摘要
在五人協作競技中，團隊整體獲得更大報酬，仍可能使其中一個三人小組認為自己值得單獨行動。這種「集體效率與聯盟穩定性分離」不能只以總資源或平均分配衡量。本研究將《王者榮耀》的五人合作抽象為可轉移效用（transferable utility, TU）合作博弈：各成員擁有可加的單獨貢獻，成對互補帶來累積收益，而一個可由至少三人取得的共同資源獎勵在達到三人後完全飽和。研究先用五人所有 31 個非空聯盟精確構造特徵函數，再從 Shapley 值、核心（core）與最小核心（least core）的定義推導穩定性條件。當每一對玩家貢獻相同、兩人協同係數為 α、飽和額外報酬為 β≥0 時，證明核心非空的充要條件為 α≥2β/15；當 α 小於門檻，最小核心鬆弛量精確等於 2β/5−3α。對應 Shapley 向量在對稱互補模型恰好實現最小核心，顯示公平貢獻分配仍可能遭合理的三人偏離阻擋。進一步以固定角色合作權重及 500 組參數擾動計算異質博弈的線性規劃最小核心。兩組異質基準的鬆弛量分別為 1.2875 與 0，且合成擾動樣本的穩定比例分別為 0/250 與 250/250。所有數值均為設定模型的計算結果，無法直接推論任何版本的實戰勝率。研究提供一個可檢查的合作穩定性診斷方法、空核心的解析反例、可重現的程式與圖表，以及從合作公平進一步走向真實行為測量所需的條件。
關鍵詞： 王者榮耀；合作博弈；Shapley 值；核心穩定性；最小核心；聯盟阻擋
1. 引言（Introduction）
1.1 背景與研究動機
在團隊競技場景中，某次資源取得可能同時依賴多位成員：有人吸收風險、有人提供偵察、有人負責完成目標，亦有人犧牲另一地點的收益。即使成功行動使全隊效益增加，各成員仍可能對合作所得的分配產生不同評價。特別是當三名隊員已能獨立達成某個抽象任務，第四、第五位成員的加入未必令該任務的收益同比例增加。理性小聯盟因而可能主張退出目前的五人安排，將可得的資源收益自行分配。僅比較「五人一起做是否勝過單人做」，無法回答任何可能三人或四人組合會否提出更具吸引力的替代方案。
《王者榮耀》提供五人協作的有意義背景，但本研究不宣稱某一版本中存在真實而固定的「三人獎勵」機制。三人飽和是假設性實驗：模擬一種只要覆蓋必要的三類任務，額外隊員便不再提升該項資源收益的決策環境。它可能對某些團隊資源或戰術小組有啟發，但是否實際存在，必須由另外收集的合法對局記錄驗證。
先前 HOK-001 聚焦情報交換，HOK-002 研究兵線與旅行機會成本，HOK-003 在未充分觀察敵方塔壓力時求解受限輪轉。上述模型主要以一位決策者或集中控制者為中心；當不同玩家可自行組隊、拒絕提案並談判合作收益時，研究對象則轉為合作聯盟的特徵函數、退出權和分配規則。這也是本文與角色輪替公平最佳化的根本區別：公平性是一種分配評價，核心穩定性則要求所有子聯盟都缺乏集體改進的誘因。
1.2 研究問題、目標、假說及貢獻
Research Problem： 假設五人聯盟取得可分配的合作效用，且存在兩兩角色互補與三人門檻後飽和的共同資源獎勵。哪一種獎勵結構令所有可能的子聯盟都願意留在五人團隊？按 Shapley 邊際貢獻分配是否同時滿足該穩定性要求？
Research Questions：（Q1）能否推導對稱模型核心非空的解析門檻？（Q2）若核心為空，最小程度放寬每個聯盟的參與條件是多少？（Q3）異質角色配對權重如何改變 Shapley 向量、最脆弱的子聯盟及分配方案？（Q4）這些結果對假設參數擾動是否保持一致？
Research Objectives： 完整列舉五人聯盟的可行價值；建立公平與穩定性的形式化區分；證明至少三個可直接驗算的解析命題；以線性規劃及獨立排列枚舉檢查數學推導；分析非均勻合作網絡與參數波動；界定模式可供遊戲實證研究使用的範圍。
