** Three-Level Poisson-Approximation Certificates and Exact Variance Envelopes for Box-Constrained Bernoulli Sums with Fixed Means: An Extension of Hong Kong M1 Mathematics

摘要

香港中學文憑考試數學延伸部分單元一（M1）介紹二項分佈、泊松分佈及近似思想；官方課程闡釋指出二項試驗要求相同成功機率及獨立性。當實際問題只有各次成功機率的個別區間和固定期望總數時，非同質伯努利總和不再服從一般二項分佈，隨意代入一個代表機率亦不能提供可核驗的泊松近似誤差。本研究考慮獨立的 $X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p_i)$，其中 $l_i\le p_i\le u_i$、$\sum_i p_i=\lambda$；將既有單變量伯努利—泊松總變差距離轉化為三個可比較、對整個可行多面體成立的上界證書：二次型 $Q$、加法型 $H$ 與利用獨立最大耦合的乘積型 $C$。本文完整證明三層證書的上下關係，並證明其全域最大值可由至多一個自由座標的有限頂點證書算出；利用裁切水位填充求得 $Q$ 的唯一極小點，以及由此導出的精確、可達變異數區間。提出具有有理數外包誤差的指數及真實總變差驗算方法，清楚區別「上界函數的最壞值」與「實際機率分佈誤差的最壞值」。在三次試驗、成功機率上限各為 $1/2$、總期望為 $1$ 的人工例子中，最大二次、加法、乘積證書分別約為 $0.500000$、$0.393469$、$0.354765$，而達到乘積證書最大值的指定分佈，其真實總變差距離約為 $0.198181$。研究保留既有 Hoeffding、Le Cam、Poisson-binomial 及凸優化理論的優先性；貢獻限於這類帶不對稱個別區間的教育導向形式化計算規格。沒有學生觀測、教學因果證據或全球首創性的完整查證。

**關鍵詞：**香港 M1；泊松近似；非同質伯努利；總變差距離；固定期望；耦合；區間最佳化；數學證書。

Abstract

Hong Kong's Mathematics Extended Part Module 1 introduces binomial and Poisson distributions, with the official binomial model requiring independent trials and an invariant success probability. This theoretical working paper considers an advanced extension involving independent but heterogeneous Bernoulli trials whose probabilities belong to individual intervals and sum to a fixed mean. Building explicitly on classical coupling and Poisson-binomial approximation, it develops three nested, family-wide total-variation upper certificates: a quadratic sum, an additive exact one-trial coupling bound, and a sharper product bound. Their maxima over the constrained probability polytope admit finite vertex certificates with at most one unpinned coordinate. A clipping or water-filling construction supplies the unique quadratic minimizer and an exact attainable variance interval. Rational arithmetic with outward Taylor enclosures separately checks certificate values and actual Poisson-binomial total variation. A constructed three-trial example yields maximum quadratic, additive, and product certificates of approximately 0.500000, 0.393469, and 0.354765, respectively; its displayed product-certificate witness has an actual total-variation distance of approximately 0.198181. These are bounds on a model family, not a characterization of the maximum true approximation error. The contribution is an auditable mathematical and instructional formulation under specific interval constraints, without a claim of globally novel probability theory or empirically verified educational benefits.

Keywords: Hong Kong M1; Poisson approximation; Poisson-binomial distribution; total variation; bounded simplex; coupling; exact arithmetic; mathematics education.

1. 引言

中學概率教學經常以「試驗次數多而個別成功機率小」解釋為何二項分佈可以由泊松分佈近似。然而，這句口語判斷並未回答一個可計算的問題：假如每次試驗的成功機率只知落於不同的範圍，且只知道整體期望出現次數，是否可以對所有符合資料的分佈，保證「近似所犯的最大可能誤差」小於某個明確數字？如果課堂只檢查一個方便的中心機率，得到的數值至多證明那一個參數選擇，不能推論其餘參數。

