三人食咩永遠傾唔掂？午餐投票的孔多塞循環

Condorcet Cycles in Lunch Decisions

研究編號： Paper_006　完成日期： 2026-10-15
資料類別： E（純理論推導）、D（可重現合成模擬）；沒有真實參與者資料。 跨學科： 社會選擇理論、政治經濟學　Keywords： 多數偏好；孔多塞循環；隨機排名模擬

方法聲明：本文參數為合成設計。若未經獨立現場驗證，不得把模型數值解讀為真實社會發現。

中文摘要

三名朋友均有清楚的午餐偏好，但集體偏好仍可能完全無法排序。本研究構造三名投票者對三個餐廳選項的循環排名，使多數票顯示 A 勝 B、B 勝 C、C 又勝 A。每一場對決均是二比一，故「多數」本身沒有產生傳遞的集體順序。進一步把六種嚴格排名等機率分配給 3、5、7、11、21 名合成選民，透過每組 80,000 次模擬估計孔多塞循環的出現率，依次約為 5.72%、7.01%、7.40%、7.98% 和 8.51%。結果說明問題不只是三人猶疑，而是多數決的集體排序可能缺少傳遞性。

Abstract

Why can three friends fail to agree on lunch even with complete and consistent personal rankings? We construct a three-voter Condorcet cycle: A defeats B, B defeats C, and C defeats A, each by two votes to one. Under an impartial culture in which every strict ranking is equally likely, 80,000 synthetic elections per group yield estimated cycle probabilities from 0.0572 for three voters to 0.0851 for 21 voters. The study distinguishes logical counterexamples, simulation assumptions, and institutional choices such as agenda setting. It does not infer actual restaurant preferences.

關鍵詞 / Keywords： 多數偏好；孔多塞循環；隨機排名模擬

1. Introduction — 引言

「今日食咩？」有時比一條數學題更難解決。每個人都肯定知道自己較喜歡哪間餐廳，討論過程卻仍然可以一直由 A 轉向 B、由 B 轉向 C，再由 C 回到 A。表面原因可能是猶疑、不想得罪人或選擇太多；但社會選擇理論展示了另一種更基本的原因：個人偏好即使完整而且沒有矛盾，多數票彙總之後也可能無法給出一致的集體優先順序。

本文以三個午餐選項 A、B、C 作為抽象候選，先提供一個不依賴任何隨機性的反例，再採用明確的人工選民生成模型，估計不同選民人數下循環關係出現的頻率。這使研究同時有純理論的必然命題及有條件的模擬頻率，兩者不能混淆。

2. Literature Review — 文獻回顧

Arrow（1950）指出社會福利排序的公理要求可能同時難以滿足，為集體偏好聚合問題提供經典框架。Gibbard（1973）對投票機制的策略操縱提出一般結果，顯示調整投票規則未必能在所有偏好下完全消除制度困難。Nash（1950）的策略均衡概念提醒，若人會因議程或投票方式改變真實表態，單純從偏好矩陣的靜態結果跳到真實協商預測仍有一步距離。

這些論文不代表所有午餐投票都會失敗。本文專注於孔多塞循環這個可直接檢查的現象，不把 Arrow 不可能定理誤寫成「任何三人投票必定沒有答案」，亦不把策略投票的可能性當作已觀察到的現象。

3. Research Questions and Hypotheses — 研究問題與假設

研究問題一：可否構造每個人都持有傳遞偏好、卻令多數關係出現循環的三人午餐？問題二：在假定所有排名同機率且選民獨立時，不同群體大小的循環發生率是多少？問題三：單純改變二選一表決的先後次序，能否改變勝出餐廳？

H1 是構造式命題，預期存在最小三人三選項循環。H2 是模擬假設，循環概率在指定合成文化下為可計算的非零數。H3 是機制命題，議程操控可在同一套固定偏好下產生不同勝者。

4. Theoretical Framework — 理論框架

每個選民對 A、B、C 給出嚴格完整排名，任何二者都有明確先後。定義社會多數關係 $X\succ_M Y$：超過半數的選民把 $X$ 排在 $Y$ 前。當選民人數為奇數時，每組兩兩對決不存在票數平局，但三組對決的關係未必可以共同表示為一張一致的集體排名表。

