Splitting delivery fees

The Cooperative Game of Shared Delivery Fees

研究編號： Paper_004　完成日期： 2026-10-15
資料類別： E（純理論推導）、D（可重現合成模擬）；沒有真實參與者資料。 跨學科： 合作博弈、運籌學　Keywords： 合作成本博弈；Shapley value；精確排列枚舉

方法聲明：本文參數為合成設計。若未經獨立現場驗證，不得把模型數值解讀為真實社會發現。

中文摘要

四人合併點外賣可節省固定送餐費，但誰住得更遠往往使均分失去直覺公平性。本研究設運費為固定費 24 單位加每公里 2 單位的最遠配送距離附加費；四戶距離分別為 1、3、4、7 公里。利用合作博弈的 Shapley value，將每人邊際加入成本在全部 $4!=24$ 個加入順序上平均。研究得到四人的分攤為 6.50、7.83、8.83、14.83，合計 38，與聯盟總費相同。相比各付 9.50，Shapley 分攤使較遠住戶承擔較高增量成本；但是否被人視作公平仍需實證調查。

Abstract

How should four households divide a common delivery charge? We define coalition cost as a fixed charge plus a surcharge proportional to the furthest delivery distance. For distances 1, 3, 4, and 7 km, fixed charge 24, and unit surcharge 2, the grand-coalition cost is 38. An exact enumeration of all 24 orderings yields Shapley allocations of 6.50, 7.83, 8.83, and 14.83. The allocation satisfies efficiency and captures marginal distance contributions. It is an axiomatic cost-sharing calculation, not an empirical claim about perceived fairness or platform pricing.

關鍵詞 / Keywords： 合作成本博弈；Shapley value；精確排列枚舉

1. Introduction — 引言

朋友四人拼單，平均每人付九個半運費最省事，但住在最遠處的人往往令司機增加行程；反之，若讓最遠者支付全部額外成本，固定運費又應如何分配？問題看似只是加減法，實則涉及聯盟形成、誰先加入和成本可歸因性。單純比較各人住得多遠，不能自動得到唯一公平答案。

本文提供一個具有可重現數值的合作博弈答案。研究把共同運費拆成「只要有人訂便產生的固定費」及「取決於最遠目的地的額外成本」，使用 Shapley value 對每一位參與者在所有加入次序的成本貢獻取平均。這個分配方法有明確數學原則，也暴露了其限制：司機未必只因最遠距離而付成本，真實配送路線是旅行商式的網絡問題。

2. Literature Review — 文獻回顧

Shapley（1953）定義由邊際貢獻平均而來的合作博弈分配值；Dubey（1982）在機場跑道費用問題重新討論相似的成本分攤原則，指出不同規模使用者共享固定設施的分攤可由公理確定。Fehr 與 Schmidt（1999）以及 Bolton 與 Ockenfels（2000）研究收入或效用相對公平的行為經濟動機，提醒我們公理公平未必等同主觀公平。

本文並不使用上述行為研究來預測四戶一定願意接受 Shapley 分攤。本文可證明的是在定義的成本函數下，分攤滿足效率性與對稱等數學要求；需要問卷或真實選擇實驗，才能檢查分攤方案的社會可接受度。

3. Research Questions and Hypotheses — 研究問題與假設

R1：在固定費與最遠距離共同決定運費時，均分與平均邊際分攤會相差多少？R2：按加入次序計算的增量費用是否會導致任意分攤，而平均化之後是否能恢復次序中立性？R3：這一模型在哪些配送結構下可維持經濟合理性？

H1：Shapley 分攤合計等於大聯盟的精確總成本。H2：距離相同的住戶應有相同分攤，距離更遠的住戶在本模型下不會分攤更少。H3：固定費只按成員數均分，距離部分則按各個距離門檻的邊際責任分配。

