩邊同乘正的分母並整理，得到成本界限：
當 q=0.8 時，k_crit=2.24。若 k 高於該值，無論 p 如何變化，訊號策略都無法同時擊敗兩個立即行動。特別地，q=0.5 時 k_crit=0；任何 k>0 的無資訊偵察不可能產生正淨收益。對所有固定 p，無成本資訊的最適決策價值不低於無資訊情況，這是由每個訊號分支可至少選擇原本同一個行動的機會集合包含關係得來；只有訊息改變最佳行動時才有正的決策價值。
**命題3（區間比較靜態）。**固定 k≥0、q∈(0.5,1] 且區間非空時，增加 q 使 P_L 下降、P_U 上升；增加 k 則使 P_L 上升、P_U 下降。**證明：**分別對上述分式求偏導：∂P_L/∂k=1/(7+q)>0，∂P_U/∂k=−1/(8−q)<0；∂P_L/∂q=−(56+k)/(7+q)²<0，∂P_U/∂q=(56−k)/(8−q)²。由於區間非空蘊含 k<k_crit≤56/15<56，故最後一項為正，得證。
這裡出現一個細節：若 k 極高且超過可行成本範圍，不能跳過區間存在條件而一概聲稱「q 增加必然擴大實際偵察區」。本文所有分區結論均把 P_L<P_U 列為先決條件。
5.4 基準數值與決策圖
取 q=0.80、k=0.80。由公式得 P_L=2.2/7.8≈0.2821，P_U=4.8/7.2≈0.6667。當 p=0.45，V_C=1.70、V_T=1.45、V_S=3.01，偵察對最佳立即行動有 1.31 個假設效用單位的淨增益。當 p=0.15，C 的 5.90 高於 S 的 4.87；當 p=0.70，T 的 1.70 高於 S 的 1.46。這解釋「越不知道越想偵察」這類口頭描述的局限：信念已極偏向一側時，訊號不足以改變行動的條件預期，偵察的時間成本反而容易浪費。
圖1 固定 q=0.80、k=0.80 的三條解析期望效用曲線，虛線是門檻；灰綠色區域表示政策 S 優於 C、T。圖中資料全部由本文假設收益矩陣計算。
圖2 固定 k=0.80，完整枚舉六種可行政策所得的最適策略相圖。三區分別表示 C、S 和 T，並非實際比賽的觀測決策分佈。
圖3 資訊精度提高時，最適偵察信念區間擴大；成本增加時，區間縮小至消失。曲線為門檻公式的解析結果。
6 最適偵察持續時間（Optimal Sensing Duration）
固定訊號精度不足以描述局內視野行動。偵察者可以停留更久、改變路徑以降低誤判，但過程消耗爭奪窗口及替代收益。設定 d∈[0,d_max]，觀測正確率與費用分別為 q(d)=1−(1/2)e^(−γd)，k(d)=k_base+vd。此指數形式有三項可解釋的限制：d=0 時 q=0.5（零額外情報）；d 增長時 q 單調接近 1；資訊改善的邊際幅度遞減。γ>0 表示訊號改善速度，v>0 是單位時間代價。成本 k_base 可代表啟動偵察的一次性路徑與曝露代價。
在偵察後執行「安全則爭奪、危險則交換」的政策區域，代入上一節的 V_S，得到：
一階與二階導數為：
**命題4（條件最適偵察時間）。**若在候選時間附近，安全訊號選 C、危險訊號選 T 皆為最適後續行動，且正的內部解位於 [0,d_max]，則此政策下的唯一最適偵察時間為：
若該值超出可行範圍，應截斷至 0 或 d_max。**證明：**一階條件令導數為零得到上述封閉式，二階導數嚴格為負，故在條件政策區域為唯一最大值。**必要限定：**此式不保證偵察比直接 C 或 T 更佳，亦不保證觀測後的最優行動確實按訊號切換；完整政策必須再與全部行動及邊界做枚舉比較。