純理論案例選取三組排名：甲 A>B>C；乙 B>C>A；丙 C>A>B。每一張個人選票都傳遞。這個案例不是對人群意見的調查，而是專門為展示聚合後非傳遞性所作的反例。第二部分則採用 impartial culture：六種排名各佔六分之一，所有選民之間獨立。此假設通常不符合朋友群之間的偏好相關性。

5. Methodology — 研究方法

首先逐一列出三場對決，對每一名選民計算候選在排名中是否較前。接着對每種群體人數 $n\in\{3,5,7,11,21\}$，抽樣 80,000 組獨立合成選票；每張選票均從六種排名中等機率選一種。若 A>B、B>C、C>A 同時獲多數，或三者方向同時反轉，即判定為循環。隨機種子 20261021。

這項實驗屬 E（反例推導）和 D（模擬）。循環頻率是對明確機率空間的蒙地卡羅估計；由於模擬獨立，可計算抽樣標準誤，但它不等於現實飯局出現分歧的真實比率。

三人多數循環可以用有限枚舉取代模擬而得到精確機率。每個人對三間餐廳共有六種嚴格排名，三人的完整排名組合因此有 $6^3=216$ 種；獨立均勻偏好假設使各組合等可能。形成嚴格多數循環時，三名選民可以分別採同一方向的三種循環排名，例如 $A>B>C$、$B>C>A$、$C>A>B$，每種各一次；反向循環也有三種對應排名。兩個方向各有 $3!=6$ 種選民排列，故恰有十二種循環組合，精確概率為 $12/216=1/18$。這項結果可作為程式的強制核查點，而非由蒙地卡羅才推測出的比例。

當選民數目增加時，不能把三場兩兩表決誤當三個獨立二項試驗。因同一張嚴格偏好排名會同時影響全部三場對決，每張選票的三個立場受到傳遞性約束。若要計算一般奇數群體的精確循環概率，可以先統計六種排名類型各有多少人，再根據這六個計數推導三場票數，並對多項分佈下所有符合循環條件的計數向量求和。直接枚舉每名選民的完整排名，其狀態數會按 $6^n$ 增長，所以對較大群體，保留完整選票關聯的蒙地卡羅通常更方便。

在 80,000 次獨立合成選舉中，三人模型概率 $1/18$ 對應的比例標準誤約是 $\sqrt{(1/18)(17/18)/80000}$，約 0.081 個百分點。這個誤差描述的是合成重複試驗的數值抽樣波動；它不能被當成真實朋友偏好估計的信賴區間。研究報告除給出模擬比率，亦應提供樣本數、完整選票生成方法及隨機種子。若改為有限枚舉，則不需再聲稱存在抽樣誤差。

本研究選擇奇數選民，是為了讓每一場兩兩比較都有嚴格勝者。若群體為偶數，個別比較可以出現平票，必須先指定平票解決方式，再重新界定甚麼情形構成集體循環。不同平票程序的結果不可混合計算。若朋友願意報告偏好強度而非只有排名，社會選擇問題也會有所不同，需要另行定義匯總準則。

6. Mathematical / Computational Model — 數學或計算模型

令 $v_i(X,Y)=1$ 代表選民 $i$ 將 $X$ 排在 $Y$ 前，否則為零。兩兩多數關係定義為

對三人的循環偏好，直接逐票可得

而每組對決的票數均為 $2:1$。若假定集體偏好具傳遞性，第一及第二式要求 $A\succ_M C$，與第三式矛盾。

在隨機生成模型，令 $X$、$Y$、$Z$ 分別是支持 $A>B$、$B>C$、$C>A$ 的人數，對奇數 $n$，循環事件為三組全超半數或全不足半數：

上述寫法中 $X,Y,Z$ 是相關的，因為同一張選票同時影響三場對決。不能錯誤地把三個多數事件各當作獨立二項式事件相乘。蒙地卡羅程式先生成完整排名，再由同一排名生成全部對決結果，正是為保留這種相關性。

