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社會互動與行為決策

免運湊單悖論：缺口成本、分攤誘因與協調失靈的門檻公共品模型

摘要

網購平台常以達到指定消費額即可免運的門檻，誘使消費者在原有購物清單之外增加商品。多人拼單時，看似每人只須補上一小部分金額便能免運，實際上卻可能出現全員都認為集體補單划算，但沒有人願意率先增加購物的情況。本文提出「免運湊單悖論」，把湊單行為刻畫為具有分攤運費利益、個人持有商品以及非線性缺口成本的門檻公共品博弈。於明示的同質凸成本假設下，本文推導成功湊單均衡與全員不加購均衡各自存在的條件，展示參與人數增加雖可減少平均補單成本，亦能擴大兩種均衡同時成立的區域。進一步加入免運顯著性倍率，模型證明群體可能主觀認為補單合理，卻在實際消費者剩餘上蒙受損失；但其整體社會福利須另計商家與生產成本，不能由消費者剩餘直接判斷。十組完全假設的解析情境、均衡分區圖與數值一致性檢驗展示上述機制，並提出可透過預註冊拼單實驗反駁的預測。本文尚無實際購物觀察資料，所有數值結果僅具模型示例性質。

關鍵詞：免運湊單悖論；門檻公共品；協調失靈；運費顯著性；凸成本；集體購物

1　引言

1.1　只差一點免運，為何人人都在等別人

數名同學打算合買生活用品，購物車尚差十二元才能達到免運門檻。群組中的人各自知道，再找一件低需求商品可以讓全單免除八元運費。然而，有人只願意加購兩元的膠紙，有人想起家中仍有未用完的清潔用品，其他人則擔心商品買回來後被擱置。即使把缺口平均分開，每人的可接受成本都不高，對話亦可能停留在「有沒有人要加東西」；結果最後仍然支付運費。相反，若一個人單獨下單，他可能毫不猶豫補足全部缺口。這兩種行為表面矛盾，卻可能出自同一組價格與偏好。

原因在於運費豁免是一項具有門檻的集體結果：只有合計新增購物金額達到缺口，全部人才能享受免運；而補購商品由某位參與者自己付款、佔用空間並承擔不必要的消費損失。購物者享受免運的份額與他承擔的補單成本，可以由不同規則決定。當沒有人先動手時，任何未達門檻的小額加購都無法減少運費，卻立即產生成本。這使單獨觀察各人的選擇，無法直接判斷群體是否缺乏合作潛力。

需要先指出，免運門檻不等於運輸在現實世界中沒有成本；它首先是一項定價及收入分配規則。商家可能為配送支付實際資源成本，再從商品毛利吸收運費；消費者所節省的標示運費也不等於整體社會得到等額利益。本文故在分析之初區分私人選擇、全體買家的消費者剩餘，以及包含商家在內的總福利。對於補購必需品、改為合併配送而減少運輸趟次、或原先就有確定需求的商品，模型不應預設補購必然無效率。

1.2　研究問題與可辨識的理論貢獻

本文提出三個核心問題。第一，甚麼條件下，全員不加購與共同湊到免運門檻可以同時是穩定的純策略 Nash 均衡？第二，人數增加為何一方面降低每人的最小必要加購量，另一方面卻可能令等待別人出手更加合理？第三，當「免運」兩字具有額外主觀吸引力時，群體可能在甚麼區域內購買實際不值得的補單商品？這三個問題可以透過同一組參數得到明確而可反駁的理論回答。

本文將「免運湊單悖論」用作模型現象名稱，並非主張已發現某條普世行為定律。其候選貢獻，是把條件促銷的跳躍價格、購買增量的個人凸成本，以及多人之間固定比例分攤運費三者合在同一個可求解的博弈中。與一般聲稱「免運令人買更多」不同，本模型還預測，即使每個人有足夠集體節省空間，沒有明確協調機制時仍可能一件也不補購。這項結論必須以預先指定的可行加購品類和付款制度檢驗。