比較靜態具有直觀但不平凡的含義。在條件區域，∂d*/∂v=−1/(γv)<0，故時間代價提高會縮短偵察；∂d*/∂p=1/[γ(7+p)]>0，表示在此特定收益表及訊號改善式下，主目標危險信念增加一點，可能值得多花一點時間消除重要誤判。但對 γ 的影響存在「較快得到資料」與「較快達到精度飽和」的競合，不能不看參數而判定方向。
基準動態參數取 γ=ln(2.5)≈0.9163、k_base=0.2、v=0.6、d_max=2.4。這使 d=1 時恰好 q=0.8、k=0.8，與固定偵察基準一致。p=0.45 時，候選 d* 約為 1.90；完整逐格枚舉得到 d=1.90 時 V≈3.3068，較 d=1 的 3.01 更高。此數值不能轉換成秒數，因為時間單位尚未以局內遙測校準。
圖6 實線為先同時計算直接行動及全部觀測後政策、再在離散 d 網格搜尋之全局結果；虛線為符合條件政策區域的閉式 d。實線缺口表示當時最佳選擇是直接行動而非偵察。所有參數均屬假設。*
7 下行尾端風險下的偵察（Risk-sensitive Extension）
7.1 CVaR 定義及與期望的區別
期望效用可視為對大量事件的平均收益，但局內單次極端失敗可能令決策者承擔較高主觀代價。為保持可操作性，本文定義損失變數 L_a=max{−R_a,0}，只懲罰真正負收益結果；α∈(0,1] 是分佈中最不利 α 質量。本文使用上尾 CVaR：
風險調整後的政策評分為：
其中 α 是尾端質量，例如 α=0.2 代表最差 20% 的平均下行損失；它並非已在式中使用的 80% 信心水平參數。CVaR 在有限離散分佈可透過將損失從大至小排列，並累積最差 α 的機率質量精確求出。程式另計算觀測後六種完整政策，因此風險偏好改變時，不必假設最初風險中立的後續選擇永遠不變。
7.2 基準的閉式風險項
在表2設定，直接交換 T 兩個狀態的收益皆為正，故 downside-CVaR=0。直接爭奪 C 只在 H 下虧損 6，故其 CVaR 為 6·min{p/α,1}。訊號政策 S 在 H 而錯誤發出安全訊號的事件有機率 p(1−q)，收益 −6−k；當 k<1，其他 S 結果均非負，故 downside-CVaR=(6+k)·min{p(1−q)/α,1}。
在基準 q=0.8、k=0.8、α=0.2 中，p(1−q)=0.2p≤α，所以可化簡為：
直接交換為 J_λ(T)=1+p；直接爭奪為 J_λ(C)=8−14p−6λ·min{p/0.2,1}。若 λ=0.25，當 p≤0.2，J_λ(C)=8−21.5p；當 p>0.2，J_λ(C)=6.5−14p。同時 J_λ(S)=5.8−7.9p。因此偵察與爭奪的低信念交點位於 p=2.2/13.6≈0.1618（落在 p≤0.2 的有效支）；與直接交換的高信念交點為 p=4.8/8.9≈0.5393。完整政策枚舉確認 S 在二者之間為最優；危險信念再高時，安全交換的零負收益風險成為主要優點。
這是一個條件性而非普遍的方向性結果：提高尾端損失權重可使偵察區間向低 p 位移並縮短高端，但若偵察本身帶來更高曝露成本、q 更低、或 T 也存在重大尾端損失，區間方向可能不同。數值應按新的收益表重估，不能直接把上述圖像外推到其他機制。
圖4 同一組假設 payoff、訊號準確率和成本下，改變 λ 後 S 相對最優立即行動的風險調整增益；曲線位於零線以上的區間代表偵察更具吸引力。
8 數值實驗設計（Numerical Experiments）
8.1 研究資料與實驗環境
