Sharp Feasibility, Three-Point Minimax Certificates, and Half-Open Rounding Tests for Arithmetic Trends under Bounded Reporting Error: An Enrichment Model for Hong Kong Junior Secondary Mathematics

摘要

觀察到多個數值近似於等差數列，不足以判斷是否存在一個共同的線性規律；尤其每項數據可能經過不同方向的捨入。本研究建立一個確定性部分識別模型：時間點 $t_1<\cdots<t_n$ 為已知實數，讀數 $y_i$ 已知，存在未觀察的實數截距 $a$ 、斜率 $b$ ，並假設 $|y_i-a-bt_i|\le\varepsilon$ 。我們首先把全部觀測限制化為成對割線斜率的不等式，取得非空可行集的必要充分條件及完整斜率區間；再以三點弦線殘差與 Helly 定理證明最小統一容錯半徑的精確閉式，並證明其最佳線性趨勢唯一。對於任意未觀察時點，本文證明所有可達數值恰為一個閉區間，並提供有限邊界交點枚舉法。最具教育意義的區分是：閉誤差帶的可行性與真正 round-half-up 捨入的半開原像並不完全等價；對步長 $q>0$ 的固定精度讀數，存在一致的真實線性趨勢當且僅當最小容錯半徑嚴格小於 $q/2$ 。人工例子顯示，在邊界恰等於 $q/2$ 時，閉帶可行而實際 half-up 捨入不可行。本稿是 Chebyshev 最佳一致逼近、Helly 凸幾何及 set-membership estimation 的有限二參數特化與香港課程化呈現，不聲稱上述一般理論首次成立。本文不含香港學生資料、教師實驗或教學效果結論。

Abstract

Approximate arithmetic patterns do not guarantee that the observations are rounded values of a single affine trend. For exact observation times $t_1<\cdots<t_n$ , reported values $y_i$ , and a common closed error tolerance $\varepsilon$ , we study all real lines $a+bt$ satisfying $|y_i-a-bt_i|\le\varepsilon$ . Pairwise secant inequalities yield a necessary and sufficient feasibility certificate and the exact range of slopes. A three-observation deviation formula, justified using convex feasibility and Helly's theorem, gives the smallest admissible uniform error; the minimax affine trend is unique. Intersections of strip boundaries identify sharp prediction intervals at arbitrary times. We further distinguish closed bounded-error strips from the half-open preimages of deterministic round-half-up reporting: for grid spacing $q$ , the observations arise from a single affine trend under half-up rounding if and only if the minimax radius is strictly smaller than $q/2$ . All numerical demonstrations are mathematical constructions. Our contribution is a transparent specialization of established Chebyshev approximation and bounded-error estimation theory for advanced exploration linked to Hong Kong junior secondary algebra and approximation. Global novelty, curriculum adoption, and educational effectiveness have not been established.

**關鍵詞：**等差趨勢；最佳一致逼近；有界誤差；Helly 定理；精確外推；半開捨入；數學建模。

Keywords: arithmetic trends; Chebyshev approximation; bounded error; Helly's theorem; sharp prediction; round-half-up; mathematics education.

1. 引言

等差數列的入門描述是相鄰兩項的差相同。然而，日常數據多經過四捨五入，直接相減後的差可以不同；另一方面，一組看起來有規律的數字，也可能根本無法由任何共同直線經指定精度的捨入產生。這兩種方向的錯誤推理，是本文希望區分的數學判定問題，不是經實測發現的學生常見錯誤。即使平均兩點間的斜率接近，也不足以保證所有觀測與同一條線相容。

香港教育局的修訂初中數學課程比較文件，將「近似值及數值估算」列為第 3 單元，並在代數式、線性方程等單元保留符號化思考。必須精確指出，同一官方文件說明新修訂把「求數列通項」原先的規定刪除，所要求的數列實例有特定範圍（Education Bureau, n.d.）。因此，本研究提供的是以初中數學知識為入口的高階延伸與教師數學探究題材；本文並不把一般等差趨勢辨識與最優化演算法當作香港初中指定必考內容。

一個典型問題如下：測量於不同時間點取得值 $0,2,3,5$ ，對應時間 $0,2,5,7$ 。它們不是一個按相等時間間隔直接列出的等差序列，但有沒有可能某個線性真值，分別經整數四捨五入後剛好得到這些報表數字？若可以，原始斜率能夠確定多少？如要預測時間 $9$ 的真實數值，是否有精確上下界？本文把這些疑問分為四個不同的識別層次：存在性、斜率可行區間、最小必需容錯量，以及外推不確定度。