2　文獻回顧與研究定位

2.1　門檻運費與非線性促銷

Lewis、Singh 與 Fay（2006）的網上零售分析指出，運費安排會影響購買發生及訂單金額；其研究範圍包括免運和達標免運等促銷形式。Li、Sheng 與 Zhan（2023）從營運決策角度分析消費者為合資格免運而加購商品，以及平台應如何設計附加購物選項；這表示「補單」並非本文首次辨識的機制。本文與上述研究的差異，是不試圖求解零售商最優門檻，而把多名買家之間的運費分攤規則、獨立補單決策與協調均衡放在中心位置。

Huang、Shen 與 Liang（2019）討論達標免運政策的特徵如何關聯消費者支付運費的意願；Kulkarni 與 Yuan（2025）研究購物籃大小、促銷門檻及誘因類型對購物搜尋的影響。這些相關作品提醒，是否繼續搜尋商品和是否真的完成加購，屬於不同決策階段。本文為了突出均衡機制，先把可補購金額視為可選擇的連續變數；現實中商品離散、庫存有限及搜尋成本都可能改變可行集合，故後續須用離散商品菜單作敏感度檢查。

2.2　價格呈現、免費吸引力與心理帳戶

Morwitz、Greenleaf 與 Johnson（1998）研究價格分項呈現如何影響消費者處理附加收費；Shampanier、Mazar 與 Ariely（2007）研究標示為零的價格可能具有特殊心理反應；Thaler（1985）的心理帳戶分析則提供人們如何在決策中處理款項的概念框架。這些研究提供相鄰的行為理論，但不能單憑它們推論本文設定的「主觀免運倍率」在現實中必然大於一。該倍率純屬待測參數，其含義是受試者決策中對運費豁免的主觀效用與實際節省金額之比，必須以選擇實驗識別。

Chetty、Looney 與 Kroft（2009）的稅收顯著性研究示範，款項呈現與注意力會影響決策；Yi 等（2026）的限制式促銷公平性研究則說明門檻規則尚有公平感等心理面向。本文沒有把稅收研究等同於運費研究，亦不假設主觀倍率可以完全由一種認知偏誤解釋。實驗若發現主觀效應來自對配送速度或產品價值的改變，模型就須分別調整運費與商品估值，而不能把一切歸咎於「免費」字眼。

2.3　公共品、合作規範與後續成本

Samuelson（1954）及 Bergstrom、Blume 與 Varian（1986）提供公共品與私人自願供給的經濟分析背景。本文所稱「門檻公共品」只是一種可分享的運費豁免利益：補單商品本身仍由個人持有，並非典型不可排他的實體公共品。Fehr 與 Schmidt（1999）的公平偏好理論，以及 Fehr 與 Gächter（2000）的公共品合作研究，提示實際參與者可能考慮誰貢獻得多、誰得到較大好處。基準模型故意不使用公平效用，讓其影響可以在後續實驗被識別。

Shehu、Papies 與 Neslin（2020）將免運促銷與商品退貨行為連繫起來，提醒研究者增加購物金額未必等同增加長期保有或實際效用。本文把補單品的保有價值事前寫入成本函數，並不把退貨率當作已知常數。上述文獻可支持研究定位，卻不構成本文均衡不等式或圖形的外部驗證；引用者已核實的是 Crossref 書目元資料，未逐一重新審核每份研究的全文、樣本與所有識別假設。

3　理論框架、概念與可檢驗假設

3.1　分析單位、規則與效用的分離

假設一張正在結帳的共同訂單，參與人數為 n≥1，原定購物總額為 B，免運門檻為 L，且 B＜L，缺口 d=L−B＞0。原本想買的商品不受本輪行動影響，且未達門檻時運費固定為 f＞0，達標後消費者被收取的運費為零。基準採用每人均分運費，若沒有補單，每人支付 f/n。所有玩家同時選擇增加購物金額 x_i∈[0,d]，不允許退款、重複建單或跨平台拆單。由於多買超過缺口不提供額外免運，且假定額外加購有正成本，上限 d 並不限制最優反應。