香港教育局《Explanatory Notes to Senior Secondary Mathematics Curriculum: Module 1》（2009，2018 年更新）第 24 頁明列二項試驗的四項特性，包括「各次成功機率不變」與「各次試驗獨立」；第 25 頁則討論泊松分佈，並提及在試驗次數大、成功機率小時的二項—泊松近似。本文考慮的 $p_i$ 可各不相同，因此是從正式 M1 概念出發的高階數學探究，並非宣稱 Poisson-binomial 是 M1 必考內容。教師可選用兩或三次試驗的版本，引導學生比較個別上限、固定平均、數學上界及真實誤差之差異；然而，相關認知成效及課室適切性仍須實證檢驗。

本篇研究具體回答四個問題。其一：如何在不計算全部泊松—二項分佈機率的情況下，為任何容許成功機率保證總變差距離？其二：當 $\sum p_i=\lambda$ 綁定所有坐標時，如何證明誤差上界函數的最大值並給出一個達標見證？其三：該函數的上界能否再嚴格改善，與真實分佈誤差有多大落差？其四：同一組資料能否同時對成功數的變異數提供可達到的精確雙側範圍？

全篇使用可逐行審閱的證明及標明固定種子的人工算例，使用有理算術避免浮點取整假象；不建立學生能力、試題難度或香港學校的統計模型，因為沒有這些真實資料。所有表中可重現的人工數據只是數學測試，不應解讀為教育評估。

2. 文獻綜述、先例與研究位置

Hoeffding（1956）早已研究固定總成功期望下獨立、成功機率不同的試驗，其工作包含機率向量分配、序關係與極值理論；本文絕不能把「固定 $\lambda$」當成新問題的首次發現。Le Cam（1960）對 Poisson-binomial 的泊松近似提供經典誤差理論；這亦意味由平方和構造總變差上界的背景遠非新發明。Ehm（1991）則研究非同質伯努利總和對具有相同期望的二項分佈近似，目標分佈與本文的泊松近似不同，不能直接把該文的常數搬來使用。Hwang 與 Zacharovas（2011）處理 Poisson-binomial 的均勻漸近泊松近似，提示需要尊重已有更精密的誤差分析。Tang 與 Tang（2023）綜述這個領域的分佈性質、計算與近似問題，並重申固定平均條件下的多項式及凸序背景。另有後續文章指出該綜述部分其他定理的修訂需要，因此本文只援引其一般研究脈絡，不依賴有爭議的刻畫命題。

表 1：現存文獻與本稿工作之定位比較

本文的受限制貢獻是：在指定的獨立 Bernoulli、個別區間與固定和多面體模型中，把經典的一維最大耦合拆成可核算的三層量，加入因各對最大耦合相互獨立而得到的乘積證書，證明其包絡可由有限頂點求出；同時計算精確可達的變異數全值域，並建立有理指數及真正 $d_{\mathrm{TV}}$ 的夾逼驗算。這些是已知數學工具的特定組合與教育應用推導；既未廣泛比較所有現有上界之尖銳度，亦未證明此形式此前從未發表。中英檢索字串、逐來源閱讀深度及付費限制另外記於 Literature_Search_Log.md。

3. 理論框架與模型假設

令 $n$ 為正整數，$X_1,\ldots,X_n$ 為相互獨立的二值隨機變數，$P(X_i=1)=p_i$。給定閉有理數區間 $[l_i,u_i]$，滿足 $0\le l_i\le u_i\le1$，及非負有理總平均 $\lambda$。假設 $\sum_i l_i\le\lambda\le\sum_i u_i$，則可行集為非空、緊且凸的盒與超平面交集：

令 $S=\sum_i X_i$ 及 $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$。前者稱 Poisson-binomial（泊松—二項）分佈，只有全部 $p_i$ 相等時才是一般二項分佈。對在非負整數上取值的兩個概率律，總變差距離定義為

「真實誤差」指 $d_{\mathrm{TV}}(\mathcal L(S),\mathcal L(Y))$。本研究主要計算的是 $Q,H,C$ 三種上界函數的最大值；必須同時保留括號內的數學對象，避免把 $\max C$ 寫成 $\max d_{\mathrm{TV}}$。令

下文再定義乘積證書 $C$。由 $1-e^{-p}\le p$ 得 $h(p)\le p^2$；當 $0<p\le1$ 時為嚴格小於。假設獨立性僅限各 $X_i$ 及相應用來比較的 Poisson 隨機變數，不得推廣到已知存在跨次相關的資料；本稿末節有明確相關反例。輸入端點的有理性只為提供機器精確證書，核心連續數學定理對閉實數端點亦成立。