Research Hypotheses： H1：飽和獎勵過強而成對互補過弱時，五人核心為空。H2：兩兩互補增強會降低穩定所需的核心鬆弛量。H3：Shapley 對效率和對稱性的滿足不必然滿足聯盟無阻擋條件。H4：異質配對權重會令各人分配及被阻擋聯盟與總增益不同步變化。
Research Contributions：（一）構造角色互補與最低人數獎勵並存的五人特徵函數；（二）為指定對稱模型導出 α 與 β 的核心非空充要門檻及閉式 least-core；（三）提供 Shapley、均分額外收益和線性規劃 least-core 的可重現比較；（四）顯示未有真實數據時，理論型論文應如何限定遊戲解釋及外部效度。本文所稱新意限於此具體模型及其解析結論，不暗示核心、Shapley 值或線性規劃本身為新發明。
2. 文獻回顧及理論定位（Literature Review）
Shapley（1953）提出以各成員在全部加入順序中的平均邊際貢獻衡量合作價值；其效率、對稱性、虛玩家及可加性公理，使比較不同分配原則具有共同基準。在本文中，Shapley 值並不充當選角建議，而是對既定五人合作剩餘提供一個可計算的公理化分配。這種分配可在數學上公平，但公平並不等於每個小聯盟都接受。
核心（core）是特徵函數合作博弈的聯盟穩定性概念：在有效率的分配中，不存在成員皆可較好轉往自身子聯盟的可行改進。Shapley（1967）關於平衡集合與核心的研究，連同 Bondareva 的早期工作，確立了以平衡權重判定核心非空的框架。本文不將該定理冒稱為新的結果，而利用其核心想法設計五人三人聯盟的代數阻擋證明。
Shapley（1971）指出凸合作博弈具有非空核心，其 Shapley 值位於核心之內。這結果說明當邊際合作貢獻隨聯盟擴大而不減時，貢獻分配和穩定性可以相容。然而，三人達標後收益立即飽和會破壞某些邊際貢獻的單調性。正因如此，即使成對合作本身提供正效應，整體博弈仍可能偏離凸性。本文推導何時成對互補足以抵消這種飽和效應，並明確避免從「核心非空」反推「博弈凸」。
Myerson（1977）研究通信圖結構如何約束合作關係。本文借用將角色合作關係表示為非負加權圖的視角，但沒有將本文的所有子聯盟自動限制為圖上連通子集，也未使用 Myerson 值：邊權只表示假設性互補強度，模型仍是完整的特徵函數博弈。這個區分使實驗結果不被誤讀為通信受限情境的穩定性證據。
當核心為空，可分析容許小量阻擋誘因的 ε-core。Maschler、Peleg 與 Shapley（1979）研究 ε-core 與核仁等解概念之間的幾何聯繫。本文使用最小可行 ε 的線性規劃，屬於常見的 least-core 方法；不聲稱 LP 所產出的其中一個最適解必然是核仁（nucleolus）。因為同一 ε 值下分配向量可能有多個最適頂點，核仁還需要額外的字典序超額優化步驟，超出此研究範圍。
相較於已有的合作博弈一般理論，本文將注意力限制在五人、三人門檻、成對互補與總量飽和的組合。這種較窄的假設容許精確充要條件，亦意味推論的廣泛適用性必須保留為未驗證問題。
3. 問題建構及變數定義（Problem Formulation）
3.1 五人聯盟與假設
設 N={1,2,3,4,5} 為五名參與者，S⊆N 為任意子聯盟，|S| 為其人數。為了呈現五名玩家各自可能具有不同分工，以 P1 至 P5 表示五個抽象角色；它們不等於官方固定英雄類別，且不涉及某一版本的技能數值。每個子聯盟在同一個決策時窗內可選擇共同完成任務，其可分配效用記為 v(S)，並規定 v(∅)=0。