補單金額 x_i 不應被完全當作損失。買回的商品可能有實際用途，故令購物增量的個人消費價值為 v_i(x_i)，以與現金同一單位衡量；其淨機會成本 c_i(x_i)=x_i−v_i(x_i)。為得到清楚的解析結果，基準限定補購的是邊際用途低於價格的候選商品，設 c_i(x)=k_ix+β_ix²/2，其中 k_i＞0、β_i≥0。這是局部成本近似，不代表任何商品售價愈高，必然越沒有用。若某件必需品的真實價值高於價格，便不能直接套用這個正成本假設。

主觀倍率 ω_i＞0 表示決策者對免運利益的感知權重；規範性理性基準為 ω_i=1。ω_i＞1 僅作為對「免費」顯著性過高的可檢驗假說，ω_i＜1 亦容許，代表運費不顯眼或重視其他成本。個別人的心理偏好可受到公平感、交易費、手續時間及商品搜尋難度影響，本稿暫時固定它們，以隔離門檻博弈效果。

3.2　可操作假設與理論預測

H1：所有參與者知悉同一免運門檻、既定運費及其分攤比例，基準沒有資訊不對稱。H2：付款與加購同時決定，沒有事前有約束力的加購協議。H3：每人的增量淨補單成本連續、單調遞增且凸；商品價值可能部分抵銷付款。H4：個人只有在集體加購至少 d 時，才取得與其運費分攤額相對應的免運收益。H5：失敗時的補購商品仍須付款及保留，不存在保證退款機制。H6：基準比較固定的同一筆配送訂單，商品需求及物流的真實資源成本可於福利擴充時另外量測。

基於 H1 至 H6，本文提出三個預測。P1：在成功補單對全體買家有正客觀淨收益時，仍可能同時存在全員不補單的均衡；提升協調程度會改變實際落在哪個均衡，而不一定改變價格。P2：同質參與者增加可降低合計最小補單成本，但等分免運利益也降低個別玩家「一人補足全部」的誘因。P3：提高主觀免運倍率可能讓人補到實際運費收益低於真實補單成本的狀況，但此推測須以誘因相容的實驗與客觀補單估值辨識。

3.3　核心符號及量測對應

參數 模型定義與假設範圍 未來可量測的實驗操作
n、d、f 拼單人數 n≥1；距免運差額 d＞0；原運費 f＞0 隨機配置群體大小、缺口與運費
x_i、v_i(x_i) i 人補單金額；增量商品使用效用 有價格的商品菜單與事前購買意願
k_i、β_i c_i(x)=k_ix+β_ix²/2 的邊際及曲率參數 多個金額級別的誘因化選擇估計
ω_i、t_i 免運感知倍率；個人可承擔的最大補單金額 運費呈現隨機化與選擇門檻
r_i、ℓ 商品的真實邊際資源成本；配送資源耗用 商家成本資料、配送和退貨記錄

表 1 中商品的現金價格與價值以相同尺度表述，但真實實驗不宜直接把問卷喜好分數與貨幣相加，須利用實際可兌現選擇或一致的支付意願量尺。n 是遊戲參與人數而不是網上商家全部顧客；d 和 f 應於每個情境先設定，免得補單途中門檻改變破壞共同知識的基準。

4　數學模型與均衡推導

4.1　個人最適反應及全員零補單

以不補購且維持原來運費為效用零點，玩家 i 在總補單 X=Σ_jx_j 時的主觀增量效用可寫為下式；指示函數在 X≥d 時為一，否則為零。式中的免運利益只是一項個人預期避免的標示運費，並不表示配送真的沒有成本。

ci(x)=kix+βi2x2,ki>0, βi≥0(1)c_i(x)=k_ix+\frac{\beta_i}2x^2,\quad k_i>0,\ \beta_i\ge0\tag{1}
Ui(xi,x−i)=−ci(xi)+ωifn1 ⁣{∑jxj≥d}(2)U_i(x_i,x_{-i})=-c_i(x_i)+\frac{\omega_i f}n\mathbf1\!\left\{\sum_jx_j\ge d\right\}\tag{2}