本文使用完全合成的二元隱藏狀態、帶噪二元訊號與預先指定收益表，沒有使用玩家個人資料、對局錄影或任何遊戲伺服器數據。資料來源是本論文第3節的假設參數。主實驗以 Python 3、NumPy 和 Matplotlib 執行；所有表格、六張圖和模擬 CSV 都可由獨立腳本 simulation.py 重新產生。隨機種子固定為 20261014，蒙地卡羅一次事件的發生方式依次為：抽取 H∼Bernoulli(p)；條件於 H 產生準確率 q 的觀測訊號；按 C、T、S 政策對同一隨機事件計算三種反事實收益。這種共用隨機數設計讓策略比較更精確，但三種結果之間不獨立。
總共預先設定五個先驗 p∈{0.20,0.35,0.50,0.65,0.80}。每個先驗產生 n=180,000 次獨立事件，因此共生成 900,000 個事件、對每個事件評價三項策略。此 n 是模擬樣本數，不是比賽數、玩家數或真實效應樣本量。對每一個政策估計樣本平均、標準誤以及最差 20% 的平均下行損失，並與解析分佈所得理論值比較。均值的約 95% 誤差棒以 ±1.96×（樣本標準差／√n）計算，僅作蒙地卡羅數值校核。
8.2 策略相圖、成本與風險敏感度
相圖設定 p 為 501 等距點、q 為 [0.5,0.98] 的 121 點，保持 k=0.8；每格枚舉 C、T、S 以及偵察後永遠 C、永遠 T 和反向處置 S_R 的全部政策，避免只比較喜歡的三種政策。敏感度分析以 k∈{0,0.8,1.6} 比較區間寬度，另以 λ∈{0,0.15,0.25,0.45} 比較下行風險。動態時間以 0 至 2.4 的 241 點格網搜尋，並將結果與第6節封閉解比較。
表3 實驗預先指定的參數（全部為合成參數）
| 分析 | 參數設定 | 檢驗重點 |
|---|---|---|
| 解析基準 | p∈[0,1]、q=0.8、k=0.8 | 三種政策交點 |
| 精度—信念相圖 | 501×121 點、k=0.8 | 策略區域完整性 |
| 成本敏感度 | k=0、0.8、1.6 | 區間寬度及消失 |
| 下行風險 | α=0.20；λ=0、0.15、0.25、0.45 | 尾端損失與區間位移 |
| 抽樣檢核 | 5 個先驗×180,000 事件 | 解析值與 MC 均值 |
| 時間最適化 | γ=ln(2.5)、k_base=0.2、v=0.6、d≤2.4 | 解析候選與完整搜尋 |
8.3 可靠性與再現性檢查
程式不只生成圖片，還執行解析函數與離散收益原子分佈的相等性斷言、於 P_L 與 P_U 的政策無差異檢驗，並在 251 個先驗網格點檢查全部政策的最適結果。CVaR 使用離散分佈的精確最差尾端累積，不以粗略分位數取代定義。為使研究者能排查抽樣誤差，輸出檔 monte_carlo.csv 儲存每個先驗和政策的解析／抽樣均值、標準誤和 downside-CVaR；simulation_results.json 儲存全部配置與主要分析結論。數字保留三位小數的表格只作呈現，不作額外的運算來源。
9 結果（Results）
9.1 策略門檻與期望收益
表4 不同先驗下的風險中立策略比較（合成效用）
| 危險先驗 p | V_C | V_T | V_S | 風險中立最適 | λ=0.25 時最適 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.15 | 5.90 | 1.15 | 4.87 | C | C |
| 0.30 | 3.80 | 1.30 | 3.94 | S | S |
| 0.45 | 1.70 | 1.45 | 3.01 | S | S |
| 0.55 | 0.30 | 1.55 | 2.39 | S | T |