假設 A1（特徵函數）：當我們比較不同的候選 S 時，v(S) 表示該 S 作為參與單位的反事實總價值。此價值不依賴同時形成的其他聯盟。特別是所有三人聯盟「在各自獨立反事實中」均可達成門檻，不意味比賽中多個三人組可以重複領取同一個排他性資源。
假設 A2（可轉移效用）：協作總效用可以抽象地在成員間轉移、補償或分配，即收益向量 x=(x1,…,x5) 可重新協商。遊戲內並無現金支付，因此現實詮釋可以是可再分配的經濟機會、資源優先權或未來合作承諾。轉移能力只是一種數學理想化，任何實際轉換均可能面臨制度或時間限制。
假設 A3（靜態結構）：單一決策時窗中，玩家能承諾最終分配；不處理技能冷卻、裝備更新、對手最佳反應、匹配制度或開局前選角；各人按照相同單位評估效用。收益亦不代表真實金幣或勝率。
假設 A4（非負互補）：成對權重 w_ij=w_ji≥0、w_ii=0，α≥0；三人門檻獎勵 β≥0。所有成員擁有獨立效用 b_i≥0；三人獎勵只要 |S|≥3 就可得到一次，並不隨四人或五人參與增加。這最後一條是本文主要的非凸性來源。
3.2 符號表
| 符號 | 定義與單位 |
|---|---|
| N、S、k= | S |
| b_i | 第 i 人的單獨效用，任意效用單位 |
| w_ij | i、j 配對合作的無因次互補權重 |
| α | 每個單位配對權重轉換成效用的係數 |
| β | 只在 k≥3 時一次性取得的飽和額外效用 |
| v(S) | 聯盟 S 可分配總價值，效用單位 |
| x_i | 團隊分配給玩家 i 的效用 |
| φ_i(v) | 第 i 人的 Shapley 值 |
| e(S,x) | S 的阻擋超額 v(S)−Σ_{i∈S}x_i |
| C(v) | 不被任何子聯盟阻擋的核心集合 |
| ε* | ε-core 的最小非負鬆弛量 |
3.3 基本特徵函數
定義所有聯盟的價值為
第一項是單人可歸屬收益；第二項將每一對留在聯盟內的互補效益加總；第三項代表只需達到最低人數即可獲取的共同資源機會。式中沒有失敗概率或版本依賴技能值，因而無法推論在某一真實團戰中應派多少人。選擇這一形式的理由是可直接分離線性個人價值、二人成對貢獻與非線性飽和收益的穩定性作用。
例如 S={1,3,5} 時，v(S)=b1+b3+b5+α(w13+w15+w35)+β；若只保留 {1,3}，最後一項變成零。把 P2、P4 加回聯盟後，協作邊權增加，但獎勵 β 不再增加。由此可能出現某三人子團體對自己的獨立價值評估高於團隊給予的總分配。
4. 模型及求解方法（Mathematical Model）
4.1 效率、核心與阻擋超額
一個有效率的分配向量需滿足 Σ_i x_i=v(N)。如果所有非空真子集 S⊂N 亦滿足 Σ_{i∈S}x_i≥v(S)，此分配屬於核心 C(v)。這些不等式之所以必要，是因為當 e(S,x)=v(S)−Σ_{i∈S}x_i>0，假設 S 能以自己的價值進行內部再分配，便有至少一種安排令其成員全部不比留在 N 更差，且部分成員更好。若所有 S 均有 e(S,x)≤0，則在 TU 假設下不存在可嚴格提高所有 S 成員效用的阻擋。
以矩陣 A 的每一行表達一個真子聯盟的 0/1 成員指示向量，核心可行性相當於線性限制 Ax≥v_sub、1^T x=v(N)。五人共有 2^5−2=30 個非空真子聯盟，外加一個總效率等式；若包含全集則共有 31 個非空聯盟。因為只有五人，可以將所有必要條件一次納入 LP，不需要近似抽樣子聯盟。
4.2 Shapley 值與獨立交叉核對
Shapley 值定義為每位玩家對全部 5!=120 個進場順序的平均邊際貢獻：