當其他人完全不加購，玩家 i 必須一人補足 d，才可能得到免運收益。任何 0＜x_i＜d 的行動都要付款，但無法過門檻，其效用嚴格低於 x_i=0；超出門檻的部分亦只會增加成本。因此僅須比較「零」與「完整補足」。每人都選零的向量為 Nash 均衡，當且僅當沒有人願意獨自跳過整個缺口，亦即所有人滿足下式。

x=(0,…,0) 為均衡  ⟺  ∀i, ci(d)≥ωifn(3)x=(0,\ldots,0)\text{ 為均衡}\iff \forall i,\ c_i(d)\ge\frac{\omega_i f}n\tag{3}

這個條件的重要處，在於它只檢查單人偏離，而沒有要求「全體人一起改變購物清單」。多人都同意共同補單更好，不能消除全員零補單的單方面誘因限制。當 ω_if/n 很低，單人承擔 d 的風險大於自己節省的運費份額，拒絕率先補單就可能是理性的均衡反應。

4.2　成功均衡的成本分擔與容量判準

考慮達標的純策略均衡。因為 c_i 嚴格遞增，如果總補單 X＞d，至少一名已加購者可以把 x_i 小幅減少而仍免運，從而增加效用。因此成功均衡必須剛好滿足 X=d。此時任何正出資者若把自己份額降至零，整單便跌破門檻並失去豁免；為使他不退出，個人成本不能超過其主觀免運份額。由於在成功狀態下增加加購只會增加成本，這同時也是他的無利可圖偏離條件。

成功均衡  ⟺  ∑ixi=d 且 ∀xi>0, ci(xi)≤ωifn(4)\text{成功均衡}\iff\sum_ix_i=d\ \text{且}\ \forall x_i>0,\ c_i(x_i)\le\frac{\omega_i f}n\tag{4}

將符合個人誘因的最大可補單金額定義為 t_i，即 c_i(t_i)=ω_if/n。假設 k_i＞0，當 β_i＞0 可直接解出 t_i；β_i=0 則成為線性成本的比例式。每個人只須加至自己的容量上限內，便不想退出。存在成功均衡的充分且必要條件，是這些上限的合計至少能填滿缺口；若容量不足，無論如何拆分金額都無法令每個人願意履約。

ti=2ωif/nki2+2βiωif/n+ki;βi=0 時 ti=ωifnki(5)t_i=\frac{2\omega_i f/n}{\sqrt{k_i^2+2\beta_i\omega_i f/n}+k_i};\quad\beta_i=0\text{ 時 }t_i=\frac{\omega_i f}{nk_i}\tag{5}
成功均衡存在  ⟺  ∑imin⁡(d,ti)≥d(6)\text{成功均衡存在}\iff\sum_i\min(d,t_i)\ge d\tag{6}

式（5）採用分母有理化後的形式，避免 β_i 接近零時兩個相近數相減的數值誤差；式（6）則適用於異質成本及主觀倍率。但成功均衡可以有多個分擔配置，本文不聲稱平均加購是唯一均衡。如果個別人在現實中可以先確認其他人承諾、改變運費分配或共享商品，整個誘因結構都會改變。

4.3　同質情況的解析分區與群體人數反直覺效應

令所有人具有同樣 k、β、ω，其中 k＞0、β＞0，成功均衡可以由每人加購 d/n 構成。由凸性，這也是固定缺口下合計淨補單成本最小的配置。設 C_n 為最小合計成本；基準下均分購物金額的條件恰好等同全體補單的主觀運費利益不低於 C_n，而全員零補單的條件則取決於一人獨力填滿缺口的成本 c(d)。

Cn=nc(d/n)=kd+βd22n(7)C_n=nc(d/n)=kd+\frac{\beta d^2}{2n}\tag{7}
成功均衡存在  ⟺  ωf≥Cn;零補單均衡存在  ⟺  ωf≤nc(d)(8)\text{成功均衡存在}\iff\omega f\ge C_n;\quad\text{零補單均衡存在}\iff\omega f\le nc(d)\tag{8}

由 k＞0、β＞0，對任何 n＞1 有 C_n＜c(d)＜n·c(d)。因此可以存在一段非空區域，兩種截然不同的行為皆滿足 Nash 最佳反應。若運費過低，沒有符合個人條件的成功配置；若運費高到足以誘使某人獨力補足，零補單便不再是均衡。模型所謂「悖論」正位於二者之間：共同合作在主觀效用上可行，但互相等待同樣沒有單方改變誘因。