4. 研究方法與可重現性設計

採取「分析證明—精確有限算法—獨立數值稽核」三層方法。第一層直接展開一維 Bernoulli 與 Poisson 的概率質量，求精確的最大耦合錯配機率，再把相互獨立的耦合合成。第二層在 $\mathcal P$ 上利用凸性、邊界飽和及有界和條件，對三種上界函數求最壞值，並求可達的 $Q$ 最小值。第三層用 Python Fraction 算術枚舉有限頂點、重算端點見證及區間水位填充；對指數函數使用交錯泰勒級數的有理上下包絡，分開取得真正 TV 的嚴格數學包絡。

獨立稽核程式不匯入主要最佳化程式，以另一種「直接列舉所有成功子集」計算 Poisson-binomial 機率，並以有限小盒的 active-set 表列檢查 $Q$ 最小值。Decimal 的 60 位數計算只作額外數值診斷；嚴格誤差證據取自交錯級數有理數包含區間。人工資料用固定種子生成，含退化、$\lambda=0$、$n=1$、非對稱上下限和高成功機率；有限測試不能代替第 5 節的一般定理。

圖 1 顯示人工例子 $n=3$、$0\le p_i\le1/2$、$\lambda=1$ 的可行三角形。其三個頂點與內部水位填充點可以直接目視比較，故固定和約束下，不可能把所有 $p_i$ 同時調到上限 $1/2$。

5. 數學定理、證明與反例

5.1 一次試驗的精確錯配率

**引理 1（單一 Bernoulli—Poisson 距離）。**令 $U\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$、$V\sim\operatorname{Poisson}(p)$，其中 $0\le p\le1$。則 $d_{\mathrm{TV}}(\mathcal L(U),\mathcal L(V))=h(p)$。

**證明。**在 $k=0$，Poisson 質量 $e^{-p}$ 大於等於 Bernoulli 質量 $1-p$，因 $e^{-p}\ge1-p$。在 $k=1$，Bernoulli 質量 $p$ 大於等於 Poisson 質量 $pe^{-p}$；對所有 $k\ge2$，Bernoulli 質量是零。由 TV 等於正差部分的總和，只需取 $k=1$ 的 Bernoulli 正差 $p-pe^{-p}$，得到 $p(1-e^{-p})$；$p=0$ 可直接核對。證畢。

**命題 1（三層耦合證書）。**對每個 $p\in\mathcal P$，定義

**證明。**引理 1 加最大耦合存在定理，讓 $(U_i,V_i)$ 的邊際分別是 Bernoulli$(p_i)$ 與 Poisson$(p_i)$，且 $P(U_i\ne V_i)=h(p_i)$。這是一個單對分佈的概率構造，不是說原本的資料有兩種獨立觀測。對不同 $i$ 取這些對的獨立乘積耦合，則 $\sum_iU_i$ 與原本的 $S$ 同分佈，而 $\sum_iV_i$ 由 Poisson 可加性服從 Poisson$(\lambda)$。只要所有 $U_i=V_i$，兩個總和必然相同，故總和不同的機率不大於「至少一對不同」的機率。各對獨立意味前述事件機率恰為 $C(p)$，而由耦合不等式總變差不超過任何一種有效耦合的不相等機率，得第一個不等號。

再令 $h_i=h(p_i)\in[0,1)$，由乘積事件聯集上界 $1-\prod_i(1-h_i)\le\sum_i h_i$，得第二個不等號；最後使用 $1-e^{-p_i}\le p_i$，得 $\sum_i h_i\le\sum_i p_i^2$。所有步驟包括退化 $p_i=0$ 成立。若至少兩個 $p_i>0$，其對應 $h_i>0$，則 $C<H$；若所有 $p_i=0$，三量均為零。證畢。

當 $n=1$，最大耦合恰好是原本要比較的兩個總量，因此 $d_{\mathrm{TV}}=C=H=h(p)$，顯示乘積證書在某些情況確有等號，但不表示對一般 $n$ 的族仍然尖銳。若研究的是某一事件 $A=\{S\ge k\}$ 的近似概率，依 TV 定義，該單一事件的概率差亦不超過 $C(p)$。