其中 P_i^π 是排列 π 中排在 i 前面的所有人。對每個排列，按順序加總所有邊際差會望遠鏡式相消，得到 v(N)−v(∅)=v(N)；再對排列平均即得到效率 Σ_iφ_i=v(N)。這個恆等式也成為程式的獨立檢查。本文直接列舉全部 120 種排列，而不以有限次隨機加入順序去近似 Shapley 值。
4.3 最小核心線性規劃
核心可能為空。本文定義 ε-core（ε≥0）為全部效率向量中，對每個非空真子聯盟允許最高 ε 效用缺口的集合：Σ_{i∈S}x_i≥v(S)−ε。其最小核心鬆弛解由以下 LP 求得：
實作直接包括所有單人聯盟，並容許 x_i 自由取實數；當 ε=0 時，單人限制自動保障個體理性。若 LP 最優 ε*=0，核心非空；否則 ε*>0 表示不可能完全消除所有小聯盟的正阻擋超額。這個 ε 是對每個子聯盟相同的絕對效用容忍值，不是每個成員或每單位資源的相對誤差。最小核心 LP 的 x 解可能不唯一，不可將任意一個 LP 頂點誤稱核仁。
4.4 分配公平的參照方案
比較方案包括：Shapley 邊際貢獻分配 φ；「平均分配合作剩餘」規則 x_i^EQ=b_i+(v(N)−Σ_jb_j)/5；以及上述 LP 在最小 ε 下選出的一組可行 x^LC。EQ 對單獨可得貢獻作保留，再均分額外合作收益，而非將五人的總效用不加區分地均分。對任一方案，透過 max_{S⊂N}e(S,x) 判定其最大阻擋缺口；正缺口愈大，依此模型愈容易出現受益的小聯盟。
5. 解析理論與完整證明（Theoretical Analysis）
5.1 命題一：成對互補項的 Shapley 分攤
命題 1。 對任意非負對稱 w_ij，本文特徵函數的 Shapley 值有閉式形式：
證明。 Shapley 值對特徵函數具加法性，因此可分解成單人成分、每對邊成分及人數門檻成分。第一項 b_i 僅於 i 加入聯盟時新增，全部算在 i 身上。對每條邊 {i,j}，當 i 晚於 j 進入時，i 的邊際效用包含 αw_ij；在均勻隨機排列下，i 晚於 j 的機率恰為 1/2，因此 i 獲得 αw_ij/2，j 亦相同。門檻項只與聯盟人數有關，五個人置換角色後不改變其值。故由 Shapley 的對稱性，β 應均分為每人 β/5。三項相加得證。這裡的 β/5 不是任何真正「三人分五等份」的遊戲規則，而是對所有加入順序取平均的公理結論。□
因為兩端邊權都計入求和，全部 Shapley 分配中的配對部分共為 αΣ_{i0 的極端情況，每個人仍各取 β/5，但一個達標的三人組只能拿到 3β/5，與其反事實價值 β 差距為 2β/5。
5.2 命題二：對稱模型的核心非空充要門檻
命題 2。 令所有 i≠j 的 w_ij=1，α≥0、β≥0，個人基值 b_i 可互不相等。本文的五人合作博弈核心非空，若且唯若
證明（必要性）。 先從任何分配 x 扣除個人基值，定義 y_i=x_i−b_i。效率成為 Σ_i y_i=10α+β，且 k=3 的每一個三人聯盟 T 要求 Σ_{i∈T}y_i≥3α+β。五人有 C(5,3)=10 個三人組，每人剛好出現在 C(4,2)=6 個三人組中。將十條不等式相加得 6Σ_i y_i≥10(3α+β)。代入效率：6(10α+β)≥30α+10β，整理為 30α≥4β，亦即 α≥2β/15。如不滿足，任何有效率分配都會至少違反一個三人聯盟限制，核心必為空。此證明也可視為一組明確的平衡聯盟阻擋證據。□
證明（充分性）。 取命題 1 的 Shapley 分配 x_i=b_i+2α+β/5，因為每人有四條等重配對邊。對 k=1 至 4，將 k 人聯盟的價值扣除這 k 人得到的 Shapley 分配，並消去 Σb_i，依次為：