本文主要貢獻是教育情境下的一體化可再現證書：用中學可理解的兩點斜率推至一個全局充要條件，用三點弦線偏差得到精確的最小容錯門檻，以有限邊界計算給出尖銳外推，再把真正的 half-up 捨入邊界與閉集合模型區別。這些結果皆是現有最佳一致逼近及有界誤差估計理論的專門化，並無宣稱首次發現一般演算法或最優性定理。

2. 文獻綜述與研究定位

Milanese 與 Vicino（1991）概述 set-membership 或 unknown-but-bounded 的估計理論：直接用已知上界描述測量誤差，求出全部與觀測相符的參數集，並可用於回歸和預測。Piet-Lahanier 與 Walter（1990）討論線性模型可行參數集的精確遞迴表述，Cerone（1993）進一步研究變量本身帶誤差時的可行參數集。這些工作表示線性回歸的有界誤差凸集合不是新理論；它們既不是最小二乘法的機率解釋，也不能被簡單等同於某一間香港學校的成績資料。

從另一支理論線索看，Chebyshev 最佳一致逼近研究最小化最大絕對偏差。其等幅交錯特徵對一次多項式要求三個順序排列、偏差符號交替的極值點（Encyclopedia of Mathematics, Chebyshev theorem）。Helly 定理指出，在二維有限凸集合族中，只要任意三個集合有公共點，全族便有公共點（Encyclopedia of Mathematics, Helly's theorem）。本稿以這兩個成熟思想推導一個有明示弦線偏差的三點閉式；所謂「證書」指可反覆檢驗的數學等價條件，絕不代表新提出一種世界首次的估計學派。

中文資料方面，南京大學公開課件載有切比雪夫交錯點及其最佳逼近定理；汪首坤、彭建敏與劉洋（2013）的中文正式期刊文章亦把切比雪夫最佳逼近用於位移傳感器。這些先例反證了「中文學術界未研究最佳一致逼近」的草率說法。我們檢視的是：能否把兩點斜率 → 三點矛盾 → half-up 端點反例組成一套針對香港代數與近似值概念的形式化理論案例，而非文獻上的絕對優先權。

表 1　相關理論、既有學術範圍與本稿可支持的增量

理論路徑	已知來源	本稿特化處理	不能主張
有界誤差參數估計	Milanese & Vicino (1991)、Piet-Lahanier & Walter (1990)	兩參數直線、所有觀測共用誤差半徑的明示計算	一般線性估計理論由本稿創立
最佳一致逼近	Chebyshev 等幅交錯定理	三點弦線偏差與唯一最佳線性趨勢	Chebyshev 定理由本稿首次證明
凸幾何可行性	Helly 定理	三條資料帶充分檢查全部時間點	凸集交集定理由本稿發現
香港課程轉化	教育局 2020 修訂比較文件	聯繫代數式、直線與近似值的高階探究	指定考試內容或教學成效已確立

3. 模型與主要定義

給定 $n\ge2$ 、互不重複而嚴格遞增的確定時點 $t_1<\cdots<t_n$ ，以及報表數字 $y_1,\ldots,y_n\in\mathbb R$ 。尋找某條真實直線 $f(t)=a+bt$ ，其中 $a,b\in\mathbb R$ 。未知報表偏差 $e_i=y_i-f(t_i)$ 可正可負，既不假設互相獨立，也不設計任何機率分佈。統一容錯半徑 $\varepsilon\ge0$ 是事先給定的非負數。所有主要定理先在閉誤差帶成立：

\mathcal F_{\varepsilon}=\{(a,b)\in\mathbb R^2: |y_i-a-bt_i|\le\varepsilon\ \text{for every }i\}.\tag{1}

由於參數只有兩個，圖形上每項觀測施加一條平面平行邊界的帶狀凸集合（strip）。所有帶狀集合的交集 $\mathcal F_{\varepsilon}$ 可能為空、單點、線段或有界凸多邊形。只要 $n\ge2$ 及時間點相異，非空集合必有界，因兩個時點已把 $a,b$ 各自限制在有限範圍。

令 $\Delta_{ij}=t_j-t_i>0$ 與 $d_{ij}=(y_j-y_i)/\Delta_{ij}$ （ $i<j$ ）。這些報表割線斜率只由公開讀數構造，通常互不相等，並非被聲稱為真實斜率。