Cnω≤f≤nc(d)ω  ⟹  成功及零補單均衡並存（等號處可有無差異）(9)\frac{C_n}\omega\le f\le\frac{nc(d)}\omega\implies\text{成功及零補單均衡並存（等號處可有無差異）}\tag{9}
∂Cn∂n=−βd22n2<0;∂[nc(d)]∂n=c(d)>0(10)\frac{\partial C_n}{\partial n}=-\frac{\beta d^2}{2n^2}<0;\quad\frac{\partial[nc(d)]}{\partial n}=c(d)>0\tag{10}

式（10）顯示，在數量連續化的比較靜態下，人數增加會降低有效合作所需的運費門檻，同時提高消除完全不合作所需的運費門檻。必須強調，這是「均衡存在區域」擴張，並不直接等於實際失敗機率必然隨人數上升；要估計哪個均衡被選中，尚須加入溝通、社會規範、先後決策或隨機行為假設。在 β=0 的線性極限，C_n=kd 不再隨人數下降，惟零均衡門檻仍會變動，故曲率對第一個效應是必要條件。

4.4　主觀「免費」權重與客觀消費者剩餘

對同質成員而言，使用 ω 判斷是否願意合計補單，是一項心理預期；實際貨幣利益仍然只有 f。若已成功且按最小成本分配，消費者整體真實增量剩餘為 f−C_n。當 ω＞1，而且 f＜C_n≤ωf，群體主觀認為補單值得，但合計主觀合理化的商品付款與真實使用價值相抵後，實際消費者總剩餘為負。這是本模型的第二個反直覺預測。

ΔCS=f−Cn;ΔU^=ωf−Cn(11)\Delta CS=f-C_n;\quad\Delta\hat U=\omega f-C_n\tag{11}
f<Cn≤ωf  ⟹  ΔCS<0≤ΔU^(12)f<C_n\le\omega f\implies\Delta CS<0\le\Delta\hat U\tag{12}

上述不等式不能自動被解釋成「人被騙了」。ω 也可能捕捉等待包裹的便利性、規避手續的心理利益或未被模型量化的真實價值；若這些是真正資源或偏好收益，就不能簡單用 ω=1 判斷個人錯誤。故未來研究應把可驗證的商品使用價值、配送成本與主觀情緒效用分開測量，並比較同一參與者在不同訊息呈現條件下的實際選擇。

4.5　成本最小化、異質偏好與真正社會福利

如各人 k_i、β_i 不同，固定缺口 d 的最小群體補單成本，是在 Σx_i=d、x_i≥0 下極小化 Σc_i(x_i)。對 β_i＞0 的內部活躍者，一階 Kuhn–Tucker 條件是 k_i+β_ix_i=λ，亦即邊際補單成本應相等；成本高的人可能完全不加購。這個結果是集中決策的成本最佳分配，不保證每位成員在均分免運收益下願意遵守；真正成功均衡仍須另經式（4）個別限制驗證。

xi∗=max⁡{0,λ−kiβi},∑ixi∗=d(βi>0)(13)x_i^*=\max\left\{0,\frac{\lambda-k_i}{\beta_i}\right\},\quad\sum_ix_i^*=d\quad(\beta_i>0)\tag{13}

進一步，商品價格中有部分是商家的收入，運費也是消費者與商家之間的付款移轉。設各人補單商品具有社會資源邊際成本 r_i，配送實際資源成本在達標前後分別為 ℓ₀、ℓ₁，則商家利潤與消費者剩餘相加後，社會淨變化不能直接寫成 f−C_n，而應把價格轉移相消後計算如下式。若只是同一配送任務改為免收標示運費，通常不能假定 ℓ₀−ℓ₁=f。

ΔSW=∑i[vi(xi)−rixi]+(ℓ0−ℓ1)(14)\Delta SW=\sum_i[v_i(x_i)-r_ix_i]+(\ell_0-\ell_1)\tag{14}

