** Voluntary Compensation and Budget-Balanced Coalition Admission under Partition Externalities: Individual Rationality, Welfare and Strategic Misreporting

摘要

五人合作競爭的抽象分區模型存在一個組織難題：加入者可從聯盟擴張獲益，而接收方成員可能因資源份額、分工成本及外部分區改變受到損失。若接收方具有個別否決權，部分具有正社會剩餘的加入可能被阻止。本文延伸 HOK-009 所研究的自由入組及接收者一致同意制度，引入由加入者直接向原有接收成員付款的自願補償規則，要求逐人事後個體理性、精確預算平衡及加入者嚴格改善。對指定加入，補償存在的必要充分條件為加入者原始收益嚴格大於接收成員的負收益總和。再以完全分區外部性說明，局部補償可行不能保證全體福利增加。對四名可重新分區的玩家與一名固定競爭者，本文使用精確有理數枚舉 15 個標記分區、128 個單人遷移、281 個成本格點及 12 個解析候選根，得到穩定集合包含關係，並證明對稱基準的補償臨界成本為 401/1508。成本為零時，自由入組與補償制度均只有完整四人聯盟穩定，一致同意則另增加四個 3+1 穩定分區，最差福利差距為 1203/754。補償制度恢復此區間的最差穩定福利，但未能在所有成本下消除既有的福利損失。300 組固定種子的異質權重試算只驗證合成模型中的穩健性。最後構造一個雙方二值私人資訊的精確反例，證明某類要求占優策略真實揭露、事後效率、逐人參與及零補貼的支付制度不可能存在。上述結論均不構成真實《王者榮耀》規則或勝率的實證主張。

**關鍵詞：**聯盟形成、機制設計、個體理性、預算平衡、分區外部性、激勵相容。

1. 引言：由接收否決走向受約束的補償

多人合作策略遊戲的抽象化研究，不能只問玩家個人願不願意改變合作關係，亦須問新組成的合作單位是否接受新人，以及其他未參與談判的人會受甚麼影響。當團隊協作佔用有限資源，原先受惠的成員可能擔心分配比例下降、臨時協調成本增加或策略暴露增加，因此即使加入者自身受益，其它人仍可能否決。若規則一律要求接收者不受損，局部有利的重組可能停滯；反之，若規則完全容許自由加入，原成員的參與自主權又會被忽略。

HOK-008 以分區依賴的效用模型研究單人遷移；HOK-009 再比較無接收否決、嚴格多數決及一致同意。既有結果說明，在效用固定的前提下，增加接收方否決條件會擴大穩定分區集合，並可能使最差穩定福利降低。然而，這不等於否決一定無效率，因為某些加入者取得的個人利益不足以彌補接收者的損失。要進一步回答制度問題，必須允許有限的支付，並清楚指出由誰付款、何時付款、如何驗證損失，以及最終的社會福利如何定義。

本文研究一種最小但具有辨識力的反事實制度：加入者只能以自己的增量利益向接收方原有成員補償，不得取得外部補貼，也不得強迫原有成員犧牲自身收益。這個規則保留接收者的事後自願性，同時使福利可能改善的重組重新成為可行。它也帶出一個更深層的機制設計問題：若每位接收成員只知道自己的實際損失，平台或隊友可否相信他們申報的損失？

本文的研究問題包括：指定分區遷移的補償存在條件；補償導致的穩定集合次序；對稱與異質成本下的效率變化；剩餘未談判玩家遭受的外部損害；以及私人資訊下真實揭露與預算平衡的相容性。主要貢獻分為三類。首先提供只依賴準線性效用與明示支付方向的必要充分條件。其次證明一個可重現的精確分區反例及成本臨界值，而不是憑圖片推測制度效果。最後將可觀察真實類型的可行性問題與策略申報問題分離，以免把規範模型的可行付款誤認為現實中自動發生的合作。

本文所有玩家、支付和資源分享均屬經濟理論抽象。「聯盟」指在單次資源決策中協同行動的隊友子集合，並非遊戲的正式組隊、排位系統或金幣贈與機制。「貨幣」只是可轉移效用的共同計量單位，可理解為可量化的注意力、補位時間或替代資源補償之理想化代理；本文沒有證明這類補償在實際比賽中可準確計價。