在 α≥2β/15 且 α,β≥0 下，e1,e2≤0；e3≤0；e4≤β/5−4β/15=−β/15≤0。因此所有真子聯盟均無正阻擋超額，Shapley 向量本身就在核心內。必要性與充分性合併得證。□
這一命題具有可解釋的比較靜態意義：三人即可達到的飽和資源 β 愈大，必須以更強的跨玩家兩兩互補 α 支持五人留在同一個合作結構。若 β=0，非負配對互補使門檻自動滿足。若 α=0 且 β>0，雖然每人均可分到正的協作收益，但某三人組永遠可以指出分配不足，核心必定為空。
5.3 命題三：最小核心鬆弛量的閉式解
命題 3。 在命題 2 的對稱配對權重設定下，最小核心的最優值為
並且 Shapley 分配 x_i=b_i+2α+β/5 恰好實現 ε*。
證明。 對任意效率分配 x，十個三人聯盟的阻擋超額相加為 10(3α+β)−6(10α+β)=4β−30α。其平均值為 2β/5−3α。因此十個三人聯盟中至少有一個 e(T,x)≥2β/5−3α，任意 ε-core 的共同鬆弛量必須滿足 ε≥max{0,2β/5−3α}。另一方面，命題 2 的四組 e_k 表明，Shapley 向量的最大非負超額為 max{0,e3,e4}。當 α<2β/15，e3>0 且 e3−e4=β/5−α>0；e1,e2≤0，故最大值恰為 e3。當 α≥2β/15，全部 e_k≤0。綜合兩種情形，上述下界均由 Shapley 向量取到，得證。□
由命題 3，在 α<2β/15 的核心為空區域，最小核心缺口對 α 的斜率是 −3，對 β 的斜率是 2/5；跨過 α=2β/15 後，ε* 保持在零。這些是由模型推導出的分段比較靜態，不是實際遊戲中資源收益變動的估計迴歸係數。
5.4 命題四：單純效率並不推出穩定性
命題 4。 若 α=0、β>0，則五人團隊價值比五名玩家單獨行動總和高 β，但核心仍為空。
證明。 v(N)=Σ_ib_i+β>Σ_ib_i，故確有嚴格正的總協作剩餘；但此時 α=0<2β/15，由命題 2 必有空核心。更直接地，十個三人聯盟的約束要求 6β≥10β，對 β>0 矛盾。故總效率提高與聯盟穩定是兩種不同性質。□
重要界定： 即使在對稱情況中 Shapley 確保最小 ε，當 ε*>0 時其分配仍遭至少一個三人子聯盟阻擋。不能把「Shapley 恰為 least-core 解」寫成「Shapley 在核心中」。當 α≥2β/15，得到的只是核心非空及其中一個核心分配；它不意味特徵函數一定是凸博弈。
6. 數值實驗設計及可重現性（Numerical Experiments）
6.1 數據來源、假設與演算法
全部實驗使用 Python 產生的假設參數，不讀取對局日誌、玩家數據、賽季統計、官方版本接口或第三方勝率資料。五名角色的單人基值設定 b=(3.2,3.7,4.1,4.4,3.5)，僅為打破基值完全相同時的視覺重疊。主要情境包括兩個等重邊權案例（α=0.25/1.0，β=5），以及兩個異質權重案例（α=0.25，β=5；α=1.1，β=3）。異質合作權重的十條邊由研究者預先設定，全部列於附錄 A 的完整對稱矩陣及程式原始碼。
每一情境精確計算 2^5=32 個 S 的 v(S)，並通過列舉 120 種排列計算 Shapley。最小 ε 則由 SciPy HiGHS 線性規劃求解。程式斷言 Shapley 的效率、正效用設定下的價值單調性及所有 31 個非空聯盟的 LP 風險缺口上界；對稱模型再以命題 1、3 的解析值進行獨立數值核對。這些檢查支持程式在明確假設下的一致性，未涉及真實資料有效性。