表 2　記號、假設與可證實範圍

記號	含義	重要界線
$t_i,y_i$	已知時點及報表值	時點無誤差；未建模異質觀測時間
$a,b$	真實截距及斜率	可為任意實數，未限制為整數
$\varepsilon$	共用絕對誤差半徑	閉界；與隨機標準差不同
$\varepsilon_*$	使 $\mathcal F_\varepsilon$ 非空的最小半徑	精確最小最大偏差，非樣本估計量的信賴半徑
$q$	報表 half-up 的刻度間距	$y_i\in q\mathbb Z$ ；恰半格的捨入方向必固定

4. 研究方法及獨立驗證設計

證明以三條互補數學路徑進行。首先用變量消去，把截距 $a$ 的存在性改寫成有限條成對割線不等式；這條路徑直接給出每個 $b$ 的充要區間。其次以三時點的凸組合恆等式得到任何擬合線都必須滿足的偏差下界，並藉平面 Helly 定理反向證明該下界已足以保證全部觀測相容。最後用平面多邊形的頂點性質，將任意時點預測的兩個線性最佳化問題化為有限、有理數時能精確運算的交點檢查。

數值驗證只使用人工生成的有限數列。預設互不依賴的核查應包括：有理數三點公式對照所有割線對的四重索引式；利用成對界檢查每一個演算法返回的參數；檢查可行頂點的每條帶狀約束；在具備線性規劃求解器時以獨立 LP 重核外推上下界。由數值 PASS 不可推導無限維數學定理；反過來，符號定理須能支持驗證程式覆蓋不到的 $n$ 與實數值。實際執行紀錄及可重現性見附錄與 Verification_Report.md。

5. 主要定理與數學證明

5.1 成對割線斜率的充要可行性

對固定 $b$ ，每項觀測給出截距限制 $y_i-\varepsilon-bt_i\le a\le y_i+\varepsilon-bt_i$ 。這 $n$ 個閉區間同時有交集的充要條件，是每一個左端點不超過每一個右端點。經按 $i<j$ 合併，可得：

B_-(\varepsilon)=\max_{i<j}\left(d_{ij}-\frac{2\varepsilon}{\Delta_{ij}}\right),\quad B_+(\varepsilon)=\min_{i<j}\left(d_{ij}+\frac{2\varepsilon}{\Delta_{ij}}\right).\tag{2}

定理 1（精確斜率包絡）。 $\mathcal F_{\varepsilon}$ 非空，當且僅當 $B_-(\varepsilon)\le B_+(\varepsilon)$ 。若非空，所有可達斜率恰為 $[B_-,B_+]$ ；對其中任意 $b$ ，所有可達截距恰為

A_-(b)=\max_i(y_i-\varepsilon-bt_i)\ \le a\le\ A_+(b)=\min_i(y_i+\varepsilon-bt_i).\tag{3}

證明。 任意 $i<j$ ，要求 $y_j-\varepsilon-bt_j\le y_i+\varepsilon-bt_i$ ，可化為 $b\ge d_{ij}-2\varepsilon/\Delta_{ij}$ ；把 $i,j$ 互換，則得 $b\le d_{ij}+2\varepsilon/\Delta_{ij}$ 。由所有兩兩截距區間交疊的必要充分條件，恰得到式（2）的斜率區間。反向說，任何 $b$ 位於此區間，所有 $i,j$ 的左界都不超過右界，故式（3）非空；任取 $a$ 在該區間便逐一符合 $|y_i-a-bt_i|\le\varepsilon$ 。兩個端點亦由此構造實現，因此是尖銳界。證畢。

這裡有兩個容易混淆的層次： $B_-\le b\le B_+$ 才是斜率可行，但 $a$ 仍須與同一個 $b$ 配對；各自挑一個任意截距和任意斜率一般無法保持原本所有不等式。

5.2 三點矛盾及最小共同容錯

定義 $\varepsilon_* =\min_{a,b}\max_i|y_i-a-bt_i|$ 。存在性來自 $n\ge2$ 時兩點構成的有界次水平集；所有讀數有限，任取常數線即可找到有限起始半徑。對三個指標 $i<j<k$ ，任何直線的中間真值恰是兩端真值的凸組合。令