2. 文獻回顧及理論定位

Hart 與 Kurz（1983）研究聯盟如何內生形成，提醒我們分區是玩家決策的結果，而非事前給定的特徵。Thrall 與 Lucas（1963）以分區函數刻畫外部性：一個聯盟的價值可能取決於全體玩家如何分成其他聯盟。本文的效用函數亦直接依賴完整分區；因此，不得直接借用只看自己聯盟成員的結論。Bogomolnaia 與 Jackson（2002）分析享樂式聯盟的不同穩定概念及接收者不受損條件；其研究提供穩定術語，但享樂式設定通常不含本文所設定的全分區資源份額變化，相關存在性條件不能照搬。

Groves（1973）研究如何藉訊息與支付誘導組織內部的效率決策，提示補償機制不能忽略誘因約束。d'Aspremont 與 Gérard-Varet（1979）進一步探討不完全資訊下集體決策與預算問題，但其在特定共同先驗或信念條件下取得的結果，不能被理解為任何有限玩家遊戲都存在無赤字又真實揭露的制度。Myerson 與 Satterthwaite（1983）對具有私人估值的雙邊交易給出效率、激勵與參與的根本限制。本文並不聲稱重新證明其一般定理；後文採用更小、更強事後要求的離散子模型，提供可逐項核對的自足反例。

現有研究對本題的啟示分為兩層。聯盟博弈重視誰能改變分區，以及這種改變有何外部效應；機制設計則重視決策與付款規則會如何改變玩家申報誘因。將兩者結合時，第一步應先在共同知道所有真實效用的理想環境證明補償可行性，再在私人資訊版本重新檢驗支付規則的誘因。若省略這個區別，「能算出最小補償」與「會誠實告訴別人最小補償」就會被錯誤地混為一談。

3. 研究對象、符號與假設

令可改變合作分區的玩家集合為 N={0,1,2,3}。另有一名固定、不可遷移的外部競爭者，令其有效資源競逐規模為 k=1；為與 HOK-009 基準一致，社會福利僅計四名可重新分區參與者。π 是 N 的一個無標記分區，但玩家有識別編號，因此可辨識全部 15 個標記成員構成的 Bell 分區。對玩家 i，其所在聯盟為 T_i。兩名成員 i、j 之間的對稱互補權重記為 w_ij。每一分區給出效用向量 u(π;c)，其中 c 是每增加一名合作夥伴所付出的單位成本。

表 1｜主要符號定義（全部是模型變數）

定義原始分區效用（所有玩家的收益均為單期、準線性、同單位）為：

第一項是配對合作價值；第二項是規模為 |T_i| 的聯盟在立方競逐中的每人收益；第三項是與夥伴數量成正比的合作負擔。固定競爭者只在分母中佔有 k^p 的份額。α/2 的因子屬沿用的效用標準化，並非估計所得係數。基準採 α=1/2、β=5、p=3、k=1、所有 w_ij=1；異質實驗會明確放寬最後一項。

假設 A1：單次僅一名玩家 i 從其原聯盟 A 離開，加入另一個既有聯盟 B，或在原聯盟至少有兩人時獨自成立單人聯盟。原聯盟剩餘成員不自行重組。此規則列舉 128 個帶有遷移者與目標的合法遷移比較。假設 A2：支付僅在被批准的遷移同時發生；加入者向 B 中成員各支付 t_j≥0，沒有向第三人轉帳，沒有外部補貼。假設 A3：效用對支付線性，接收者遷移後淨變化 Δ_j+t_j≥0，加入者要求 Δ_i−Σt_j>0。假設 A4：在前五節，Δ 向量可被真實觀察或由可信執行機制核實；在第八節才放寬為私人資訊。假設 A5：遷移只比較當前單步，玩家沒有承諾未來合約，亦不保證反覆遷移會收斂。

對指定 π→π'，定義 Δ_j=u_j(π';c)−u_j(π;c)。各成員實際承受的原始效用改變必須先計算全體 π 與 π'，不能把接收聯盟當作不受其他聯盟影響的封閉系統。社會福利定義 W(π;c)=Σ_{j∈N}u_j(π;c)，因此精確預算平衡的內部支付不影響 W。這裏的福利定義沒有納入固定競爭者，也沒有納入補償核實、支付執行及談判的額外社會成本；這些排除是後文外部效度的局限。

4. 自願補償機制及數學推導

對接收者 j∈B 的遷移收益若非負，不必支付補償；若為負，最少要補回其損失。逐人參與條件可改寫為 t_j≥−Δ_j，而付款非負限制要求 t_j≥0，兩者聯立得到最小可行款項 t_j*=max{0,−Δ_j}。把每名接收者的最小要求加總，便得：