例如同質基準中，若 v(x)=(1−k)x−βx²/2、每一元新增商品的真實邊際資源成本假設為 r=0.70、且配送路線完全不變，則 n=4、d=12 時的 ΔSW=(0.65−0.70)×12−0.05×12²/(2×4)=−1.50。然而 r 與配送成本都不是觀察資料；若商品生產成本較低、購入品真有用途，或合單減少配送路線，總福利可以轉為正值。故「買家不划算」、「商家不賺錢」與「社會資源浪費」是三項不同命題。

5　假設數值分析與可重現圖表

5.1　基準設定與十個明示情境

本節只使用人為指定的 k=0.35、β=0.05、缺口 d=12，以及視情境而變的 n、f、ω。單位是抽象但可與金錢等值的效用單位；沒有用任何電商訂單、用戶問卷或企業成本估計校準。基準個別補滿十二元的淨成本 c(12)=7.80；若四人平分補購，各加三元，合計淨成本 C₄=5.10。當 f=8 時，四人成功湊單的消費者合計淨收益為 2.90，惟任何一個人單獨負擔整個缺口，其主觀免運份額只有 2，不能抵償 7.80，故零補單同樣是均衡。

假設情境 人數／缺口 運費／倍率 模型均衡與成功後真實買家淨收益
單人基準 1／12 8／1.0 僅成功；＋0.20
兩人協作 2／12 8／1.0 雙重均衡；＋2.00
四人基準 4／12 8／1.0 雙重均衡；＋2.90
八人共同購物 8／12 8／1.0 雙重均衡；＋3.35
低運費 4／12 3／1.0 僅失敗；−2.10（反事實達標）
高運費 4／12 32／1.0 僅成功；＋26.90
高顯著性 4／12 4／1.6 雙重均衡；−1.10
無顯著性 4／12 4／1.0 僅失敗；−1.10（反事實達標）
較小缺口 4／6 4／1.0 雙重均衡；＋1.675
較大缺口 4／16 8／1.0 雙重均衡；＋0.80

表 2 的「僅失敗」表示在特定參數下不存在可維持的成功純策略均衡，其負淨收益欄是如果強行達標的反事實成本，並不是已發生的虧損。相反，「雙重均衡」只表示兩種配置均滿足無利可圖的單人偏離條件，沒有提供實際出現的機率。十組情境與所有底層數值均由附屬 simulation.py 直接產生的 CSV 核對，且可以修改參數重新計算。

5.2　人數、門檻與心理倍數的比較靜態

圖 1　假設 d=12、k=0.35、β=0.05、ω=1 下，成功均衡與零補單均衡的運費邊界；陰影為共存區，虛線為 f=8。資料來源：作者假設參數的解析計算。

圖 1　假設 d=12、k=0.35、β=0.05、ω=1 下，成功均衡與零補單均衡的運費邊界；陰影為共存區，虛線為 f=8。資料來源：作者假設參數的解析計算。

圖 1 顯示由 n=1 增至 n=12 時，成功均衡所需的最低運費 C_n 隨規模下降，零補單仍可成立的最高運費 n·c(d) 卻線性上升。這不意味人愈多必然買得愈少；它說明均衡選擇需要另有協調制度。當有人負責把缺口精確分派給各人並取得可信承諾，群體有機會採用低成本的成功配置；在沒有承諾、同時決策的情況下，零補單可以一直自我維持。

圖 2　固定 f=8、ω=1，在不同人數 n 與免運缺口 d 下的純策略均衡分區。資料來源：作者假設參數的解析網格；不表示觀察到的選擇比例。

圖 2　固定 f=8、ω=1，在不同人數 n 與免運缺口 d 下的純策略均衡分區。資料來源：作者假設參數的解析網格；不表示觀察到的選擇比例。

圖 2 把缺口與群體規模共同改變。缺口太高時，需要的商品加購損失超過集體可節省運費，即使精心分配亦無成功均衡；缺口較低時，一位參與者可能願意直接補足，零均衡遂消失。中間區域有兩種均衡，因而同樣的運費政策可以配合不同群聊協商方式而產生不同結果。圖中各格是理論判準分類，沒有把均衡判準誤當個別購物者的行為概率。