D_{ijk}=y_j-\frac{(t_k-t_j)y_i+(t_j-t_i)y_k}{t_k-t_i}.\tag{4}

設 $\lambda=(t_k-t_j)/(t_k-t_i)\in(0,1)$ 。因直線的插值恆等式， $D_{ijk}=e_j-\lambda e_i-(1-\lambda)e_k$ ，故 $|D_{ijk}|\le2\max(|e_i|,|e_j|,|e_k|)$ 。這給每三點的下界；真正關鍵是反向也成立。

引理 1（三點精確證書）。 對指定 $i<j<k$ ，僅有這三項觀測時的最小一致誤差恰是 $|D_{ijk}|/2$ 。

證明。 下界已由凸組合三角不等式得到。若 $D_{ijk}\ge0$ ，取使兩端殘差 $e_i=e_k=-D_{ijk}/2$ 的直線（即通過兩個修正後的端點真值 $y_i+D_{ijk}/2$ 、 $y_k+D_{ijk}/2$ ）；中間殘差便為 $e_j=D_{ijk}/2$ 。對 $D<0$ 全部反號。故三點確可達。證畢。

定理 2（全樣本最小容錯閉式）。 當 $n\ge3$ ，

\varepsilon_*=\frac12\max_{i<j<k}|D_{ijk}|;\qquad \text{當 }n=2,\quad \varepsilon_*=0.\tag{5}

證明。 引理 1 給所有三點的共同下界，故任意全樣本直線的最大殘差不得小於右端。反向，令 $r$ 等於右端。每個時點的參數帶 $S_i=\{(a,b): |y_i-a-bt_i|\le r\}$ 是平面閉凸集合。根據引理 1，任意三個帶 $S_i,S_j,S_k$ 有非空交集。平面有限 Helly 定理保證全體 $S_i$ 亦有公共交點，亦即全樣本存在一條殘差全部不超過 $r$ 的直線。此時 $\varepsilon_*\le r$ ，與下界合併得等號。 $n=2$ 可用唯一的過兩點直線使殘差皆為零。證畢。

式（5）不是新的 Chebyshev 理論，而是一個特別便於逐項教學／電腦驗算的有限三點證書：若某三個數值的中間報表值相對端點連線偏離 $2r$ 以上，那麼在容錯 $r$ 的假設下，全局線性模型立即不可能成立。反之，若全部三點均通過，平面凸幾何保證沒有隱藏的四點或更多點矛盾。

推論 1（最佳直線唯一；門檻相變）。 對所有 $n\ge2$ 、相異時點， $\mathcal F_{\varepsilon_*}$ 恰含一個點 $(a_*,b_*)$ ；對任何 $\varepsilon>\varepsilon_*$ ， $\mathcal F_\varepsilon$ 有非空內部，包含無限多條可行直線。

證明。 若 $\varepsilon_*=0$ ，任何擬合都須通過至少兩個不同時點之觀測，直線唯一。若 $\varepsilon_*>0$ ，式（5）有一個達最大值的三點組。其上述三角不等式必取等號，迫使相應兩端殘差同號且幅度等於 $\varepsilon_*$ 、中點取反號且同幅；因此該兩端真值已固定，決定唯一的 $a_*,b_*$ 。對 $\varepsilon>\varepsilon_*$ ，最佳直線的所有約束均有共同的正餘量 $\varepsilon-\varepsilon_*$ ；足夠小的參數鄰域仍滿足全部有限約束，故有非空內部。證畢。

5.3 不同數學路徑的獨立最小容錯表達式

式（2）的存在性等價於每個割線 $p=(i,j)$ 的下界不大於每個割線 $q=(k,l)$ 的上界。設 $\Delta_p,\Delta_q$ 及 $d_p,d_q$ 為兩對的距離與斜率，把所有不等式同時對 $\varepsilon$ 求最小值，即得

\varepsilon_*= \max_{p,q}\frac{\max(0,d_p-d_q)}{2(1/\Delta_p+1/\Delta_q)}.\tag{6}

此處 $p,q$ 可相同，也可以共用端點。其證明不使用 Helly 定理，直接將 $d_p-2\varepsilon/\Delta_p\le d_q+2\varepsilon/\Delta_q$ 移項並對全部割線配對取最大值。式（5）和式（6）對所有輸入恆等，形成結構不同的兩條精確運算路徑：三點式可 $O(n^3)$ 計算，式（6）直接版可 $O(n^4)$ 計算。後者提供數學程式核驗時較有力的交叉比對。