命題 1（固定遷移的補償可行性）。 在 A2–A4、沒有外部補貼及嚴格加入者改善的條件下，某指定遷移存在符合逐人接收者自願性及精確預算平衡的付款向量，當且僅當 Δ_i>L。若另設總付款上限 b，必要充分條件為 Δ_i>L 且 L≤b。當 B 為空集時，L=0。

證明。 若付款向量可行，對每位 j 有 t_j≥max{0,−Δ_j}，故 Σt_j≥L；又加入者嚴格改善要求 Δ_i>Σt_j，因此 Δ_i>L。上限同時要求 L≤Σt_j≤b。反過來，若 Δ_i>L 且 L≤b，只取 t_j=t_j* 即滿足每位接收者不受損，加入者淨改善 Δ_i−L>0，總付款正好等於接收方收款，亦不超過 b。必要性與充分性均成立。□

命題 1 需要三個不能任意刪除的限定。第一，若允許其他聯盟支付或外部補貼，付款來源會改變可行域。第二，若加入者只要求弱改善，邊界會由嚴格大於改為大於等於，均衡集合亦可能因此改變。第三，若接收方還有支付成本、風險或核實成本，L 就必須包括這些額外成本，不能使用式（2）的零成本公式。

定義三種單次偏離許可制度：NS（自由進入）當且僅當 Δ_i>0；U（接收方一致同意）當且僅當 Δ_i>0 且所有 j∈B 皆有 Δ_j≥0；C_b（有上限的自願補償）當且僅當 Δ_i>L 且 L≤b；C_∞ 為不設獨立支付上限，但仍由加入者自己的收益支付。當沒有接收者時，U 及 C 都和 NS 相同。制度定義參見表 2，最小付款在可行時被視為支付規則。

表 2｜單次遷移的許可條件與資訊要求

在動態語言中，一個穩定分區指在指定制度下不存在任何獲准且令加入者嚴格改善的單人遷移。這是單步局部穩定概念，不是有未來預期的子博弈完美均衡，也不能用來推出有限改善路徑必然終止。

命題 2（穩定集合夾擠關係）。 若三種制度使用相同原始效用、同一遷移全集，且 b≥0，則 S_NS⊆S_Cb⊆S_U。進一步若 S_NS 非空、福利函數相同，定義最差穩定福利後悔 R_D=max_πW(π)−min_{π∈S_D}W(π)，則 R_NS≤R_Cb≤R_U。

證明。 任意 U 許可遷移都使接收者沒有負收益，故 L=0≤b；又 Δ_i>0，因此也被 C_b 許可。任意 C_b 許可遷移必有 Δ_i>L≥0，故被 NS 許可。三制度的許可遷移集合遂有 U⊆C_b⊆NS。不存在較多許可遷移的分區，也必不存在較少許可遷移，因此穩定集合的包含方向相反。S_NS 非空保證其它兩個穩定集合均非空；對相同全域最佳福利，較大集合的最小福利只可能更小或相等，後悔值遂有聲稱順序。□

這個集合關係是機制定義的邏輯結果，適用於任意非對稱效用及一般分區外部性，但不保證存在穩定分區。如果所有三個集合均非空，最差福利的序關係成立；若 NS 為空，直接把空集合當成零後悔會導致錯誤。後續對稱基準的非空存在性是另一項需要驗證的模型結論。

5. 分區外部性、福利與補償的界限

命題 1 只保護加入者與接收者。設原聯盟餘下成員及未參與接收談判的人為 O=N({i}∪B)。令這群人的外部效用變化 E=Σ_{h∈O}Δ_h。由社會福利的定義可得：

若補償可行，Δ_i>L。又 Δ_j≥−max{0,−Δ_j}，故局部總收益 Δ_i+Σ_{j∈B}Δ_j≥Δ_i−L>0；然而 E 可能負值且絕對量更大。這是為何「可補償的 Pareto 改善」必須說明受保護的是甚麼玩家集合。如果支付沒有惠及原聯盟被留下的隊友，便不能把局部自願加入稱為全體 Pareto 改善。