| 0.70 | −1.80 | 1.70 | 1.46 | T | T |
固定 q=0.8、k=0.8 時，S 的最適性確實在中間區域出現。表4 的 p=0.55 顯示一項反直覺但可重現的結果：即使偵察可提高期望效用（2.39 相對交換的 1.55），風險敏感者仍可能選擇直接交換，因為偵察有小概率錯誤將高風險狀態判為安全，造成重大尾端損失。這說明訊號的平均價值與其在風險懲罰下的價值並不相同。
9.2 風險偏好造成區間位移
表5 不同 CVaR 權重下的近似偵察最適信念區間（p 步長 0.002）
| 下行風險權重 λ | 偵察最適起點 | 偵察最適終點 | 解釋 |
|---|---|---|---|
| 0.00 | 0.284 | 0.666 | 無尾端損失懲罰 |
| 0.15 | 0.196 | 0.582 | 危險偏低時亦更願意偵察 |
| 0.25 | 0.162 | 0.538 | 高 p 下偏好零損失交換 |
| 0.45 | 0.122 | 0.466 | 下端繼續向低危險區位移 |
表5 使用完整政策枚舉，所以端點有 0.002 的離散化精度；λ=0 的解析精確端點是 0.2821 和 0.6667，表中略有格網偏差。比較只在此 payoff、α、q、k 的假設下成立，不是關於所有玩家風險偏好的一般實驗發現。
9.3 蒙地卡羅與解析推導的一致性
圖5 每個先驗生成 180,000 個合成事件，依策略呈現蒙地卡羅樣本均值減去解析期望的差異；誤差棒為約 95% 模擬抽樣區間。這不是觀察性信賴區間或真實玩家不確定性。
本次固定種子執行的最大樣本均值絕對偏差為 0.0259 個效用單位以下，且圖5中的偏差量級與抽樣標準誤一致。計算一致性支持的是推導與程式實作互相核對；它不能提供任何關於真實《王者榮耀》玩家或地圖決策成效的外部效度證據。若把同樣規則生成的合成資料用於估計原規則，得到高符合度本來就是可預期的內部檢驗，而不是外部驗證。
9.4 主要分析發現與證據層級
研究共得到四類可清楚區分的結果：第一，命題1–3 的策略門檻及成本／精度方向，由代數推導在模型假設下已證明。第二，命題4 的時間公式只在已明確限定的訊號分支策略區域內條件性成立；整體最適要靠完整政策搜尋核對。第三，CVaR 導致的區間位移是特定參數下的解析計算與格網結果，不是所有收益矩陣都成立的單調定理。第四，蒙地卡羅結果只是合成數值一致性，不能代替真實玩家資料研究。
10 討論（Discussion）
10.1 為甚麼「視野價值」不能等同「資訊量」
即使兩個訊號有相似的辨識力，它們對決策的價值也取決於主目標爭奪與安全交換的收益差距。當決策者非常確定敵方沒有守候，即使再準確的訊號，也不一定足以改變原本的爭奪選擇；當決策者已高度相信敵方集中在目標處，偵察也可能無法克服直接資源交換的吸引力。資訊的「知識增量」與「行動價值」屬不同概念，需將訊號後驗代入收益比較才可量化。
10.2 錯誤訊號的非對稱損失
本模型對稱的是分類正確率 q，不是錯誤的後果。在 H 下收到假的「安全」訊號會把原本應交換的策略導向虧損 6 的爭奪；在 L 下收到假的「危險」訊號，則只是從可能得 8 轉到得 1。兩類誤報具有不同的絕對損失，且各自的事件概率還會受到 p 影響。因此風險敏感模型不宜只將 q 視為泛化的「視野覆蓋率」，而應分開校準假陽性、假陰性和條件收益。
10.3 時間、訊號與機會成本
從時間公式可見：即使延長偵察必定提高 q，也不意味著越久越好。時間成本 v 在每個額外觀測單位累積，而指數型精度改善的邊際收益逐漸減少。這是情報行動的一般經濟原理；但遊戲特定的戰術時窗、敵方巡邏反應、技能冷卻或地形視線會使 q(d) 偏離本文假設。未來可將 q(d) 實測為非對稱曲線，或採用具有敵方策略反應的多階段 POMDP，檢查最適停止策略是否仍有單一門檻。