圖 1 的熱圖由閉式 ε* 在 α∈[0,1.4]、β∈[0,7] 的細緻格點構成。圖 2 則沿 β=5 固定的一維 α 掃描，逐點以枚舉 LP 重算，顯示解析值與數值值是否吻合。圖 3 比較異質弱互補情境的三種分配向量。圖 4 對每個聯盟人數 k 計算各種分配下的最大正超額，以查明究竟哪類小隊最難被說服繼續留在全隊。
6.2 假設的角色互補結構
圖 5 顯示五人十條配對邊的假設權重，最大權重 1.45、最小 0.50；權重只反映設計者給定的相對互補性，不是英雄勝率、職業價值或玩家訪談結果。權重矩陣的總上三角邊重為 10.25。異質模型的 Shapley 值因而依命題 1 不再對合作剩餘作每人等額分配，具有較多高權重相鄰角色的玩家會得到較高的配對貢獻。
圖 5。五名抽象角色的假設性互補權重；全部由研究者設定，並非實測。
6.3 不確定性與敏感度試驗
為考察異質權重估計若存在不確定性時的結果，設固定隨機種子 20261015。將每條原始 w_ij 獨立加上平均 0、標準差 0.22 的常態擾動，再將數值下限截為 0.10，並保持 w_ji=w_ij、w_ii=0；每個異質基準重複 250 次，共 500 個合成參數組合。對每次擾動重算全部聯盟和 least-core，報告 ε* 的樣本平均、5%、50%、95% 分位數與 ε*=0 的比例。
這個敏感度分析沒有抽取任何真實賽事，因此 250 次的樣本比例不是估計玩家族群的穩定率；分位數也不能宣稱為真實參數的不確定性信賴區間。其功能是檢查結論對研究者自行指定的局部權重波動是否脆弱。所有 500 條結果儲存至 perturbation_500.csv。
7. 實驗結果與討論（Results and Discussion）
7.1 對稱門檻與反例
對稱弱互補情境 α=0.25、β=5，理論給 ε*=2−0.75=1.25，LP 回傳 1.250000（浮點誤差小於 10^−8）；Shapley 最大子聯盟阻擋超額同樣為 1.25，故核心為空。強互補情境 α=1.0、β=5 則跨過理論門檻 α≥2/3，LP 回傳 ε*=0，核心非空。因為 β=5，兩種情境恰好把正飽和收益相同、配對互補強度不同時的制度差異隔離出來。
圖 1。對稱五人模型的 exact least-core 缺口，白色虛線為 α=2β/15；所有數值均由閉式理論計算。
圖 2。β=5 時，解析臨界值 α=0.6667；數值 LP 與 Shapley 的最大正超額一致。
7.2 異質權重的完整情境比較
| 合成情境 | α | β | v(N) | 最小 ε* | Shapley 最大缺口 | 核心 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 等重弱互補 | 0.25 | 5.0 | 26.4000 | 1.2500 | 1.2500 | 空 |
| 等重強互補 | 1.00 | 5.0 | 33.9000 | 0.0000 | 0.0000 | 非空 |
| 異質弱互補 | 0.25 | 5.0 | 26.4625 | 1.2875 | 1.3250 | 空 |
| 異質強互補 | 1.10 | 3.0 | 33.1750 | 0.0000 | 0.0000 | 非空 |
對異質弱互補情境，最小 LP 缺口 1.2875，而 Shapley 最大缺口 1.3250，兩者之差為 0.0375。這與命題 3 並不矛盾：命題 3 只對每條邊均等重的博弈證明 Shapley 恰為 least-core；在異質權重下，仍有少量透過重新分配來降低最大阻擋缺口的空間。可見即使 Shapley 對角色互補價值的分攤具公理基礎，它仍可能不是最能平衡各小聯盟偏離動機的安排。