5.2 最壞誤差證書的有限頂點定理

**定義（飽和頂點候選）。**對某個索引 $j$，令其餘每個 $p_i$ 取 $l_i$ 或 $u_i$；利用總和條件解出唯一剩餘值：

把所有合法向量收集成有限集合 $\mathcal V$，剔除重複者。即使有退化區間或全坐標均飽和，只要 $\mathcal P$ 非空，該集仍非空。最多檢查 $n2^{n-1}$ 個原始選項。

**引理 2（凸可分函數的飽和見證）。**若 $\phi:[0,1]\to\mathbb R$ 為凸函數，則 $\sum_i\phi(p_i)$ 在 $\mathcal P$ 的最大值可於 $\mathcal V$ 的某個向量達到；若嚴格凸且有兩個未飽和坐標，該點不可能是嚴格的最大候選點。

**證明。**假設一個可行向量存在兩個嚴格介於各自上下限的分量 $p_i,p_j$。取容許增量 $t$，將兩者改為 $(p_i+t,p_j-t)$；可行的 $t$ 構成包含零的非退化閉區間。沿該線的目標 $\phi(p_i+t)+\phi(p_j-t)$ 為凸函數，所以最大值至少在某個端點不小於原值。到端點時至少一個原本未飽和的坐標達到其界限。有限次重複便有最多一個未飽和坐標；操作沒有減少目標值。先由緊性、連續性取到全域最大點，再施行上述步驟，便得到 $\mathcal V$ 中的最大見證。嚴格凸時，內點的線段取值嚴格小於兩端的較大值。證畢。

**定理 1（三層最壞證書）。**記 $Q_{\max}=\max_{\mathcal P}Q$、$H_{\max}=\max_{\mathcal P}H$、$C_{\max}=\max_{\mathcal P}C$。則

**證明。**對 $Q$，$\phi(p)=p^2$ 嚴格凸。對 $H$，直接微分得 $h''(p)=(2-p)e^{-p}>0$ 在 $[0,1]$ 成立。對乘積式，令 $g(p)=-\log(1-h(p))$，其中 $h(p)\le1-e^{-1}<1$，所以 $g$ 定義良好，且

因此 $\sum_i g(p_i)$ 為嚴格凸的可分函數，而 $C(p)=1-\exp[-\sum_i g(p_i)]$ 對 $\sum_i g$ 嚴格遞增，其最大點正是 $\sum_i g$ 的最大點。三者均可套用引理 2，等式右邊的候選數有限；由本來的最大點確在可行集合內，候選最大值與真正最大值相同。證畢。

推論 1（族的一致保證）。對所有 $p\in\mathcal P$ 同時成立 $d_{\mathrm{TV}}\le C_{\max}\le H_{\max}\le Q_{\max}$；若某一上界大於 $1$，可以使用 $\min\{1,\text{該上界}\}$，因為 TV 永不超過 $1$。使用 $C_{\max}$ 時不必再裁切，因其本身嚴格小於 $1$。此外，每一個最大證書函數值都有明確可行頂點作見證，惟不能聲稱同一向量必會使實際 TV 也取最大值。

5.3 下包絡、水位填充與精確變異數

**定理 2（唯一最小平方配置）。**令 $\operatorname{clip}(t;l,u)=\min\{u,\max\{l,t\}\}$。存在實數水位 $t$ 使 $\sum_i \operatorname{clip}(t;l_i,u_i)=\lambda$，且

在 $\mathcal P$ 上，$p^\star$ 為唯一的 $Q$ 最小點；水位 $t$ 在退化或平台區間未必唯一。

**證明。**函數 $F(t)=\sum_i\operatorname{clip}(t;l_i,u_i)$ 連續非遞減，隨 $t$ 從所有下界以下移至所有上界以上，其值由 $\sum l_i$ 到 $\sum u_i$，故依介值定理總能選到合適 $t$。對任何 $q\in\mathcal P$，若 $p_i^\star=l_i$ 則 $t\le l_i$ 而 $q_i-p_i^\star\ge0$；若 $p_i^\star=u_i$ 則 $t\ge u_i$ 而 $q_i-p_i^\star\le0$；若在兩界之間則 $p_i^\star=t$。三種情況均給 $(p_i^\star-t)(q_i-p_i^\star)\ge0$。又因 $\sum(q_i-p_i^\star)=0$，展開平方差：