圖 3　固定 n=4、d=12 的主觀運費顯著性敏感度：倍率 ω 提高時，維持成功均衡的實際費用門檻降低；橫線為真實補單成本。資料來源：作者假設參數。

圖 3　固定 n=4、d=12 的主觀運費顯著性敏感度：倍率 ω 提高時，維持成功均衡的實際費用門檻降低；橫線為真實補單成本。資料來源：作者假設參數。

圖 3 特別展示 f=4 的情況：真實合計成本 C₄=5.10，高於節省運費四元，但若 ω=1.6，主觀節省利益為 6.40，成功補單均衡已可存在。即使如此，消費者實際合計仍有 1.10 的負剩餘。這一差距來自本節預先設定的心理倍率，而非從任何真實顧客推斷出存在免費錯覺。只有用不同呈現文字隨機化、但保留相同實際付款，才能初步區分顯著性和價格收入效應。

5.3　數值方法、再現性與分類邊界

圖 1 及表 2 由解析式直接求值，圖 2 對每一個 n、d 網格檢查式（8）的兩個不等式，圖 3 則利用 C_n/ω 作敏感度曲線；不需要設置隨機種子，因為基準研究不存在隨機抽樣。本研究程式另對不同群體大小執行個人容量反解、凸性等式及均衡條件的數值核對。這種核對屬內部數學一致性檢查，不能取代實驗資料，也不能保證本文的效用近似符合現實人群。

當 f、d、k、β 或 ω 在估計誤差範圍內變動，臨界線附近的均衡分類會非常敏感。等號處存在無差異決策，簡單的浮點精度差異可能影響「僅」或「共存」標籤，因此實際模型檢驗應事先固定容差、價格最小單位與觀察決策時限。若現實可買的商品只有五元和七元兩種，無法精確補三元，便須使用整數最佳化而不是本模型的連續解。

6　討論：協調、商品價值與政策意涵

6.1　並非每種湊單都等於浪費

本研究首先糾正一種常見的直覺：只要買多了商品，便一定得不償失。當買家本來就會在未來購買該商品時，新增金額的淨成本可能非常接近零，甚至因促銷或提前購買而帶來額外好處。公式（1）刻意把商品使用價值從付款中扣除，目的是避免把「消費額」誤當「純粹損失」。即使是完全理性的個人，只要能藉加購省下較大運費，亦可能有充分理由補單。真正需要調查的，是購買後是否實際使用、是否延誤其他需求，以及誰承受持有及退貨成本。

同理，群體補單的得失取決於運費如何分配。有些群組採用均分運費，有些則按原本商品價格分攤，亦有人願意代付以維持朋友關係。後者可能令 x_i 與個人的運費受益份額失去比例關係。一般異質式（6）可以容納不同 ω_i 和成本函數，但目前的 f/n 必須改成個別實際可節省額 f_i。沒有記錄分攤協議的研究，不宜以購物者之間的不平均加購直接推論有人搭便車。

6.2　人數更多為何同時方便合作與維持不合作

更值得注意的是人數效果的雙重方向。凸成本意味每個人分一小部分通常比某個人單獨吞下全部缺口便宜，因而多人合作可以節約總成本；但如果每人只獲得總運費的 n 分之一，單獨補足門檻的回報反而被稀釋。這就產生一種日常語境下的協調失靈：大家都不是完全拒絕合作，而是不願意成為唯一承擔全部補單風險的人。要檢驗這種說法，必須在控制共同缺口及運費後，觀察人數變動對個人承諾、總補單與最終付款的聯合影響。

有效介入不一定需要更大折扣。一個可以保留各人補單承諾、並在總額不足時自動取消加購的群組購物機制，可能把「先買了但仍付運費」的風險改為「大家都有承諾才執行」。在同質且承諾可執行、無額外協調成本的情況下，只要 f≥C_n，就可以把低成本合作方案實現；但如果商品不可共享或個別購買者不接受指定品項，便不能在沒有側支付和轉售機制下把此方案當成必然政策效果。