在異質強互補情境，LP 求得 ε*=0，存在至少一個可阻止所有子聯盟退出的分配。數值輸出中某一個 LP 頂點分配可能對 P5 僅給出其單人值 3.5，而讓其他人多分合作增益；這是多個核心分配可行時優化器選擇頂點的結果，不能解讀為 P5 在遊戲中應得到特別低的資源。Shapley 對同一情境提供另一個同樣滿足核心的分配，不同目的可選擇不同分配準則。
7.3 公平分配向量及聯盟阻擋結構
異質弱互補情境的 Shapley 分配為 (4.700, 5.244, 5.706, 5.869, 4.944)，相應基值為 (3.2,3.7,4.1,4.4,3.5)。這些 Shapley 值之和等於 26.4625（四捨五入顯示可能有 0.001 的表面差異）。least-core LP 的一組最適向量為 (4.7125, 5.2000, 5.7750, 5.8375, 4.9375)，在保持團隊效率的同時降低最大子聯盟阻擋缺口。兩組都保留每人至少單獨基值的保障，卻無法令全部 30 條子聯盟約束同時成立。
圖 3。異質弱互補情境下的 Shapley、平均剩餘分配和 least-core LP 頂點；黑色橫標示獨立基值。
圖 4。對 k=1、2、3、4 的全部子聯盟逐一計算最大超額，顯示最難消除的偏離誘因。
圖 4 的差異在於，它不只比較誰拿得多，也辨識哪一類人數的聯盟可能集體提出更好的選擇。三人門檻獎勵代表合作增益在 k=3 突然跳升；倘若 k=4、5 僅靠配對邊取得較小的增量，三人聯盟便可能成為最緊的穩定性限制。沒有空核心分析，團隊總價值與個人得分的表格無法揭示這一點。
7.4 異質互補的權重擾動
| 異質合成場景 | 擾動次數 | ε*=0 次數 | ε* 平均值 | ε* 5% 分位 | ε* 中位數 | ε* 95% 分位 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 弱互補 α=0.25、β=5 | 250 | 0 | 1.29195 | 1.21192 | 1.28663 | 1.37219 |
| 強互補 α=1.1、β=3 | 250 | 250 | 0.00000 | 0.00000 | 0.00000 | 0.00000 |
圖 6。固定種子的 500 組假設參數擾動，顯示兩個基準離門檻較遠時的局部穩健性；非真實比賽抽樣。
表中的 250/250 或 0/250 只說明設定的標準差 0.22、截斷下界與兩組 (α,β) 下，模擬權重的局部擾動沒有改變核心空性。若額外改變 β、負互補效應、不同門檻或敵方反應，結果可能不同。因此可作出的推論是局部參數穩健，而非泛化到全部英雄組合或真實比賽環境的全球穩健。
7.5 實際戰術含義及反直覺結果
第一，若某任務的主要好處在三人時已能取得，派第四、第五人參與的決策理由應更多依賴他們帶來的額外互補、風險分攤或不可替代的作用；否則即使五人合作總價值高，某些三人組也可能更喜歡獨立安排。這是模型層面的誘因分析，不是建議實際遊戲採取三人偷取資源等特定戰術。
第二，Shapley 把貢獻合理地分攤至參與者，但只能處理效率、角色對稱性及邊際貢獻的公理價值；它沒有自動施加每個子聯盟的參與約束。HOK-006 的特點是可明確算出這兩個概念的距離：在等重且 α<2β/15 時，公平貢獻分配仍有恰好 2β/5−3α 的聯盟阻擋缺口。
第三，核心非空提供的只是某個分配理論上可阻止退出的條件，並不保證玩家實際能達成、可信地承諾或執行這個分配。如果玩家對效用估值不同、溝通不及時或受遊戲制度限制，核心在實踐中可能較難實現；相反，社會規範與信任也可能令一個空核心的即時模型仍出現短期合作。
