Integer Feasibility, Sharp Envelopes, and Identifiability Certificates for Rounded Cumulative Percentages: A Constrained Statistics Enrichment for Hong Kong Junior Secondary Mathematics

摘要

累積頻數圖屬香港初中統計的正式學習內容。然而，圖上的累積百分比可能以整數百分點獨立四捨五入，已公布的值不必精確對應原始整數頻數。當總樣本數及若干組別的最少人數是已知或待推斷的限制，直接把百分比乘以樣本數再逐項取整，可能導致互相矛盾的人數表。本文以整數樣本量 $n$ 、 $k$ 組人數 $a_i$ 、最少人數 $b_i$ 、公布累積百分比 $q_i$ 建立半開捨入區間。證明本模型可透過扣除組別下限轉化為非遞減整數路徑，得到線性時間的可行性充要證書，及每個累積人數的精確可達上下界；進一步給出整份表是否唯一、所有相容表數目的動態規劃式。人工案例顯示相同的 33%、67% 公布值，在 $n=3$ 只有一份人數表，但 $n=300$ 可有九份相容表。以 3,220 個人工整數配置作獨立組合枚舉，驗證所述界與方案數一致。Cox（2023）、Sage 與 Wright（2016）等已研究四捨五入百分比反推頻數，本文僅主張一個附有完整證明及端點例的累積序列加下限約束特化；沒有香港學生數據、教育成效估計或世界首次聲稱。

Abstract

Cumulative frequency diagrams are part of Hong Kong junior secondary mathematics, yet separately rounded cumulative percentages need not determine exact integer frequencies. We study a finite inverse problem with a total sample size $n$ , integer class counts $a_i$ , lower requirements $b_i$ , and independently rounded published cumulative percentages $q_i$ . Explicit half-open rounding intervals, after removing the cumulative lower requirements, lead to a nondecreasing integer-path representation. We prove a necessary and sufficient greedy feasibility test, sharp attainable lower and upper bounds for every cumulative count, an exact uniqueness criterion, and a dynamic program counting all compatible frequency tables. Artificial examples with the same reported 33% and 67% yield a unique table at $n=3$ but nine tables at $n=300$ . Exact computations were cross-checked against independent exhaustive enumeration over 3,220 artificial integer configurations. Existing literature already addresses denominator inference and rounded table reconstruction; our result is positioned as a transparent constrained cumulative specialisation for proof-based educational enrichment. No global originality or measured educational effect is asserted.

**中文關鍵詞：**香港初中數學；累積頻數；四捨五入；整數可行性；部分識別；精確上下界；動態規劃；可重現驗證

English keywords: Hong Kong junior secondary mathematics; cumulative frequency; rounding; integer feasibility; partial identification; sharp bounds; dynamic programming; reproducibility

1. 引言

在製作調查報告時，班級或其他人群的統計資料常以累積百分比、累積頻數曲線或簡化的統計表顯示。即使原始資料的人數都是整數，視覺介面、報告或教學材料仍可能只公布經四捨五入至整數百分點的數值。學生若看到三組資料的第一、第二組累積百分比為 33% 和 67%，常會嘗試反推每組有多少人。但無論這些百分比是否由真實人數導出，反推結果都依賴未知或已知的總樣本數、捨入慣例及各組限制。把 33% 誤當成恰好 $33/100$ ，會把可行整數表排除，並把某些不可能的表錯判為可能。

香港教育局（2020）《初中數學課程闡釋》Learning Unit 29 的第 29.4–29.5 項明列累積頻數多邊形與曲線的構作、解讀，並要求讀取累積頻數和中位數、四分位數等資訊；第 29.6–29.7 項強調選擇合適的統計圖及辨識容易誤導的表示法。本研究以這個清晰的香港課程背景提出高階反演問題；逐項半開捨入區間、逆向整數規劃及動態規劃不是教育局規定的 HKDSE 或初中必考技巧，更不能據此宣稱課堂成效。

核心研究問題有四個。第一，給定樣本量 $n$ 、百分比及每組至少 $b_i$ 人，是否存在整數頻數表？第二，若可行，每個累積人數的所有可能值是否恰好構成一個連續整數區間，端點如何精確求得？第三，何時每組人數都唯一？第四，若樣本量未知，可否依次查核候選 $n$ ，並知道「首個可行」並不等於「唯一可能」？