6.3　心理顯著性與公平感可能影響均衡選擇

本文把免運顯著性集中放入 ω 參數，是為了得到清楚的邊界。然而公平感可能同時改變個人是否願意跟隨提議者、是否信任其他人履約，以及即使成本略高也願不願意替朋友買單。若人們能直接從幫助他人得到效用，效用函數應另加相互依存的項目，而不能單用 ωf 代替。將這些動機拆分可以降低把多種心理機制錯誤合併的風險，亦能提出更細緻的群際比較。

本文也提醒商家，「增加籃子金額」與「改善顧客福利」不會邏輯上必然同向。商家可能因新增商品產生毛利，但須承擔免運支出、退貨及客服費用；買家的初始運費則可能反映配送的部分固定成本。沒有企業成本資料及商品使用後追蹤，不應直接把購物額增加當成社會收益。正確政策評估至少應分列顧客真實福利、商家利潤及物流外部性，並清楚標示需要估計的反事實。

7　研究限制與可能反例

第一，本文是概念研究，尚未有真實拼單樣本，也沒有估計任何參數的分布，因此無法聲稱某一比例的群組會陷入雙重均衡。第二，連續可分割的補單金額只是近似；商店中的商品有離散價格、最低訂貨量與類別偏好。第三，完全資訊且同時出手的假設可能與群聊中的先後發言、私訊協調、付款保證及群組管理員分工不一致。若有可信承諾，零補單均衡可能被制度直接排除；若大家都無法再找到需要的貨品，則成功均衡或根本不存在。

第四，正而凸的淨成本可能不適用於真正必需的用品、團購優惠、耐用品轉售或批量折扣。第五，單一 ω 無法區分零價格偏好、配送便利、搜尋成本及對商家的公平感。第六，沒有考慮收入限制、臨時付款失敗、商品缺貨、預購退款、環境影響及不同時期的補購需求。第七，純策略均衡的存在性不等於均衡選擇機率，心理和社會互動研究不能只靠數學存在定理代替因果觀測。這些限制都構成模型可被反駁的具體邊界。

8　未來研究：可預註冊的識別設計

第一階段可設計誘因相容的線上拼單實驗，隨機指派人數 n∈{1,2,4,8}、缺口 d、運費 f 與是否提供可信的集體條件承諾。受試者先在有真實價格、可以領取或換成現金的商品菜單中選擇補購品，並在達標和未達標情況下執行預先承諾的付款規則。事前蒐集每件物品的個人支付意願或無差異價格，用於估計個人增量成本；如此可以檢驗式（3）及式（6）的行為邊界，而不用假裝模型指定的 k、β 已被量度。

第二階段在相同實際運費下隨機化「免運」文字、顯示運費分拆方式及提醒商品可能閒置的資訊，以探測 ω 是否隨呈現方式改變。同時以私下報價量測是否願意由自己補足全部缺口，並記錄說話先後、是否提出平均分攤、是否有人反悔、最後購物車及數星期後商品是否被使用。主要結果可以預註冊為達標率、平均新增成本、真正的消費者剩餘及不同均衡區域內的協調比率；不得事後將任何相關性描述為已識別的免運心理因果效果。

第三階段可在取得資料後比較同步博弈、順序領導者模型、具條件承諾的機制與異質效用模型；在商家同意分享配送成本與退貨數據的條件下，才能進一步研究總社會福利與物流外部性。若實際結果顯示人數增加穩定提高單人獨自填補缺口的意願，且排除了商品價值及分攤規則的變化，就會對本文的核心解釋形成有力反例。

9　結論

本文以免運湊單為日常社會互動切入點，建構了一個運費利益共享、商品加購成本私有、且優惠具有明確門檻的純策略博弈。嚴格推導表明，全員零補單是否可維持，取決於任何一人獨自填滿缺口是否值得；而成功均衡是否存在，則取決於各人願意承受的加購金額是否合計足夠。在同質凸成本設定下，兩者可能同時成立，且人數增加可以擴張共存的參數區域。將主觀免運權重與實際節省的運費分開，又可識別一個實際消費者剩餘為負、主觀上仍願意達標的區域。這些是指定假設下的數學命題，並非已證實的消費行為定律。新理論的研究價值，須交由有真實商品價值、運費分攤及事前承諾操作的實驗檢驗；商家與物流成本亦須納入，才能判斷整體社會福利。

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