第四，對手或資源排他性若使某個子聯盟的價值依賴其他隊友正在做甚麼，特徵函數不再是合適的完整描述。此時應改用具有外部性的 partition-function game 或隨機多智能體模型，不能簡單地將本文的 2β/15 門檻帶入。
8. 研究限制、倫理及外部效度（Limitations）
假設與版本。 本研究沒有採樣《王者榮耀》實際資源掉落、推塔機制、英雄技能或裝備資料；「三人取得資源後增益飽和」不是已核實的遊戲規則，也不對某個版本成立作出聲稱。五個抽象角色 P1–P5 只是五人的編號，不能對應到某版本中具體英雄的位置或技能影響。
可轉移性。 TU 模型允許以 x 分配效用，但真實局內資源多有位置、經濟收益歸屬及時間約束。玩家不能無成本把所有預期勝率或戰術收益分給另一個人。因此正式實證前需要區分可轉移經濟收益與不可轉移的技能、風險或資訊。
聯盟價值的反事實性。 v(S) 定義為 S 單獨執行任務的反事實收益，而非同一局遊戲同時存在數個相互不影響聯盟時的多重收益。若敵人因我方分兵而改變行動，則 v(S) 本身受到外部性影響，可能須增加敵方策略及其他聯盟的安排才能有行為解釋。
單時窗與完全理性。 模型把玩家視為能知道所有 v(S)、預見退出與協作結果並完成承諾。真實玩家存在資訊不完全、有限理性、情緒因素、信任及多期相互作用。本文從定理只能推出數學上的聯盟阻擋條件，無法推出玩家一定會離隊或任何行動一定導致勝敗。
資料及推斷。 所有案例、圖、表、擾動樣本均為研究者指定的合成場景；目前沒有真實對局的測量誤差、參數估計、選樣偏差或因果識別設計。擾動分位數是計算敏感度指標，不等於任何人群估計的統計信賴區間。
公平及機制設計。 核心的「每個聯盟都有退出權」是具強假設的解概念，可能把實際不可能成立的小隊視為有效外部選擇。least-core 只最小化最嚴重的單一聯盟缺口，不直接最小化個人不平等、最大化團隊信任或等同核仁。若發現負配對互補、非可加互動、可行聯盟限制或三人組需角色覆蓋等情境，本研究門檻必須重新求解。
9. 結論及後續研究（Conclusion）
本文建立一個以五人資源合作為背景、允許兩兩互補與三人後獎勵飽和的特徵函數合作博弈。對等權重配對互補，嚴格證明五人核心非空當且僅當 α≥2β/15；在空核心區間，最小核心缺口具有可重現的閉式值 max{0,2β/5−3α}，而 Shapley 值恰可達到最小缺口，但仍會受到三人聯盟阻擋。數值列舉全部 31 個非空聯盟、120 個 Shapley 排列以及線性規劃 LP，交叉檢驗解析命題；異質權重案例顯示 Shapley 可與最小核心分配分離，而 500 個固定種子的合成參數擾動確認兩個指定基準的局部穩定性結果。
理論上最重要的發現是，正的團隊協作剩餘並不保證存在一個所有小聯盟都願意接受的分配。這一結果來自收益飽和時的聯盟約束，而非玩家的不理性或執行錯誤。實務上的下一步是取得合法、經清理的真實五人合作事件資料，估計不同子聯盟的反事實資源價值；其次要檢查實際資源是否可轉移，並引入英雄技能、行程成本、通信網絡與敵方最佳反應。只有完成該等外部驗證後，才有合理基礎將此模型轉化成遊戲版本相關的行為預測。
參考文獻
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以上五筆作者、年份、卷期、頁碼與 DOI 已對照正式出版者書目核實，參見文庫 HOK-006_已核實文獻.bib；Bondareva 的早期結果只在正文作為歷史背景提及，未在未直接核對其原始出版版本下獨立列出一筆待核實的 DOI。