我們處理明確指定的數學模型，所有案例為人工設計，沒有採集、估計或推論任何香港學生的學習表現。本稿提出的定理，首先是一般整數差分約束的可查核特化；其學術新穎性須與既有百分比反求、表格整數可行性及統計保密研究進一步全文比較。

2. 文獻綜述與原創性限界

Cox（2023）專門研究「由捨入後的類別百分比尋找可能的最小樣本量」，提供 Stata 指令 find_denom，並討論百分比加總未必精確為 100% 的現象。因此我們不把「透過捨入百分比求最小分母」或「同一比例可能對應多個人數表」宣稱為首創。Sage 與 Wright（2016）以整數規劃重建已公布的捨入條件頻率表之所有可能 cell counts，亦是緊貼本研究的一手先例。Diaconis 與 Freedman（1979）已用概率方法研究捨入百分比的合計行為。對此類問題，捨入區間、頻數反推與整數可行性是成熟數學概念。

本文採用不同但較窄的問題對象：公布的不是各類別個別百分比，而是依次累加的百分比；另外每個類別可指定一個非負整數下限。把這兩項結構同時寫入模型後，累積頻數可變成單調整數路徑，產生簡單的前後向精確界。這種構造具有透明的香港初中統計延伸用途；但一般 integer programming、ordered paths 及區間條件早已存在，本論文尚未證明公式在世界文獻中首次出現。2016 年論文的出版商摘要與書目可核，付費全文及中文期刊的完備查新仍待完成。

表 1　文獻背景及本稿可辯護的定位

來源	既有內容	本稿之限定關係
香港教育局（2020）	初中課程 Learning Unit 29 累積頻數及圖表判讀	合法香港教育背景；數學逆問題為資優／高階延伸
Cox（2023）	四捨五入類別百分比下的最小樣本量與整數恢復	本稿不宣稱最小樣本量反求的新穎性
Sage & Wright（2016）	捨入條件頻率表的可行整數計數與界	本稿是受單調累積及類別下限限制的簡化特化
Diaconis & Freedman（1979）	百分比捨入的數學與概率性質	本稿研究確定性有限整數可行性，不推論抽樣概率

英文檢索詞包括 finding denominator rounded percentages、rounded conditional frequencies reconstruct integer counts 及 cumulative percentage count reconstruction；中文包括「累積頻數百分比四捨五入反推」、「百分比反推樣本量整數」。檢索日期為 2026-10-15；細節及完整性界線見同目錄 Literature_Search_Log.md。

3. 理論框架

設共有 $k\ge2$ 個依自然次序排列的組別（例如分數由低至高），令 $n\ge1$ 是一個固定的候選樣本量。每組原始人數 $a_i\in\mathbb Z_{\ge0}$ ，並滿足 $a_i\ge b_i$ ，其中 $b_i\in\mathbb Z_{\ge0}$ 是已知最少人數；如沒有先驗組別限制可取 $b_i=0$ 。定義累積人數 $S_0=0$ 、 $S_i=\sum_{j=1}^i a_j$ ，以及 $S_k=n$ 。我們假設每個內部累積百分比均以非負數的 half-up 四捨五入至最近整數百分點獨立公布為整數 $q_i\in\{0,1,\ldots,100\}$ ，即

q_i-\frac12\le\frac{100S_i}{n}<q_i+\frac12,\quad 1\le i<k.\tag{1}

半開上界是重要條件：在真值恰好等於 $q_i+0.5$ 時，會捨入到 $q_i+1$ ，所以不得以兩邊均閉的「誤差不多於半個百分點」替代。本文不分析銀行家捨入、隨機捨入、對百分比先二次取整或按合計強行調整為 100% 的出版慣例；這些採不同規則時應另行重新建模。

對 $1\le i<k$ ，由整數的嚴格不等式與天花板函數可得 $S_i$ 的精確界：

L_i=\max\!\left(0,\left\lceil\frac{(2q_i-1)n}{200}\right\rceil\right),\quad U_i=\min\!\left(n,\left\lceil\frac{(2q_i+1)n}{200}\right\rceil-1\right).\tag{2}