命題 3（局部可補償不蘊含全體福利增加）。 即使 C_∞ 接受某個加入，且所有接收者原始收益都非負，也可能 ΔW<0；此情況已能出現在式（1）的對稱基準中。

證明及精確反例。 在 c=8/25、π={{0,1},{2,3}} 時，讓玩家 0 離開玩家 1，加入 {2,3}，得到 π'={{0,2,3},{1}}。按式（1）直接代入，四人的效用差依次為 (15049,−46049,15049,15049)/49300。接收者 2、3 均受益，L=0，玩家 0 自身也受益，所以這次移動同時被 NS、U、C_∞ 許可。但 ΔW=(3×15049−46049)/49300=−451/24650<0。惟一受損的玩家 1 是離開者的前聯盟夥伴，未獲補償。反例成立。□

反例指向一個制度代價：入組交易是局部的，原聯盟被留下者及其他外部參與者無權參與接收方的付款協議。如果政策目標是全體福利非負，可新增一項總福利改善條件 ΔW≥0，或讓所有受損者擁有索償權；但後者會提高加入者的最低付款，改變可行性與穩定集合，也可能產生集體談判阻塞。本文保留這些擴充作為未來問題，不在無證據下聲稱任何單一制度必然最有效率。

6. 對稱模型的精確穩定分區相圖

基準設定把所有成對互補權重固定為一，因此所有玩家的標籤對效用對稱；但是分區必須在標記玩家的層面逐一枚舉，才能正確檢查有不同目的地的單人遷移。令每種分區形態的原始總福利為 W_s(c)，把式（1）在五類形態各自求和，得到下式。這是代數恆等式，只使用已說明的模型參數。

命題 4（單人接收補償的成本臨界值）。 考慮一個 3+1 分區，單獨玩家 i 申請加入現存的三人聯盟。對稱基準下，其原始收益為 Δ_i=2727/1508−3c；三名接收者各自的原始變化為 Δ_j=−107/1508−c。因此：當且僅當 0≤c<401/1508 時，該加入在 C_∞ 下獲准；NS 獲准區間為 0≤c<909/1508；U 對所有 c≥0 均不批准。若另有預算上限 b，C_b 還要求 b≥321/1508+3c。

證明。 將 3+1 的聯盟規模及 4 的聯盟規模分別代入式（1），所有 w_ij=1，移入前後加入者的配對收益、競逐份額及合作成本逐項相減，得上述 Δ_i。由對稱性，三名原有成員各有相同的變化 −107/1508−c，對 c≥0 必為負數。故式（2）的最小補償為 L=3(107/1508+c)=321/1508+3c。利用命題 1，Δ_i>L 化為 2727/1508−3c>321/1508+3c，亦即 c<401/1508。NS 只要求 Δ_i>0，得到 c<909/1508；U 需三名接收者逐人原始不受損，永不成立。上限條件直接來自 L≤b。□

這個定理有兩項重要含義。其一，若 c<401/1508，加入者扣除最低補償後仍有正收益，原有三人也無需為新人犧牲收益，因此一致同意的否決有可能是支付制度缺席造成的協調阻塞。其二，當 c 增加至臨界值，總必要補償追上加入者的全部可得收益；即使資源份額的原始利益仍存在，加入者也無法在接收者逐人不受損的前提下保持嚴格改善。此臨界值不是勝率或實際比賽時間門檻，而是這一組特定假設參數的理論價格。

在相同 3+1→4 移動中，四名參與者已包含全體 N，因此式（3）沒有 O 的外部效用項；福利差恰為 ΔW=1203/754−6c，亦可由式（4）的 W_4−W_{3+1} 驗算。因此 c=401/1508 恰是兩種形態的福利交點。若在其它形態或異質權重下有被留下的人，兩個臨界值未必相同，命題 3 正是精確反例。

命題 5（對稱基準的完整穩定區間）。 表 3 列出的五類形態與成本區間，是對稱模型在全部 c≥0 下的 NS、C_∞、U 穩定分區形態；每個「3+1」代表 4 個標記分區，「2+2」代表 3 個，「2+1+1」代表 6 個，而「4」與「1+1+1+1」各 1 個。在端點，相鄰形態可能同時穩定。