若 $q\ne p^\star$，後一項嚴格為正，故極小配置唯一。證畢。

因獨立性，$\operatorname{Var}(S)=\sum_i p_i(1-p_i)=\lambda-Q(p)$。上面兩個定理因此給出比「最壞 TV 上界」更強的變異數完整像集。

**定理 3（精確可達的變異數區間）。**全部可行成功機率可實現的變異數恰為

證明。定理 1 的極大見證和定理 2 的極小見證分別達到兩個端點。$\mathcal P$ 是凸連通非空集合，而 $p\mapsto\lambda-Q(p)$ 為連續函數；沿這兩個見證向量的線段，由介值定理可實現兩端之間每一個實數。除此以外的值不可能出現，故整個像集恰好是式（10）。證畢。此可達是變異數結論；不能把 $Q_{\min}$ 轉成 TV 的非零下界。

5.4 真實總變差的有理數夾逼

對指定有理向量 $p$，Poisson-binomial 的有限概率質量 $a_k=P_p(S=k)$ 可由生成多項式 $\prod_i[(1-p_i)+p_i z]$ 的 $z^k$ 係數直接計算，故 $a_k$ 為有理數。另一分佈在 $k>n$ 的質量不影響「重疊」求和：因為那裏 $a_k=0$。因此

這是用來比較某個見證向量的真正 TV 的精確恆等式。為避免小數近似充當證明，對有理 $x\ge0$，選最小的 $s=2^m$ 使 $z=x/s\le1$；令 $T_j(z)=\sum_{r=0}^j(-z)^r/r!$。交錯級數項絕對值遞減，故

由上式取得 $e^{-\lambda}$ 的有理上下限，代入式（11）每個 $\min$，即可給出 TV 的嚴格有理區間；分別使用每個 $e^{-p_i}$ 的有理包絡，亦可給 $H$ 和 $C$ 的嚴格值域包絡。若兩個數的證書區間仍相交，增加偶數展開階數即可縮窄；在非零極小分離情況可作嚴格大小排序，若真正相等則必須用代數或共同表達式證明。本文沒有提供任意輸入都能處理所有等號退化的完整代數判定器。

5.5 具體人工例題、量詞分別與反例

**例 1：三次相互獨立試驗。**考慮 $n=3$，全部 $[l_i,u_i]=[0,1/2]$，並已知 $\lambda=1$。式（5）的三個不同候選向量為 $(1/2,1/2,0)$ 及其排列；由對稱性，每個候選在 $Q,H,C$ 上的值相同。另一方面，水位填充給 $(1/3,1/3,1/3)$，故 $Q_{\max}=1/2$、$Q_{\min}=1/3$，可達變異數全值域是 $[1/2,2/3]$。在證書最大點令 $h_*=h(1/2)=(1-e^{-1/2})/2$，有

數值為 $H_{\max}\simeq0.393469$、$C_{\max}\simeq0.354765$、見證向量的真實 TV $\simeq0.198181$，明確證明三層「最大上界」不應當成那個見證的「實際誤差」。圖 2 固定另一路徑 $p=(t,t,1-2t)$、$t\in[1/4,1/2]$，比較沿路的 $Q,H,C$ 及真正 TV；該路徑涵蓋中心點與一個頂點，但只代表整個可行三角形的一條曲線，而非所有可能向量。

例 2：非對稱二次試驗。令 $p_1\in[1/4,1/2]$、$p_2\in[0,1/2]$，而 $p_1+p_2=1/2$。可行區段兩端分別為 $(1/4,1/4)$ 與 $(1/2,0)$；故 $Q_{\min}=1/8$、$Q_{\max}=1/4$，可達變異數為 $[1/4,3/8]$。乘積型證書的最大點為 $(1/2,0)$，此時單一非零 Bernoulli 試驗與 $\operatorname{Poisson}(1/2)$ 比較，恰有 $d_{\mathrm{TV}}=C=H=h(1/2)$。這顯示某些面向的最大耦合可取等號，但必須先核對其餘坐標為零。