5.4 任意時點的精確預測包絡

對時點 $h\in\mathbb R$ ，定義全體可達真值 $\mathcal P_h(\varepsilon)=\{a+bh:(a,b)\in\mathcal F_\varepsilon\}$ 。由線性映射的凸性及連續性，若 $\mathcal F_\varepsilon$ 非空，則 $\mathcal P_h$ 必為某個閉且有界的實數區間。為計算兩端點，將每項誤差的上下界寫成兩條邊界直線：

a+t_i b=y_i+s_i\varepsilon,\quad s_i\in\{-1,+1\}.\tag{7}

對任意不同 $i,j$ 和符號 $s_i,s_j$ ，解兩條邊界的聯立方程：

b_{ij}^{s_i,s_j}=\frac{y_j+s_j\varepsilon-y_i-s_i\varepsilon}{t_j-t_i}, \quad a_{ij}^{s_i,s_j}=y_i+s_i\varepsilon-t_i b_{ij}^{s_i,s_j}.\tag{8}

定理 3（有限尖銳外推證書）。 若 $\varepsilon\ge\varepsilon_*$ ，保留式（8）中所有滿足 $\mathcal F_\varepsilon$ 全部不等式的交點，形成有限非空集合 $V_\varepsilon$ 。則

\mathcal P_h(\varepsilon)=\left[ \min_{(a,b)\in V_\varepsilon}(a+bh),\ \max_{(a,b)\in V_\varepsilon}(a+bh) \right].\tag{9}

證明。 兩個相異時點的帶狀限制已使 $(a,b)$ 有界；全部帶的交集是閉凸多邊形（可退化為線段或點）。其任何極點若只有一個線性獨立的緊束邊界，便能沿某個極小方向移動而仍滿足全部限制，與極點定義矛盾。因此每個極點必為兩條不同時點且不平行的邊界式（7）的交點；式（8）的檢查保留全部極點。線性目標 $a+bh$ 在非空緊凸多邊形的極小與極大值必有極點實現，式（9）遂得，所有中間值則由兩極端可行直線的凸混合達到。證畢。

枚舉最多 $4\binom n2$ 個候選交點，每個核查 $n$ 條帶，直接複雜度 $O(n^3)$ ；若觀測時點及值皆為有理數，選取有理數 $\varepsilon,h$ ，全過程可用 Fraction 精確完成，不必以浮點容差猜測端點是否可達。若真值另外規定了物理非負、單調增加或整數參數，須把那些條件另加於可行集；本文式（9）只針對原本宣告的兩參數實數模型。

5.5 真正 half-up 捨入：閉界判準必須嚴格化

指定報表刻度 $q>0$ ，每個 $y_i$ 是 $q$ 的整數倍，並採用「剛好半格時向較大實數方向捨入」的 round-half-up 規則；即讀數為 $y_i$ 的真值原像是 $[y_i-q/2,y_i+q/2)$ 。這與以 $\varepsilon=q/2$ 表示的雙端封閉誤差帶不同。對負數，這項規則是 ties toward $+\infty$ ，若改用 ties away from zero 或 ties to even，端點規則需要重新分析。

定理 4（half-up 精確可行性）。 對 $n\ge2$ 個不同時點及所有 $y_i\in q\mathbb Z$ ，存在一條真實線性趨勢使指定 half-up 捨入後恰得全部 $y_i$ ，當且僅當

\varepsilon_*<\frac q2.\tag{10}

證明。 若 $\varepsilon_*<q/2$ ，式（5）的一條最佳直線殘差全部落在 $(-q/2,q/2)$ ，必然屬每個 half-up 原像，故可行。若 $\varepsilon_*>q/2$ ，連較寬鬆的閉帶都不可行，故必不可行。尚需處理等號：若 $\varepsilon_*=q/2>0$ ，依式（5）必存在 $i<j<k$ 使 $|D_{ijk}|=q$ 。對任何閉誤差最優擬合，式（4）中 $D=e_j-\lambda e_i-(1-\lambda)e_k$ 的三角不等式達等號，強迫三點殘差交替在 $+q/2$ 與 $-q/2$ 。但 half-up 原像允許的殘差是 $e_i=y_i-f(t_i)\in(-q/2,q/2]$ ，即 $-q/2$ 被排除，這與兩種交替方向均矛盾。對 $n=2$ ， $\varepsilon_*=0<q/2$ 。故等號亦不可行。證畢。