另定 $L_0=U_0=0$ 、 $L_k=U_k=n$ 。令下限前綴和 $B_i=\sum_{j=1}^i b_j$ （ $B_0=0$ ）。我們關注的是全局可行表：必須同時滿足各公開累積點、總數及所有 $a_i\ge b_i$ ，不能僅因每個 $[L_i,U_i]$ 個別非空就宣布整份表可行。

4. 研究方法與可重現核驗

研究不使用真實調查。分析將原始累積值扣除下限 $B_i$ ，得到 $y_i=S_i-B_i$ 。由 $a_i\ge b_i$ ，此路徑必須非遞減；反過來，任一符合端點及單調條件的整數 $y_i$ 都可唯一轉成合法頻數 $a_i=b_i+y_i-y_{i-1}$ 。因此求解可轉成整數區間中的單調路徑問題。數學證明採必要性與構造充分性各一條路，邊界案例直接保留 exact integer arithmetic。

驗證程式 code/verify_cumulative.py 包含兩條邏輯不同的核查：第一條依天花板界、前向／後向路徑與動態規劃計算；第二條直接以每組人數組合分配窮舉，再把各人數表代回式 (1) 的交叉相乘整數不等式。核查設固定亂數種子，並含刻意構造的可行、不可行、多解、0%、100%、連續公開百分比相同及半點邊界情況。有限計算僅能捕捉實作錯誤，不能替代第 5 節的普遍證明。

5. 數學推導與分析

5.1 定理一：非遞減整數路徑與存在性充要證書

定義 $A_i=L_i-B_i$ 、 $C_i=U_i-B_i$ ；注意字母 $C_i$ 只是整數上界，不代表信賴區間。各種條件完全等價於

y_0=0,\ y_k=n-B_k,\quad A_i\le y_i\le C_i,\quad y_i\ge y_{i-1}\ (1\le i\le k).\tag{3}

定理 1（線性時間可行性證書）。 令 $G_0=0$ 、 $G_i=\max(G_{i-1},A_i)$ 。存在符合所有公開累積百分比與組別下限的整數人數表，當且僅當 $G_i\le C_i$ 對每個 $i=1,\ldots,k$ 全成立。

證明。 對任一可行路徑 $y$ ，由 $y_0=0$ 和 $y_i\ge y_{i-1},A_i$ ，對 $i$ 歸納可得 $y_i\ge G_i$ 。既然 $y_i\le C_i$ ，必要性成立。反方向假設各 $G_i\le C_i$ ，取 $y_i=G_i$ 。因 $G_i$ 以兩數最大值遞推，故 $y$ 自動非遞減並滿足所有下界和上界。至於 $k$ 端點，因 $L_k=U_k=n$ ，有 $A_k=C_k=n-B_k$ ，且假設 $G_k\le C_k$ 、定義 $G_k\ge A_k$ ，所以 $G_k=C_k=n-B_k$ 。連同 $G_0=0$ ，式 (3) 全成立，轉回 $a_i=b_i+G_i-G_{i-1}$ 即得合法人數表。證畢。

此構造還交付一份可手算查核的證人：只需列出每個 $L_i,U_i,B_i,G_i$ ；如果某個 $G_i>C_i$ ，該位置同時給出不可行的明確反證。計算時間 $O(k)$ ，但未知 $n$ 的全域搜尋仍需另外限制樣本量範圍，不能假定不存在上界時只會有有限個候選。

5.2 定理二：每個累積人數的精確可達包絡

若定理 1 已確認可行，定義前向下包絡 $F_i=\max_{0\le j\le i} A_j$ （即 $G_i$ ），以及後向上包絡 $H_i=\min_{i\le j\le k} C_j$ 。我們要證明這不僅是一般鬆弛上下界，而且是每一個整數值都能實際發生的尖銳整數區間：

\boxed{\{S_i:\ S\text{ 可行}\}=\{B_i+v:\ v\in\mathbb Z,\ F_i\le v\le H_i\}.}\tag{4}

定理 2。 在固定 $n$ 且整份人數表可行的前提下，式 (4) 對所有 $0\le i\le k$ 成立。整份原始分組人數表唯一的充分必要條件是每個內部位置 $1\le i<k$ 都有 $F_i=H_i$ 。