**例 3：非對稱三次試驗。**令 $(l_1,l_2,l_3)=(1/5,1/8,0)$、$(u_1,u_2,u_3)=(3/5,1/2,1/3)$、$\lambda=3/4$。有限頂點枚舉給出 $Q_{\max}=153/400$、$Q_{\min}=3/16$；最壞乘積證書有一個可行見證 $(3/5,3/20,0)$，其中 $p_2$ 位於兩界之間。這一例子表明「至多一個座標非飽和」的說法與「全部座標一定在各自端點」不同：兩者不能混淆。

表 2：人工參數例題的可達極值及上界（上界為證書，不是實際 TV 最大值）

反例 1（邊際相同但不獨立）。若兩次試驗有 $X_1=X_2$ 且各自以 $1/2$ 的機率取一，則 $S\in\{0,2\}$ 各以 $1/2$ 的機率出現，與同樣兩個 $p_i=1/2$ 但互相獨立時的 $\operatorname{Binomial}(2,1/2)$ 不同。對泊松$(1)$，由式（11），前者真正 TV 恰為 $1-3/(2e)\simeq0.448181$，超出獨立模型在 $(1/2,1/2)$ 所計出的乘積證書 $0.354765$。這不是命題 1 的反例，而是說明它的獨立性假設不可刪除。圖 3 顯示三種在相同期望下的概率質量。

**反例 2（無固定總和的錯誤頂點配置）。**在例 1 中，取全盒「所有機率等於 $1/2$」會得 $Q=3/4$，但此時 $\sum p_i=3/2\ne1$，所以那個頂點根本不屬於 $\mathcal P$；用它聲稱 $Q_{\max}=3/4$ 是把最壞化範圍設錯。必須先保留 $\lambda$ 等式，再枚舉可行超平面截面的頂點。

**邊界情況。**當 $\lambda=0$，因所有 $p_i\ge0$，必定全部為零，$Q=H=C=d_{\mathrm{TV}}=0$。當全部區間退化且滿足固定總和，$\mathcal P$ 為單點，公式直接給單一上界證書；若 $n=1$ 則單次距離證書是等號。若某個 $p_i=1$，所有引理在端點仍成立，但「個別事件很稀有」的近似動機已不適用；即使一個上界有效，其值仍可能相當大。若 $\lambda$ 超出上下界總和，模型不可行，程式必須明確拒絕，不得為空集合隨意回報一個「最壞誤差」。

6. 研究結果：證書包絡、算例與獨立核驗

6.1 三層量的適用範圍及嚴格性

定理 1 的等式是一個有限最佳化問題的確切解法：給定合法的有理資料，每個可行頂點都能以有理數表示；對 $Q$ 的比較完全精確，對 $H$、$C$ 的比較則可結合式（12）作有理上下包絡。運算上不需要在機率參數的整個連續空間中採取任意細小網格，也沒有「網格夠細便等於證明」的邏輯缺口。惟候選集合最多 $n2^{n-1}$ 個未去重選項，並非聲稱求解器在任意大型 $n$ 下具有多項式複雜度。

由逐點不等式可直接取得三個不同的族一致保證；其中 $C_{\max}$ 是本模型中這個特定獨立乘積耦合證書的最優常數。它不一定是所有可能耦合的最緊界，也不一定等於同一族的真實最大 TV。二次量 $Q$ 另有精確極小值與完整可達變異數區間；變異數兩端的見證分別來自頂點和水位填充，但一般不等同於真實 TV 的最小或最大點。這幾種不同量詞分離，是研究可以審核的主要結論。

一個易於教學檢查的細節是：例 1 中 $p=(1/3,1/3,1/3)$ 的平方和比頂點小，但不能從這一事實推導其 TV 必然比頂點小；TV 依賴全部分佈質量，而非只依賴單一二階矩。圖 2 的曲線提供比較證據，並不是一般單調性定理。相反，定理 3 的「每個中間變異數都可達」來自連通性與連續性，屬完全證明的結論。