這個嚴格不等號是實際「報表四捨五入」問題的重要判準，亦展示一種一般可行集合閉包和離散操作原像不同的情況。公式只適用於共同刻度、確定性 half-up、實數直線；若是截斷（round down）、ties-to-even、異質刻度或真值有其他約束，不能直接套用定理 4。

6. 人工結果、邊界情況與圖表

6.1 四個讀數的精確例子

取 $(t_i,y_i)=(0,0),(2,2),(5,3),(7,5)$ 。三點弦線殘差最大的絕對值為 $4/5$ ，出現在三點組 $(0,2,5)$ 和 $(2,5,7)$ ，故式（5）給 $\varepsilon_*=2/5$ 。其唯一最佳線性趨勢為 $f_*(t)=2/5+(3/5)t$ ，在四個時點的真值分別是 $2/5,8/5,17/5,23/5$ ；到最近整數且半格向上捨入即得 $0,2,3,5$ 。於是 $2/5<1/2$ ，真正整數 half-up 捨入確實可行，而非靠閉包假象。

若使用事先公佈的誤差半徑 $\varepsilon=1/2$ ，則全部六對報表割線計算的精確斜率區間為 $[4/7,2/3]$ ；任何介於這兩端的斜率可配合某個適當截距通過誤差限制。對未觀察的時點 $h=9$ ，式（8）–（9）的有限頂點枚舉給出精確閉模型外推區間 $[79/14,37/6]$ ；這兩個端點均由合法直線實現，不能解讀為統計信賴區間。注意斜率與外推範圍是閉有界誤差模型的結果，若要求對 half-up 真值原像，某些觸及排除上端點的邊界模型需移除，不能不經檢查地宣稱兩個完整模型擁有相同的可達端點。

表 3　四點人工讀數在不同誤差半徑下的識別情況

共用半徑 $\varepsilon$	閉帶線性模型	斜率可行範圍	模型意義
$0$	不可行	空集合	報表讀數並非恰好共線
$1/4$	不可行	空集合	任意線都需超過此容錯
$2/5$	可行而唯一	$\{3/5\}$	最優線 $2/5+3t/5$
$1/2$	可行，且有內部	$[4/7,2/3]$	若另採 half-up，需檢查開端點

圖 1　四點人工資料的共同容錯半徑與斜率可行包絡；來源：本文精確不等式所生成之人工數學模型。

圖 1 以斜率上下包絡的交合展示 $\varepsilon_*$ 是真正的可行性門檻；容錯若低於 $2/5$ ，上下界交錯，任何截距都不能修復這組報表。

圖 2　截距－斜率參數平面的可行多邊形及端點交叉構造；來源：本文四點人工讀數與閉誤差半徑二分之一。

圖 2 顯示所有可行線的參數不是獨立的矩形選取，而是被所有觀測帶同時限制的一個多邊形；取線性目標可在其角點找到預測端點。

6.2 closed band 與 half-up 的反例

取時間 $0,1,2$ 、報表值 $0,1,0$ 、整數刻度 $q=1$ 。三點弦線偏差 $D=1$ ，故 $\varepsilon_*=1/2$ ，閉帶最優直線為常數 $f_*(t)=1/2$ ，每一個閉誤差限制皆成立；但按 half-up 捨入，真值 $1/2$ 會捨入為 $1$ ，不可能同時產生兩端的報表 $0$ 。這並非說存在其他未找到的直線：定理 4 已嚴格證明所有直線都不可行。

圖 3　閉誤差帶允許的半格端點與真正 half-up 捨入半開原像的對照；來源：本文人工三點反例，非真實測量。

此例說明，將數值資料的最大容許偏差直接寫成「不超過半個刻度」時，若真正的測量機制是 half-up，必須核查等號；不同捨入規則可能使邊界個案的存在性答案改變。

表 4　可驗證命題、數學量與其不可替代的概念

數學結論	可檢查項目	可合理教學解讀	不可推論
定理 1	成對割線斜率上下界	一個斜率能否配合同一截距	讀數對應某條「最接近」的隨機回歸線
定理 2	三點弦線偏差的最大全距一半	最少須容忍多少報表誤差	某名學生的數學能力分數
定理 3	多邊形邊界有限交點	未觀察時點真值的所有可能值	時間序列隨機預測的信賴區間
定理 4	$\varepsilon_*<q/2$	真正 half-up 原像可否同時成立	所有捨入慣例的普遍判準