證明。 任一可行非遞減路徑在位置 $i$ 必須不少於每個先前位置 $j\le i$ 的下界 $A_j$ ，故 $y_i\ge F_i$ 。同理 $y_i$ 不可超過任一將來位置 $j\ge i$ 的上界 $C_j$ ，故 $y_i\le H_i$ 。這證明右方是外包絡。

反之，任取整數 $v\in[F_i,H_i]$ 。在 $j<i$ 先用全體已確認可行的最小路徑 $y_j=F_j$ ；因 $F_j\le F_i\le v$ ，它能接到 $y_i=v$ ，且 $v\ge A_i$ 和 $v\le C_i$ 。在 $j>i$ 取 $y_j=\max(v,F_j)$ 。它非遞減、達到原下界；又因 $F_j\le C_j$ 已由定理 1 的全域可行性保證，而 $v\le H_i\le C_j$ 對每個 $j\ge i$ 成立，故 $y_j\le C_j$ 。於端點 $k$ ，因 $A_k=C_k=n-B_k$ 及 $v\le H_i\le C_k$ ，恰得 $y_k=n-B_k$ 。故每個整數 $v$ 均有一份完整的合法人數表作證，式 (4) 不可再收窄。若任一內部 $F_i<H_i$ ，就能構造兩份不同累積路徑，分組人數表必不唯一；反之所有 $S_i$ 單值，則由 $a_i=S_i-S_{i-1}$ 全部單值。證畢。

辨析。 對某一個組別單獨取界，不能不加論證便以兩個累積包絡之差 $[B_i+F_i-(B_{i-1}+H_{i-1}),\ldots]$ 當作尖銳界：不同位置的各自極端未必能在同一份表中同時發生。本文的精確結論專指累積人數 $S_i$ ，不將其擴張為未證的獨立分組尖銳界。

5.3 定理三：相容頻數表的精確計數

將所有整數 $y_i$ 限定在 $0\le y_i\le n-B_k$ （當 $n<B_k$ 時無解）。令 $D_0(0)=1$ ，其他 $D_0(v)=0$ 。對 $1\le i\le k$ ，設 $D_i(v)$ 為前 $i$ 個累積點的合法整數路徑以 $y_i=v$ 結束的數目。則

D_i(v)=\mathbf1_{\{A_i\le v\le C_i\}}\sum_{u=0}^{v}D_{i-1}(u),\qquad \#\mathcal T_n=D_k(n-B_k).\tag{5}

定理 3。 式 (5) 精確計算全部相容的有序頻數表數目，不重複、不遺漏；以前綴累加實作時間為 $O(k(n-B_k+1))$ 、工作空間為 $O(n-B_k+1)$ 。

證明。 在每個允許的終點 $v$ ，路徑唯一由前一點 $u\le v$ 及其一條合法前綴路徑延長得到，故所有可行前綴的數量相加；超出區間 $[A_i,C_i]$ 的終點無效。以 $i$ 歸納即得遞推。因原始人數表與 $y$ 路徑是一一對應的，終點 $y_k=n-B_k$ 的數目即是所求。使用單次前綴和可避免每步重覆求和，得所列複雜度。證畢。

5.4 未知樣本量的最小值及不可單調性

若只知道總數介乎 $1\le n\le N_{\max}$ ，可逐個對 $n$ 施行定理 1；首個可行者就是該指定範圍內的最小可行樣本量。並不能因某個 $n$ 可行就斷定 $n+1$ 可行。這個非單調現象源自 $S_i$ 只能取整數且半開捨入帶寬與 $n$ 同步變動。對印出 $(33\%,67\%)$ 、每組至少一人的例子， $n=3$ 可行， $n=4$ 因 $S_1$ 不可能捨入成 33% 而不可行； $n=6$ 又可行。

對單一 $n$ ，本研究由幾個整數比較提供可重現判準；對不設任何上界的全部可行樣本數是否具有特殊週期及密度，本文不作超出已證明範圍的概括。

5.5 捨入端點、零頻數與相同累積讀數的反例

在 $n=200$ 、公布值 $q_i=33$ 時， $S_i=65$ 給出真值 $32.5\%$ ，按 half-up 正好捨入為 33%，因此下端點包含；相反 $S_i=67$ 給出 $33.5\%$ ，必須捨入為 34%，因此上端點排除。式 (2) 正確給出 $L_i=65,U_i=66$ 。此例也顯示，把半開界改成兩端閉區間會多計一個非法累積人數。