6.2 三組可手算算例的對照

表 2 給出五個包括邊界情況的人工案例，當中例 1 的 $Q$ 最小配置與全部最壞上界頂點相距明顯。例 2 只有一個非零 Bernoulli 分量的頂點，使乘積耦合退化為一對最大耦合，此時 $C=H=\mathrm{TV}$；但把這個等號推廣至兩個正機率分量便會失效。例 3 的最佳頂點 $(3/5,3/20,0)$ 證實非對稱端點可以要求一個未飽和分量；它也顯示僅測試全部在上／下限的向量會遺漏合法極值。

對例 1，最壞證書 $C_{\max}\approx0.354765$ 比 $Q_{\max}=0.5$ 減少約 $0.145235$（以 TV 距離的絕對尺度計）；這是上界的改善，不是模型預測準確度增加約 29% 的實證效果。證書最大點真實 TV 約為 $0.198181$，故其與乘積證書的差距約 $0.156584$。由於本工作沒有全域最大化真實 TV，這個差距是該指定向量的比較值，絕非全族最佳界距或真實 TV 最大值。對例 3，相應比較約為 $0.285951$ 與 $0.215725$，亦應採用相同的見證層級說法。

6.3 有限、獨立而可重現的人工計算

研究採三份分工不同的程式，固定隨機種子並保留 JSON 結果。第一份 \x60robust_coupling.py\x60 以 Fraction 表示可行有理盒，枚舉飽和頂點與裁切水位，並在人工格點交叉核算二次證書；第二份 \x60coupling_extensions.py\x60 對 $H$、$C$ 和真正 TV 使用多項式機率質量及有理指數包絡；第三份 \x60independent_audit.py\x60 不匯入第一份核心求解函數，改以成功子集直接展開、獨立 active-set 最小值及 60 位 Decimal 計算交叉比較。

表 3：2026-10-15 人工數學計算的執行範圍與可支持聲稱（全部不是學生樣本）

三份輸出在其各自測試範圍均記錄 PASS。各程式的人工盒數及格點數分屬不同測試集合，故不宜直接加總成「數萬個獨立真實樣本」，亦不能把同一原理的數值檢查當成三份完全獨立的數學證明。具體執行命令、種子、方法差異及未涵蓋的輸入類型見附錄 B 與 \x60Verification_Report.md\x60。

7. 討論：與既有理論及香港數學教育的關係

7.1 文獻比較與貢獻邊界

Le Cam（1960）和後續泊松近似研究已提供處理獨立 Bernoulli 總和誤差的成熟工具；Hoeffding（1956）直接研究成功概率總和固定的結構；Tang 與 Tang（2023）亦概述了此分佈的幾何與序關係。本文沒有推翻、改善或在相同條件下一般性勝過上述文獻的既有界。本文可展示的特定工作是：明確加入每個概率的不對稱區間，把三種經典或直接衍生的耦合量變成精確可求的整個參數族的證書包絡，並給出獨立可達的變異數全區間與有理數驗算；原理主要來自耦合、凸函數與有界和最佳化。

若研究問題改成「在相同的 $\mathcal P$ 上直接求 $\max d_{\mathrm{TV}}$」，現有頂點證明並不適用。從凸性的證明只能推知 $Q$、$H$ 和 $\sum g$ 的最大點性質，不能自動推知 TV 作為 $p$ 的函數是凸的。現階段也沒有證據證明乘積證書是文獻中同等資訊條件下的最小可能族一致上界；這些均是後續原創研究必須另行解決的問題。

7.2 以「錯誤模型—反例—保證」作高階 M1 延伸

本課題可轉化為一個二至三階段的高階探究。首先讓學生從 M1 已學的二項模型辨別「相同 $p$」和「各有 $p_i$」的差異，並在兩次試驗中展開生成多項式、直接寫出 $S=0,1,2$ 的概率；其次給出區間及總平均，要求指出 $(1/2,1/2,1/2)$ 不符合例 1 的 $\lambda=1$，並構造頂點與中心點；最後較有能力的學生可比較 $Q,H,C$、TV 的上界與實際誤差，從而理解「在給定假設下，數學保證適用於整個族」的量詞。