表 3｜五類分區的精確穩定區間

證明構造與完整性。 分區數等於 Bell(4)=15；對每個標記分區，指定遷移者及目標原聯盟，或容許從至少兩人原聯盟獨立，恰得 128 個比較。每一比較的四個 Δ_j 均為 c 的仿射函數。在 NS 及 U，許可性由 Δ_i 的正負與接收者 Δ_j 的正負決定；在 C_∞，再加上 Δ_i−Σmax(0,−Δ_j) 的分段線性符號。求出各 Δ_j 的零點及每一接收者負收益活躍集合對應的仿射零點，便把成本軸劃為有限個開區間與端點。每段內符號不改變，只需在一點檢查 128 個比較；端點則單獨檢查嚴格與非嚴格不等號。第二份不匯入主模擬函數的獨立 Fraction 演算法，利用 restricted-growth strings 重新生成 15 分區與 128 比較，對 281 個格點、12 個候選根及其 11 個中點逐項核對表 3。完整可重現程式保存於 verify_independent.py。至 7/5 的精確根檢查涵蓋表中的有限轉換區段；對更高成本，由加入聯盟的邊際成本項占優、離開合作聯盟的收益及全單人分區的無可獲益加入可延伸確立最終區間。這個窮舉證明特定四人基準的表 3，並不宣稱一般異質分區博弈存在穩定解。□

圖 1 描繪成本連續變動時三個制度下的標記穩定分區數量。當 c=0，一致同意額外保留四個 3+1 分區，而最小補償可令其中單獨玩家加入完整聯盟，因此 C_∞ 只有一個穩定分區。於 c=401/1508 的等號位置，嚴格加入者改善不再成立，3+1 才重新進入補償制度的穩定集合。圖 3 進一步顯示三個制度下被批准的標記遷移數量，與圖 1 的穩定數量並非簡單線性對應：增加某些可行移動，不一定能消除所有額外的穩定分區。

7. 福利後悔、預算上限及合成異質權重

定義最差穩定福利後悔 R_D(c)=W*(c)−min_{π∈S_D(c)}W(π;c)，其中 W*(c)=max_{π}W(π;c)。後悔表示模型中最差穩定狀態相對於全分區福利最佳狀態的損失；即使 R_D=0，也不能推出真實遊戲的玩家已達均衡。本文不以單一社會計畫者代替所有玩家作實證結論，福利最佳只是理論比較標尺。

命題 6（對稱基準下補償修復最差福利差距）。 在命題 5 的模型中，所有 c≥0 皆有 R_NS(c)=R_C∞(c)。相較之下，在 0≤c<401/1508，R_U(c)−R_C∞(c)=1203/754−6c>0；在 c≥401/1508，三制度的最差穩定福利後悔相同。

證明。 對 c<401/1508，表 3 給 NS 與 C_∞ 唯一形態 4；U 另有 3+1。由式（4），W_4−W_{3+1}=1203/754−6c>0，故 U 的最差穩定形態為 3+1，其後悔比 C_∞ 多出該差額。當 401/1508≤c≤909/1508，C_∞ 及 U 可以另外穩定於 3+1，但同一福利差已不為正，最差福利仍由 4 決定，而 NS 也保留 4。從 909/1508 往後，三制度的穩定形態及標記數目逐段相同，包括各臨界端點。因此三者最差福利相同，差額為零。□

命題 6 不應被誇大為「補償保證最優」。補償在成本較低時恰好修復由 U 額外造成的最差福利下降；在成本較高時，NS 本身仍可能穩定於低於全局最優的分區，因此 C_∞ 只能達到與 NS 相同的最差水平。福利後悔值須由全分區枚舉計算，不能把「最少穩定分區數量」誤當成「最大福利」。圖 2 將三種制度的後悔值繪為成本的函數，並保留連續成本軸而非只挑選有利樣本。

表 4｜五個成本點的精確模型結果（標記分區數；後悔值）

對有限支付預算 b 的制度 C_b，有另一項一般性比較。若 b_1≤b_2，可在較小預算下支付的加入，在較大預算下也能支付，所以許可移動 C_b1⊆C_b2；其穩定集合反向包含 S_Cb2⊆S_Cb1。只要這些穩定集合非空，擴大支付預算不會提高最差穩定福利後悔；但因區間端點及福利最佳分區的切換，後悔值不必是平滑函數。這項結果源自同一效用函數及轉移預算上限的包含關係，並未要求特定遊戲機制。

圖 4 以 b=0、1/10、1/2、無獨立上限四種設置作成本敏感度分析。在 c=0 的 3+1→4 加入中，最小付款總額是 321/1508，超過 b=1/10 而低於 b=1/2。故一個小額預算仍會留下 U 的拒絕效果，較大的預算則容許該特定加入。一般成本 c 下，最低付款線性上升至 321/1508+3c；支付能力不是常數假設，而是由接收者的損失內生決定。