7. 討論：數學認知與可設計的延伸問題

本文把「模式」分解為三種性質：觀察值恰好成直線（容錯為零）、容錯下存在某條直線（非空識別集合），以及存在經特定捨入操作產生數字的直線（半開原像交集）。這三者的邏輯強弱依次不同。對學生的高階活動，可先要求只用兩點斜率判定候選直線，再給第三項挑戰；當三點互相矛盾時，討論容錯量如何化解，以及為何同一個 $b$ 不能任意配上一個 $a$ 。最後以 half-up 邊界反例提醒學生：不等號究竟是「小於」還是「小於或等於」，本身是一個數學決定。

設計層面可提出可檢驗、但本文沒有實際測試的假設：如果學生先直觀地操作三點弦線偏差，再看參數平面的可行多邊形，或會更容易區分「線性模型存在」與「模型唯一」。要測試這一假設，需預先註冊評量題、獨立教學組與對照組、可核查評分規準、參與者同意及倫理安排。本文任何數學證書都不能自動推導學習增益。

這個方向與 HKME-013 的百分比頻數逆算不同，因為本稿識別的對象是連續兩參數直線及其未觀察時間值；也與 HKME-014 的未知聯合分佈不同，因為本稿不涉及概率相依或骰子。其後可逐步擴展至異質刻度 $q_i$ 、不等誤差 $\varepsilon_i$ 、有缺漏點的非均勻時間，以及限制 $b\ge0$ 的單調實物過程，但每一項都需要重新計算尖銳界。

8. 研究限制

第一，本研究只處理時間點完全已知、截距和斜率皆可連續取實數的模型。時間記錄出錯、讀數含離群值、系統性漂移、不同時間誤差上界互異、曲線真值等情形均不在定理範圍。其次，共同絕對誤差半徑提供的是確定性容差，不能解釋為信賴區間、概率保證或標準差；不應只因不同直線均可行便將其當成隨機模型。第三，所述 half-up 明確處理恰半格向較大實數捨入，其他常用規則在負值或平手時需重定義。

第四，本稿的三點公式可由經典 Chebyshev 與 Helly 結果導出；付費英文原文、中文期刊、學位論文與前人更早的等價閉式未做窮盡查新。故這是一份已形式推導、仍待原創性外核的工作論文。第五，沒有香港教師或學生的真實資料，教育局來源只界定可能的課程連結，既不驗證此主題的教學可行性，也不表示教育局認可本文。

9. 結論

當觀測於確定時點呈現近似等差或線性趨勢時，能嚴格確定的是符合全部觀測的模型集合，而不只是平均斜率。本稿建立成對割線的充要斜率包絡，以三點弦線偏差的最大值求得最小共同容錯，並證明最佳直線的唯一性。再經平面多邊形頂點可得到任意外推時點的可達值閉區間。最終，只有明確指定 half-up 的半開捨入原像，才得出真正的嚴格門檻 $\varepsilon_*<q/2$ 。香港初中代數與近似值提供理解此數學問題的入口；對國際原創性與學習效果的主張，仍須等待獨立證據。

參考文獻

Cerone, V. (1993). Feasible parameter set for linear models with bounded errors in all variables. Automatica, 29(6), 1551–1555. https://doi.org/10.1016/0005-1098(93)90020-T

Education Bureau. (n.d.). Comparison of the revised junior secondary mathematics curriculum content and the current junior secondary mathematics curriculum content. Government of the Hong Kong Special Administrative Region. https://www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_JS_e.pdf

Encyclopedia of Mathematics. (n.d.). Chebyshev theorem. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Chebyshev_theorem

Encyclopedia of Mathematics. (n.d.). Helly's theorem. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Helly%27s_theorem

Milanese, M., & Vicino, A. (1991). Optimal estimation theory for dynamic systems with set membership uncertainty: An overview. Automatica, 27(6), 997–1009. https://doi.org/10.1016/0005-1098(91)90134-N

Piet-Lahanier, H., & Walter, E. (1990). Exact recursive characterization of feasible parameter sets in the linear case. Mathematics and Computers in Simulation, 32(5–6), 495–504. https://doi.org/10.1016/0378-4754(90)90005-4

汪首坤、彭建敏、劉洋（2013）。基於切比雪夫最佳逼近的 LVDT 位移傳感器信號處理。《北京理工大學學報（自然科學版）》，33(3)，271–275。https://journal.bit.edu.cn/zr/article/id/20130312