10.4 對《王者榮耀》研究的可操作實證路線
若將來得到授權的錄影或去識別化事件資料，應先固定版本與地圖機制，再將單位定義為「主目標到達最後可選擇行動的決策時點」。可用的事件前協變數包括己方位置、可達時間、雙方可見英雄、經濟差、敵方最後露頭時間、視野來源及替代資源狀態。H 不宜直接定義為「最終爭奪失敗」，否則會把決策造成的後果反向塞入隱狀態；較合理的是事件前可追溯的敵方守候能力，並以人工雙人標註或逐幀遙測校準。
實測 q 必須按當時使用的偵察工具及敵方狀態分類估計，計算敏感度 Pr(危險訊號｜H) 與特異度 Pr(安全訊號｜L)，而非假設兩者一樣。收益 R(a,Θ) 是反事實結果，對同一事件無法同時直接觀察兩種行動，所以不能把不同行動的平均結果直接當作因果收益。可利用賽前標註、傾向分數、雙重穩健估計或可信的自然實驗評估策略差異；任何未測量的玩家判斷力、敵方策略性回應或版本差異都可能形成混雜。建議預註冊主要效用代理、時間窗口、樣本排除規則、敏感度分析及版本分層。
11 局限（Limitations）
首先，本文只有二元隱藏狀態、兩個終端資源行動與一次訊號；真實遊戲可能允許延遲、引誘、遠端消耗、多方向資源選擇及對手的適應性反制。其次，收益表以假設效用表達，沒有估計勝率、對局經濟、擊殺或控制資源的因果換算率，故所有百分比都是信念模型的數字，不代表遊戲中的實測發生率。第三，對稱訊號假設難以代表真實偵察，因為危險訊號可能更容易誤報或漏報；對稱性一旦被打破，門檻形式與圖表都需改寫。
第四，基準偵察成本是與末端行動無關的固定值，但實際路徑延遲往往更傷害主目標收益，導致狀態與行動交互的時變代價。第五，CVaR 只作用在非負下行損失 max{−R,0}，λ 是規範性偏好，不是從玩家選擇擬合得到的心理參數；用其他參考點或終端目標可能改變結果。第六，有限兩階段模型無法處理隊友信念衝突、指揮博弈和共同決策；加入此類機制後需從單人決策模型升級為多智能體部分可觀測博弈。
第七，模型不包含《王者榮耀》某一具體版本的英雄、技能、裝備及地圖資源數值，所謂「主目標」刻意保持抽象，以避免把未核實的版本資訊冒充事實。因而本文能提出值得實測的理論假說，但尚不具備任何特定英雄、段位、伺服器、2026 年版本或事件時點的直接外推資格。第八，蒙地卡羅抽樣來自與解析模型相同的生成式，故只能查錯，不能證實真實世界符合假設。以上局限均可能成為後續研究的優先改進方向。
12 結論（Conclusion）
本文將《王者榮耀》中「爭奪主目標、改換替代資源、先取得視野」的情境，建構為一個具可追溯假設的序貫貝葉斯決策問題。解析結果顯示，偵察最適性不會在整段先驗上單調增加，而是在可解的中間信念區間出現；該區間的上下界可由訊號精度及偵察成本閉式表示，且存在使所有偵察失去淨優勢的成本臨界值。加入最適觀測時間後，可靠度改善與路徑／時間代價產生嚴格凹的條件最佳化問題。下行 CVaR 擴充則證明：特定收益和風險設定下，偵察的期望優勢不必等於風險敏感下的最適性。
論文完成六張有分析用途的圖、五個主表、四個有明確條件的數學命題、可重現程式及蒙地卡羅檢查。以上屬模型內推導及合成實驗結論；下一階段最有價值的工作，是對授權事件級資料估計訊號準確度、條件收益及時間成本，檢驗本模型的中間信念偵察區間是否具有外部效度。未達成該步驟前，本文不應作為現實玩家最適行為的已驗證定律。
參考文獻
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