4. Theoretical Framework — 理論框架

把四戶視為玩家 $N=\{1,2,3,4\}$ ，任意非空子集 $S$ 都能獨立形成拼單聯盟。 $C(S)$ 是該聯盟總配送成本；空聯盟成本為零。這是可轉移效用的成本博弈，貨品價格與配送費分開計算，每戶可以跨聯盟比較自己的負擔。Shapley value 寫成平均邊際成本；因此分攤不依賴實際誰最早在聊天群組提出訂餐。

固定運費是一個公共啟動成本，應由參與者共同支付；最遠配送距離則使一些較近成員加入時幾乎沒有提高配送成本。這種成本具有次模性，意即先加入者可能承擔更多而後加入者邊際成本較低，進而產生成本分享的需要。

5. Methodology — 研究方法

選用刻意簡化的參數 $F=24$ 、每公里附加費 $\alpha=2$ 、距離 $d=(1,3,4,7)$ 。枚舉四名住戶的全部 24 個加入順序，對每一順序逐人計算加入前後聯盟成本差；將每個人的 24 個邊際值取平均。作為對照，計算均分 $C(N)/4$ 和每個人的獨立配送成本；另按聯盟人數計算所有子聯盟的平均成本。

所有數字均屬 E（確定性數學計算）。程式使用排列枚舉，無蒙地卡羅抽樣需要，因此沒有將任何小數誤差拿去進行統計檢定。data/allocations.csv 保留距離、Shapley、均分和獨立訂餐成本；analysis.py 可以重新產出圖表。

合作博弈首先需要一個明確的成本函數。本文把每個非空聯盟的費用視為固定起步費加上到最遠地址的合成里程費，並未測量任何外賣平台的實際收費規則。若現實平台存在動態定價、指定時間送達、優惠券或體積加價，模型就必須先改寫 $C(S)$ ；不能在成本構成沒有釐清前，直接把一筆總金額分給住戶並聲稱已得到公平答案。

Shapley 方法將每位住戶在所有可能加入次序中的邊際成本平均。沿着任何一個固定次序，後續加入者引起的成本增量加總，恰等於完整聯盟的成本，因為中間聯盟成本會互相抵消。四人有 $4!=24$ 個次序，故可完整枚舉而不需蒙地卡羅近似。這也解釋為何效率性不是偶然的數值發現，而是邊際成本分攤的數學結構。

固定費與里程費可以分開理解。所有玩家在排列中成為第一個加入者的概率相同，因此每位平均負擔固定費 $F/n$ 。若將排序後的距離分成逐段增量，任何一段只有當首位達到該距離的住戶加入時才會造成新的成本，而達標的各住戶有同等機會成為第一位。因此每段增量會由所有需要該段路程的住戶共同分攤。把各段相加，便得到特殊距離模型的閉式結果。這項分層論證可作精確排列枚舉以外的獨立驗證。

6. Mathematical / Computational Model — 數學或計算模型

定義聯盟費用為

C(S)=\begin{cases}0,&S=\varnothing,\\ F+\alpha\max_{i\in S}d_i,&S\neq\varnothing.\end{cases}

對每位住戶 $i$ ，其 Shapley 分攤為

\phi_i=\sum_{S\subseteq N\setminus\{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!} \left[C(S\cup\{i\})-C(S)\right].

這個權重等於在等可能的所有加入排列中， $S$ 恰好先於 $i$ 加入的概率。每個排列上的邊際成本會望遠鏡相消，總和為 $C(N)-C(\varnothing)$ ；再取平均便嚴格得到效率性

\sum_{i=1}^n\phi_i=C(N).

當距離升序排列 $d_1\leq\cdots\leq d_n$ ，令 $d_0=0$ ，有另一種易於解釋的閉式解：

\phi_i=\frac{F}{n}+\alpha\sum_{j=1}^i\frac{d_j-d_{j-1}}{n-j+1}.