已印出的 $0\%$ 或 $100\%$ 不必表示相應的真實比例精確為零或一百；它們仍遵守式 (1) 並截在 $0\le S_i\le n$ 。例如 $n=1$ 、 $q=(0,100)$ 、 $b=(0,0,0)$ 時，唯一相容表是 $(0,1,0)$ ，可由原始整數不等式直接核查。對相同的連續印刷百分比，零人組別是否容許尤其關鍵：取 $n=100$ 、 $q=(50,50)$ ，若 $b=(1,0,1)$ ，唯一相容表為 $(50,0,50)$ ；若下限改為 $b=(1,1,1)$ ，則無解，因兩個累積人數必須同為 50，而中間組不可能至少有一人。這些均屬確定性的人工端點案例。

6. 結果及人工構造案例

取三組、公布兩條累積百分比 $q_1=33$ 、 $q_2=67$ ，均採 half-up 到整數百分點。當 $n=3$ 、每組至少一人時，式 (2) 強制 $S_1=1,S_2=2$ ，得唯一表 $(1,1,1)$ 。當 $n=300$ 時，半開區間精確給 $S_1\in\{98,99,100\}$ 與 $S_2\in\{200,201,202\}$ ，這兩組選擇皆使相鄰頻數大於一，因此兩個內部位置可以互相獨立選擇，合共 9 份合法人數表。兩者公開圖上同樣是 33% 和 67%，卻具有截然不同的識別程度。

表 2　人工端點例：相同累積百分比下的可行性與唯一性

$q=(q_1,q_2)$	組別下限 $b$	樣本量 $n$	可行表數目	數學結論
$(33,67)$	$(1,1,1)$	3	1	唯一 $(1,1,1)$
$(33,67)$	$(1,1,1)$	4	0	捨入整數限制不容任何 $S_1$
$(33,67)$	$(1,1,1)$	300	9	$S_1=98\ldots100$ 、 $S_2=200\ldots202$
$(33,67)$	$(1,3,1)$	6	0	唯一原百分比候選 $(2,2,2)$ 違反中間組下限
$(33,67)$	$(1,3,1)$	9	1	$(3,3,3)$ 完全可行

表 3　固定 $n=300$ 的精確可達累積人數包絡（人工資料）

累積點	公布值	捨入先驗界 $[L_i,U_i]$	全局尖銳界 $[B_i+F_i,B_i+H_i]$	可達整數個數
$S_0$	起點	$[0,0]$	$[0,0]$	1
$S_1$	33%	$[98,100]$	$[98,100]$	3
$S_2$	67%	$[200,202]$	$[200,202]$	3
$S_3$	100%	$[300,300]$	$[300,300]$	1

圖 1　不同中間組人數下限下，與 33% 及 67% 累積值相容的最小總人數；所有數據由人工整數規則生成。

圖 1 將 $b_1=b_3=1$ 固定，增加中間組的最少人數 $b_2$ ，逐一用定理 1 找出不超過搜索上限 399 的第一個可行樣本量；它說明實際約束可能迫使總人數跳躍，並非在實際學生中發現的經驗趨勢。

圖 2　同一組公開累積百分比之整數頻數相容表數目隨候選總樣本量改變；固定下限為每組一人。

圖 2 顯示 $n=1,\ldots,500$ 的有限人工枚舉／動態規劃計數。由於捨入容許的真值區間隨 $n$ 增寬，而人數只能取整數，相容表數呈不平滑階梯；圖上並無統計抽樣不確定性或信賴區間。

圖 3　人工樣本量 3、9、300 下兩個累積點的精確可達百分比範圍及尖銳整數端點。

圖 3 的橫軸採用 $100S_i/n$ 真實百分比 而非印刷後的 33%、67%；當 $n$ 增大時，出版百分比不變，內部可達整數數量卻可能增加。

表 4　數學核驗範圍與證據類型（全部人工）

核驗路徑	結果	能支持的主張	不能支持的主張
貪心充要證書	與獨立組合枚舉對照 PASS	有限指定輸入的存在性計算一致	全球新定理的優先權
前後向尖銳包絡	對所有合法組合取實際 min/max，對照 PASS	各已測配置的累積人數界不鬆弛	真實香港學生答題表現
動態規劃計數	3,220 人工配置、枚舉總相容表 1,904、PASS	無重覆漏計的有限程式檢驗	所有整數參數的一般證明
退化及邊界	$0/100$ 、相同累積值、 $n=3/4/300$ 、正組下限	可反駁常見的錯誤簡化	覆蓋所有捨入慣例