為檢查是否過分依賴完全對稱，我們再為六個無方向的玩家對 (i,j) 獨立生成取值於 70/100、71/100、…、130/100 的假設權重，令 w_ij=w_ji。使用 Python 偽隨機種子 20261015，共產生 300 個合成權重組合，固定 c=0，對每組重新窮舉三種穩定集合。結果 300/300 組均滿足 S_NS=S_C∞，且 S_C∞ 嚴格包含於 S_U。這說明對稱基準的低成本補償效果在所採權重範圍內沒有因小幅擾動消失；它不是對任意權重、其它成本或實際玩家資料的統計普遍性保證。樣本由固定算法產生，因此 300/300 是可重現的程式輸出計數，並非玩家群體比例或信賴區間。

8. 私人資訊與策略虛報

上述補償構造需知道各人真實的 Δ_i、Δ_j。若受損接收者只申報自己需要的補償，平台沒有核實方式，使用「申報多少便支付多少」會產生誇大誘因。例如加入者的真實收益為 3、某接收者的真實損失為 1；若該接收者如實申報 1，最小補償給他的額外淨收益是 0；若改為申報 2，加入者仍願支付，接收者卻取得額外淨收益 1。這足以證明特定按申報損失付款規則不是占優策略激勵相容（dominant-strategy incentive compatible, DSIC），但不足以證明所有可能制度皆不行。

為研究能否在更聰明的規則下同時保有全部要求，考慮一個嵌入式雙方交易子模型。加入者價值 v∈{1,2}，接收者的私人損失 ℓ∈{0,3/2}。一旦接收，每人效用為加入者 v−p、接收者 p−ℓ；拒絕時雙方增量效用為 0。支付 p 由加入者給接收者，沒有政府或平台補貼。事後效率指當且僅當 v>ℓ 時接受（本例不存在等值邊界）。事後個體理性（ex-post individual rationality, EPIR）要求如實類型下雙方增量效用非負；精確預算平衡（exact budget balance, EBB）要求雙方支付總額為零；DSIC 要求任一方在對方申報固定時，如實申報至少與任何虛報同樣好。

命題 7（雙方二值子模型的不可能性）。 在上述類型集合，沒有確定性直接顯示機制可以對每組類型同時滿足全部事後效率、EPIR、EBB 及雙方 DSIC，並容許無交易時雙方均退出而無款項。

證明。 效率要求在 (v,ℓ)=(1,0)、(2,0)、(2,3/2) 三個型態組合都接受，並在 (1,3/2) 拒絕。固定接收者申報 ℓ=0 時，兩種加入者類型都被接受；若兩種申報導致付款不同，較高付款者會申報另一種類型以減少付款。因此 DSIC 要求 p(1,0)=p(2,0)。固定加入者申報 v=2 時，兩種接收者類型也都被接受；若付款不同，收到較少的一方會虛報以取得較高付款，因此 DSIC 要求 p(2,0)=p(2,3/2)。三個效率要求交易的型態因此共享同一付款 p。對 (1,0) 的加入者，EPIR 要求 p≤1；對 (2,3/2) 的接收者，EPIR 要求 p≥3/2。兩者矛盾。故不存在具有全部性質的機制。□

表 5｜私人資訊離散交易子模型的效率要求

命題 7 的作用是明確顯示「完全資訊下有一筆可行補償」與「私人成本下有一套必然真實的申報制度」屬不同問題。它採更強的事後效率與占優策略要求，不能未經證明便升格為所有貝葉斯機制均不可能的定理。若放寬為只求部分交易效率、允許第三方補貼、改採貝葉斯激勵相容、引入重複信譽或容忍隨機分配，就必須另建模型並重新驗證其新性質。Groves 類規則亦不能在忽略平台赤字及接收者退出權的情況下被當作免費的解決方案。

9. 討論、管理含義與可能的反直覺現象

第一，補償可以減少某些否決造成的無效率，但「每個受損者都可被補償」還要檢查誰被排除在談判之外。命題 3 的剩餘聯盟成員就像真實合作中承擔退隊衝擊的第三者：即使他沒有投票權或談判權，遷移仍可改變他的資源競爭位置。故本文的公平性定義是接收成員局部個體理性，並非全體隊友均不受損，更非社會正義的唯一量尺。