推導是把最大距離拆為多層門檻 $d_j-d_{j-1}$ 。某一層只由距離至少 $d_j$ 的 $n-j+1$ 名住戶觸發，Shapley 將該層成本均分給這些可能觸發者；固定費由所有人平均承擔。此式讓「最遠住戶為何多付」不再只是道德直覺，而是明確的邊際成本分解。

費用函數選為 $C(S)=F+\alpha\max_{i\in S}d_i$ （非空聯盟）具有兩層結構：所有參與者共同享用固定啟程成本，而最遠地址決定額外里程成本。把各住戶距離依小至大排成 $d_1\leq\cdots\leq d_n$ ，並設 $d_0=0$ ，則最遠距離可拆成多個增量 $d_j-d_{j-1}$ 。第 $j$ 段里程只在聯盟中存在至少一名距離達到 $d_j$ 的人時才需要；這群人的數目為 $n-j+1$ 。在對加入次序採均勻排列的 Shapley 原則下，每位相關住戶平均承擔這段新增成本的 $1/(n-j+1)$ 。

因此，第 $i$ 名住戶的分攤額為固定費 $F/n$ ，加上前 $i$ 段里程增量經對應人數分攤的總和。這種分層表示比單純枚舉 24 個排列更易於溝通，也提供獨立驗證：每段距離增量會被所有達標住戶分攤一次，總和恰等於 $\alpha d_n$ ；固定費則一共收回 $F$ 。故 $\sum_i\phi_i=C(N)$ 。這是數學上的效率公理，而非聲稱收費方法必然讓每個參與者主觀滿意。

若有兩名住戶同距離，對稱性要求二者在本模型中有相同分攤；分層公式亦會因對應增量為零而保留這個性質。若固定費為零，只剩距離責任；若所有距離完全相同，分層算法返回平均分攤。這些邊界情形可作模型的單元檢查。對更複雜的路徑成本，則必須重新定義每個聯盟的 $C(S)$ ，不可把這個特殊分層公式當作所有外賣配送的通解。

7. Results — 研究結果

全員聯盟的費用是 $24+2\times7=38$ 。均分每戶 9.50。Shapley 分攤依距離升序為：6.50、7.8333、8.8333、14.8333，總和恰為 38。最遠住戶較均分多付約 5.33，最近住戶少付 3.00。圖 1 比較四人的均分與 Shapley 結果；圖 2 顯示不同聯盟規模的平均總費；圖 3 顯示各人在不同加入次序下的邊際成本離散程度。

可注意最近住戶 6.50 的分攤包含固定費四分之一（6.00）和最初一公里的比例成本（0.50）。最遠住戶除了同樣的固定費、較短距離門檻分攤，還要承擔最後 3 公里所新增的完整 6 單位成本。每人的費用均低於單獨配送成本 26、30、32、38，因而在這組參數下，每人都有經濟誘因參加大聯盟。

模型圖表及數據來源

圖 1　Shapley 分攤與平均分攤 圖 1：Shapley 分攤與平均分攤 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 2　不同合作規模下平均配送成本 圖 2：不同合作規模下平均配送成本 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 3　各成員在加入序列中的邊際成本 圖 3：各成員在加入序列中的邊際成本 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

8. Discussion — 討論

這項研究揭示「完全平均」與「按邊際責任」是兩種不同公平公理。Shapley value 給予所有可能加入次序相同權重，能避免由群組中誰先說「我落單」決定付款。但它未必符合每一人的倫理判斷，亦不會自動處理特定住戶的經濟困難。若學校外賣服務重視可解釋性，門檻分層公式是一種易於向參與者展示的方法。

在路線型配送中，成本通常不只取決於最遠點，而是各地址之間的行車路徑、停車時間與司機返程。把 $\max d_i$ 換成最佳訪問路徑長度後，遊戲可以保留 Shapley 原則，但需要先解決每個子聯盟的路由最佳化問題，計算複雜度也隨人數急增。四人可精確枚舉，十多人則可能需要排列抽樣。

對四人聯盟，Shapley value 是一種把全部加入順序平均的責任分配，與平台實際結算時採用的「誰後加入誰付差額」不是同一種規則。它的獨特之處在於結果不依賴談判時的先後發言順序。若只按距離比例分攤總費，較近住戶雖然受益於共用配送，也可能過度少付固定費；反之完全均分則忽略較遠地點造成的額外行駛。使用哪種公理須先確定機構關心的是平等待遇、邊際成本還是鼓勵組團的激勵。