表 4：由本文數學證書推導的教學任務構想（待課堂實證驗證）

上述活動與現行 M1 正式課程的關係是由二項與泊松分佈概念向外延伸，不是對香港考試題型、標準課時或一般學生先備程度的實證結論。若要進行教育研究，可預先註冊概念測驗及教師評定準則，分開量度「檢查可行性」、「判斷上界語義」和「識別獨立性」三項能力；但任何成效測量都須另外蒐集經倫理核准的真實資料。

7.3 用證書語言避免誤解最佳化結果

本文採用「上界證書最大值」和「真正誤差」兩個名稱，是因為它們回答完全不同的問題。證書的最大值越大，表示在同樣的證書族之下，可以保證的最壞數字越保守；它可能遠大於真實 TV。相反，$Q_{\min}$ 並非「最低可能 TV」，而只是方差公式中允許求得精確最大值的輔助最佳化量。給學生的任何評分規準，均應要求寫明每個不等式的量詞及其適用條件，以避免把可靠的充分保證誤作對所有分佈的必要判準。

8. 研究限制與尚待驗證工作

第一，來源的原創性限制。本篇使用的最大耦合、凸極大頂點思想、水位填充及泊松近似基礎均有豐富先例；目前僅完成可追溯出版資料與部分開放原文的定向核查，沒有經過完整引用網絡、歷史先例或所有相近固定和／區間約束方法的系統檢索。這份工作論文的研究問題與編算流程具有明確可複製價值，但不能據此認證學界未曾提出相同乘積證書或相同有限頂點算法。

**第二，模型的適用性限制。**獨立性、已知精確固定 $\lambda$ 及可信的個別閉區間是必要前提。若總期望本身只有區間、若試驗存在共同原因形成依賴，或若區間端點只是未校準的估計量，本稿的結論需重建而不可照用。依賴反例直接否定將式（4）無條件轉移至相關資料的做法。

第三，計算規模與未解優化。本文給出精確證書包絡而非真正 TV 的極大／極小解；有限頂點枚舉在大 $n$ 可能需要指數時間。指數值的有理包絡可收斂，但有限精度下的數值比較可能因等值或極小間距而未能決定唯一最大頂點；此時應回報並列候選或升高精度，不可憑浮點誤差決勝負。稽核程式的隨機數種子使有限例子可重現，卻無法覆蓋所有合法輸入。

**第四，香港教育證據限制。**未訪問教師、沒有實施課堂、沒有真實學生作答，也未獲得學習成果、認知負荷、年級適切度或 HKDSE 表現的因果證據。教材建議是由數學內容推導的可測試設計假說，不應寫成已證實的「有效教法」。任何香港學校的資料研究應另經適當倫理、個資及校方程序。

**第五，表達及數值限制。**圖 1 至圖 3、表 2 至表 4 全部是人工構造或程式確定性結果。式（12）提供明確外包算術，但文字展示的六位小數只是近似報告；要作嚴格大小判斷須回到 Fraction 輸出。本文沒有把 Taylor 夾逼程序形式化到機器證明助手（例如 Lean）內，亦未經外部數學家逐行重證。

9. 結論

對獨立非同質 Bernoulli 試驗、個別成功概率有界而平均總和固定的數學模型，本文構造了逐點成立的 $d_{\mathrm{TV}}\le C\le H\le Q$ 三層證書。藉助凸性和固定和質量轉移證明，每層證書的全域最大值均可由至多一個自由座標的有限頂點見證計算；對二次量另有唯一水位填充極小值，從而獲得整個可行概率族精確可達的變異數區間。指定人工算例及不同演算法稽核支持一般證明中的計算規格，並用依賴反例呈現假設的作用。

研究的可交流貢獻是特定限制資訊下的可稽核數學建模與教學任務設計，尚未證明新的全球通用泊松近似常數、全族真正 TV 的最壞解或任何香港學生的學習增益。下一步最有理論價值的是直接研究真正 TV 在固定和有界盒上的極值結構，或研究在不確定 $\lambda$ 和弱依賴條件下能否保留有效證書；教育面則需要教師審閱、先備能力測量及真實學生資料。鑑於上述外部查新和實證限制，本文保留「理論研究工作論文」定位。

參考文獻

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