第二，加入補償不必單調改善每個成本點的均衡表現。由命題 2 知它縮小 U 的穩定集合，但能否縮小到 NS 的水平取決於付款所需數量、加入者可支付盈餘和分區形態。命題 6 是特定基準的精確結論，不是一般效率保證。當 c=1/2，補償制度有五個穩定分區，但最差後悔與只有一個穩定分區的 NS 相等，反映穩定分區數量不能取代福利評估。

第三，規則的細微設計會改變數學判斷。若接收者要求嚴格正收益，而非至少不受損，恰支付損失的 t_j* 無法滿足所有受損者的嚴格同意，需要加入額外正數；邊界存在性會不同。若允許加入者收取原聯盟補償、接收者向加入者支付或整個分區間互相補貼，命題 1 的單向付款條件亦需改寫。有限 b 的政策評估需要說明上限是每次交易、單個聯盟、每名玩家，還是整場比賽累計；本文固定為單次遷移全部款項上限。

第四，這個研究對遊戲設計與合作心理的意義是機制類比：加入者可能以讓野區、補守線、交換時間或優先權等方式提供非貨幣補償。但這些行為是否能被精確轉為準線性效用，實際玩家是否感到公平，與效果能否在有限通訊下即時執行，都是尚未被本文資料回答的問題。不能由理論付款 t_j 自動推出遊戲內可交易的裝備、金幣或技能。若未來要做受試者實驗，應先以真實補位時間、決策回饋及主觀福利評分估計可補償性，而不是把假設參數當成版本機制。

10. 研究限制與外部效度

模型只有四名可遷移玩家與一名固定外部競爭者，沒有地圖狀態、英雄技能、連招、裝備、兵線、對手回應和賽事版本資訊。立方競逐形式、w_ij、β、α、合作成本皆屬說明性假設，不能直接標示為《王者榮耀》的真實定量法則。模型沒有玩家對未來加入進行預期，也沒有多重私人資訊的完整機制博弈；它研究的是靜態原始效用與局部偏離許可。

補償的實際可執行性尤其脆弱。玩家未必能在數秒內準確衡量自己的效用損失；同一策略交換亦可能不可分割、有風險或無法強制履行。本文只計入原始效用與支付，沒有量化驗證成本、談判摩擦、逆向選擇或失敗支付。如果加入者或接收者擁有有限理性、損失厭惡或類型相關偏好，命題 1 的準線性條件會改變。雖然合成敏感度提供了演算法檢查，300 次權重擾動只是預設分布下的有限測試，不應被稱作真實行為統計或勝率測量。

此外，研究的福利指標只涵蓋四名可遷移玩家；固定競爭者、觀眾、平台及其它外部參與者並未納入福利計算。當研究對象擴充至實際五人隊伍、對手與跨回合資源時，需要重新確定福利邊界與外部性來源。命題 7 證明的是離散子模型在全部強條件並存時的不可能性，並未排除所有近似有效、具預算平衡的動態制度。將研究結果外推到真實組隊公平或遊戲平衡，必須先完成版本核驗、倫理合規數據蒐集與行為效度研究。

11. 結論及後續研究

本文把接收者否決權轉化為有明確預算與參與限制的聯盟加入機制。固定加入的必要充分條件 Δ_i>Σmax(0,−Δ_j) 由逐人收益限制直接推得；機制許可集合再給出 NS、補償、U 的穩定集合包含關係。針對一個明確四人分區效用模型，以精確分數求得 401/1508 的自願補償臨界成本，並證明在對稱基準中補償使最差穩定福利後悔等於自由進入制度，修復一致同意在低成本區間造成的額外損失。同一模型同時存在局部自願但全體福利下降的遷移，因此局部補償與全局效率不能混同。私人資訊的離散反例進一步指出，按真實損失補償的可行性不等於一個普遍激勵相容的申報制度。

下一篇 HOK-011 建議研究《重複合作中具有可驗證績效訊號的非貨幣補償：聲譽、履約風險與激勵相容》。其重點應是將本篇的靜態真實效用觀察假設改為有噪聲的公開合作訊號，對比無承諾、押金、重複互惠三類合約，並在明確聲明非貨幣交換的前提下求解動態最佳化或貝葉斯均衡。這是研究建議，並非已得到的 HOK-011 結果。

參考文獻

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