本文的所有住戶均低於各自單獨叫外賣的費用，這是本組合成參數下的參與誘因。實際應用還要評估子聯盟是否有動機退出而自行組團，不能只檢查「獨立配送比現在貴」。例如兩名相距相近的人或許能另組一單，並形成與原來四人分攤額不同的成本。這涉及合作博弈的核心、聯盟穩定及議價權，不由效率性一項自動保證。可枚舉所有非空子聯盟，比較其總分攤與獨立成立該聯盟的費用，再討論穩定性。

若路線存在多個方向，費用可能與最短路徑巡迴、停車時間及餐點重量相關；這時成本合作博弈需與旅行推銷員或車輛路由最佳化結合。研究可先用公開地圖構造匿名位置和透明費率，測試不同分配方法在效率、最大個人負擔與穩定性之間的取捨，而不應把本文的四戶示範說成市場上的公平收費標準。

補充：從邊際距離看分攤數字。 四戶最遠距離依次是 1、3、4、7 公里，將路線分為長度 1、2、1、3 的四段。每一段的里程費只由需要走過該段的住戶共同分攤：第一段四戶共同使用，第二段只有後三戶使用，第三段只有後兩戶使用，最後三公里由最遠的一戶使用。固定費 24 先由四人各負擔 6；里程部分則依次為所有人加 0.5、後三戶各加 $4/3$ 、後兩戶各加 1、最後一戶加 6。由此立即得到 6.50、7.83、8.83、14.83 的 Shapley 分攤，與枚舉二十四個排列所得完全一致。此分段解釋提供一項比單純列出公式更有力的核查。

對成本博弈，可進一步問是否有部分住戶退出聯盟反而更便宜。成本核心（cost core）的基本條件為所有成員負擔總和等於 $C(N)$ ，而任意子聯盟 $S$ 的負擔總和不超過該聯盟自行配送的成本 $C(S)$ 。在本案例，固定費分攤及逐段里程分攤都可逐段驗證此條件：某子聯盟對每一段最多負擔該段全部成本，固定費分攤亦不超過另起一單須付的固定費。這使本特例的分攤具有一種「沒有子聯盟因價格而必然想退出」的穩定性；這不是對任何平台運費函數都成立的通則。若存在負的優惠門檻、不同方向的繞路成本或車輛容量限制，需要重新核對全部子聯盟不等式。

效率與公平還有不同維度。距離較遠者付較高費用，符合按增量成本分擔的直覺；但最遠住戶若收入較低，Shapley 公理本身不會自動補償支付能力差異。若政策目標包含負擔能力，可以先以 Shapley 成本額作透明基準，再另外設轉移支付；轉移支付應在制度說明中列明來源，以免讀者錯誤以為原費用函數已把收入因素計入。對比簡單平分、按距離比例分攤與 Shapley 分攤時，應分別報告效率、對稱、邊際誘因及退出誘因。

此數值案例是極簡的單一路線問題，不能用來評價所有配送平台是否公正。任何落地版本應先建立地址間的實際道路網、外賣員起點、停靠服務時間與能否合單的限制，再解算各個子聯盟的配送成本。如果直接把直線公里數當作複雜路由的成本，對某戶的「多付」或「少付」判斷便失去可追溯的行為意義。

9. Limitations — 研究限制

假設所有住戶位於同一配送方向，費用由最遠距離決定，忽略地圖道路網、派單平台規則、重量、樓梯和配送時間窗。模型未提供實際距離資料；24 和 2 都是合成情景參數。公平性的社會接受程度沒有被問卷量測，不能宣稱 Shapley 方案在真實社群中必然更受歡迎。

10. Conclusion — 結論

對四戶距離為 1、3、4、7 公里的合成拼單情景，Shapley cost sharing 給出 6.50、7.83、8.83、14.83 的精確成本分攤，總額 38，既考慮共同固定費，也考慮最遠配送距離造成的增量成本。這是可檢驗的公理式分配方案，未等於所有情境的唯一公平答案。