3,220 組測試包含 1,069 個可行配置、909 個唯一配置；其餘配置包括多解 160 組。這些整數個數是可重現程式本輪實際重跑的輸出，並非學生樣本量、統計顯著性或效應量。

7. 討論

本研究可作香港初中統計教育的高階延伸：學生首先理解「累積」代表相鄰分組和；其次辨識公布的 33% 是落在一個半開範圍的近似量；其後加入每組人數至少一人的自然整數限制；最後用數線、表格或簡短程式比較何時有零份、一份或多份相容表。這一順序連結百分比、近似值、線性不等式、整數組合與統計圖判讀。它只是可供未來課堂評估的教學構想，現時沒有對香港學生進行試驗。

定理 1 與定理 2 的價值在於將一個看似要窮舉所有人數表的問題，縮為兩趟線性掃描並提供構造證人；定理 3 可量度公開圖表對原始人數的整數識別程度。若只有出版後的累積百分比，零份表可能代表資料前後矛盾、捨入慣例與假設不符或先驗下限不適用；不能直接解讀為資料捏造。一份表也可能只是選定 $n$ 下的唯一解，並不能推論真正的 $n$ 已知。

已知研究廣泛討論 rounded percentages、integer programming 及 statistical disclosure。本文並未試圖推出超出明確假設的統計分佈、概率界或私隱保障。由唯一性得出的「可逆識別」只關乎有限整數表，並不表示能識別任何個體身分。

8. 研究限制

第一，全球新穎性尚未確認。Cox（2023）及 Sage 與 Wright（2016）的研究直接對應此逆問題的一般領域，本文可能是經典整數最優化的自然特殊案例。第二，僅處理每個累積百分比直接從未捨入的真實比例計算，再獨立 half-up；報表對個別頻率先取整後才累積、銀行家捨入、圖上視覺讀值誤差與截尾數字均可能得到其他條件。第三，固定 $n$ 的尖銳包絡不等於未知 $n$ 的全體封閉解；我們只對指定搜索上限提供最小候選，而沒有無界全域週期定理。第四，推導中先驗下限 $b_i$ 必須真實可信；失配會令無辜資料看似不可行。第五，本稿沒有香港學校數據、授權試卷對照、真人同行審查、對照教學實驗、正式測量工具或學習效果；這些均不能由人工整數核驗取代。

9. 結論

對獨立四捨五入的累積百分比與每組人數下限，我們給出精確的整數路徑等價、存在性充要證書、各累積人數的可達尖銳區間、表格唯一性的完整判準與精確計數動態規劃。人工例 $(33\%,67\%)$ 在 $n=3$ 與 $n=300$ 的一解及九解，證明由相同公布百分比不能直接推定相同識別程度。三個定理的普遍有效性依賴形式證明，3,220 組有限整數測試則提供可重現的獨立計算交叉檢查。研究成果定位為香港數學教育延伸的理論工作論文；全文先例、真正數學外審及課堂效度皆有待另行核實。

參考文獻

Cox, N. J. (2023). Speaking Stata: Finding the denominator: Minimum sample size from percentages. The Stata Journal, 23(4), 1086–1095. https://doi.org/10.1177/1536867X231212453

Diaconis, P., & Freedman, D. (1979). On rounding percentages. Journal of the American Statistical Association, 74(366a), 359–364. https://doi.org/10.1080/01621459.1979.10482518

Education Bureau. (2020). Explanatory notes to junior secondary mathematics curriculum. Government of the Hong Kong Special Administrative Region. https://www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/EN_KS3_e.pdf

Sage, A. J., & Wright, S. E. (2016). Obtaining cell counts for contingency tables from rounded conditional frequencies. European Journal of Operational Research, 250(1), 91–100. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2015.09.011