11. Future Research — 未來研究方向

下一步可把路網配送轉化為路由最佳化合作博弈，比較 Shapley、平均分攤、距離比例及最小最大不滿意度。利用真實平台公開費用規則與經匿名處理的地址距離資料，可以測試哪種方案較能防止住戶臨時退單，以及分攤方式是否影響長期拼單合作。

Appendix — 附錄

完整 Shapley 算法將排列視為可能加入次序，對每名玩家的邊際成本取算術平均。所有 24 個加入序列都包含於 analysis.py 的迴圈邏輯，可透過 $\sum\phi_i=38$ 的程式斷言檢查結果。

本案例可用三層核對。先為所有非空子聯盟計算費用，確保全體聯盟總費是 38；再對每個排列求每位住戶的邊際成本，逐排列檢查四人的增量和等於 38；最後將同一住戶的 24 個增量平均，並與分層公式對照。若只核對總和而沒有對照各戶份額，某些分攤錯誤仍可能互相抵銷而未被發現。

在只有一名住戶時，Shapley 分攤等於單人配送費；若所有住戶距離完全相同，模型的對稱性要求同額分攤；若里程費率趨近零，所有人平攤固定費。這些邊界情景可與四戶數據一起作單元測試。研究還可檢查任何小聯盟是否因分攤額過高而有動機退出，因為個別參與誘因與所有子聯盟的穩定性並非同一種條件。

外部效度的主要限制來自路線幾何。最遠距離不等於真實送餐車的最短可行路線；當四個地址分佈於不同方向，可能要解旅行推銷員或車輛路由問題才能正確估算費用。本稿的四個距離是合成情境，所有「公平」解讀均應相對於事先選定的公理和費用規則。

在模型中，距離最遠者無法把固定起步費全部推給其他人，這是效率與對稱條件共同造成的；然而共享成本的結論還依賴所有住戶確實同意合單。如果任意一人單獨取消訂單，剩餘聯盟的成本函數就應重新計算，不能保留原先的四人 Shapley 份額再簡單扣除一行。四人的全部子聯盟一共有十五個非空集合，小型案例適合直接列舉檢查退出誘因，但對大型外賣團，聯盟數按 $2^n-1$ 增長，精確計算可能迅速昂貴。

一個可比較的替代方案是先定義「一人獨立訂餐」的成本，再為每個加入者分配實際節省的固定費與路線成本。這會把問題由成本分配變成合作節省額分配，需再次檢查所採公理及基準是否一致。兩種表述若採相容的特徵函數可以互相轉換，但不能在沒有明示基準時把節省百分比誤作 Shapley 費用份額。若改以較多住戶作延伸，逐一列舉加入順序需要處理 $n!$ 個排列；亦可採用子聯盟邊際費用與組合權重的精確計算，涉及 $2^n$ 個集合。兩者在四人案例應得同樣結果，大型問題則可能需要近似抽樣及誤差評估。

12. References — 參考文獻

Shapley, L. S. (1953). A value for n-person games. In H. W. Kuhn & A. W. Tucker (Eds.), Contributions to the theory of games, Volume II (pp. 307–318). Princeton University Press. https://doi.org/10.1515/9781400881970-018
Dubey, P. (1982). The Shapley value as aircraft landing fees—revisited. Management Science, 28(8), 869–874. https://doi.org/10.1287/mnsc.28.8.869
Fehr, E., & Schmidt, K. M. (1999). A theory of fairness, competition, and cooperation. The Quarterly Journal of Economics, 114(3), 817–868. https://doi.org/10.1162/003355399556151
Bolton, G. E., & Ockenfels, A. (2000). ERC: A theory of equity, reciprocity, and competition. American Economic Review, 90(1), 166–193. https://doi.org/10.1257/aer.90.1.166

本文是虛擬學術研究所的原創模型演練；它不是實地研究或同行評審期刊論文。所有模擬數值均可在同一資料夾的 data/summary.json 與程式中核對。