議程範例：先由 A 對 B，勝者 A 再對 C，最終是 C；先由 B 對 C，勝者 B 再對 A，最終是 A。候選偏好一張也沒有更改，結果只因對決次序而不同。

可以不用電腦便精確確認三人案例的循環不是程式偶然產生的假象。每位選民對三個選項共有六種嚴格排名，三人獨立均勻選擇時共有 $6^3=216$ 種等可能的完整排名組合。形成嚴格三角循環，需要三個人分別持有某一方向的三種循環排名，例如 $A>B>C$、$B>C>A$、$C>A>B$，且每一種恰好出現一次；反向循環也有三個對應的排名。兩種方向各有 $3!=6$ 種選民排列，因此循環樣本共有十二種，精確概率為 $12/216=1/18$。這項結果建立了一個獨立於蒙地卡羅的程式驗證基準。

對較多選民，三場二人對決的計數不能分開處理，因為任何一張票同時支持三對關係中的兩對或一對。若將三場的多數結果誤當互相獨立，便可能高估或低估循環機率。正確的枚舉方法是先統計六種完整偏好類型各出現多少人，再根據同一組計數計算三場票數；對一般 $n$ 可用多項分佈加總，或用保留共同選票的蒙地卡羅估計。這解釋了本研究為何在模擬程式中先生成完整排名，而不是對每一場對決分別獨立抽取二元票。

在 80,000 次獨立的三人合成選舉中，若真實模型概率為 $1/18$，比例估計的標準誤約為 $\sqrt{(1/18)(17/18)/80000}$，即約 0.081 個百分點。模擬與精確值之間的少量偏差應在這個尺度下判斷，不能誤寫成現實選民投票偏好隨時間變動。題材雖然是午餐決定，概率樣本空間卻是事先定義的六種人工排名。

7. Results — 研究結果

三人反例的多數矩陣形成 A>B>C>A，每次均為二比一。模擬中，$n=3,5,7,11,21$ 的循環比例分別約 0.05724、0.07014、0.07396、0.07980、0.08506。各點均來自 80,000 場合成選舉，不是 80,000 場真實餐廳調查。圖 1 呈現循環概率對群體大小的數值結果；圖 2 把三場對決的兩票多數列出；圖 3 說明不同議程可以令勝者依次成為 C、A、B。

即使每位選民都有完整偏好且願意準確表態，群體依然可能沒有孔多塞勝者。使用 Borda 類位置計分可輸出排名，但在這個完全對稱的三人案例，三個選項分數也可能相同；若再設破平手規則，必須承認決策中包含制度選擇。

模型圖表及數據來源

圖 1　群體大小與多數循環頻率 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 2　三場兩兩投票結果 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

圖 3　固定偏好下不同議程的勝者 來源：本研究解析計算及／或固定種子電腦模擬。

8. Discussion — 討論

這個案例的重要性是拆解「決定不到是因為大家不理性」的直覺。聚合結果的問題可來自關係的數學結構，而非人的認知缺陷。當三人代表不同口味，如價錢、距離與味道，各自一貫的偏好可能形成總體循環。聚餐決策若使用主持人最後拍板、輪流請客或共同接受的抽籤規則，便是引進多數票之外的額外社會規範。

從制度設計角度，何謂「公平決策」沒有單一答案。單一議程可以迅速得出勝者，但對排在最後一輪的候選較有利；全部候選互相比較較透明，卻可能發現循環。若採用隨機決定議程，程序可能更中立，卻不代表每次結果都符合集體穩定排序。

孔多塞循環揭示「多數喜歡」未必能合併成一個傳遞的優先順序。在三人反例中，A 對 B 得兩票、B 對 C 得兩票，卻有 C 對 A 得兩票。每一場表決單獨看都符合過半數標準；問題出在三場不能同時支撐一張一致的集體排名表。這是聚合規則的性質，無須假定任何選民違反傳遞性或故意反覆改口。

若有人提出「那就連續投票直到有勝者」，必須先指定如何處理議程依賴。先表決 A 與 B 再讓勝者對 C，與先表決 B 與 C 再對 A，可以得出不同的最後選項。主席可利用議程影響結果，卻不一定需要修改任何人的偏好。若選用 Borda 計分、批准投票或其他程序，問題會從純粹多數關係轉為不同公理之間的取捨；某個程序能給出結果，並不代表它在所有偏好下同時滿足所有公平要求。Arrow 和 Gibbard 的研究可作此討論背景，但本研究沒有嘗試重新證明兩位作者的完整定理。

現實午餐決定的資料往往包含不能吃的食材、預算、位置、時間約束以及有人願意妥協的程度，而不只是三選一排名。若要檢驗循環的實際頻率，可以在參與者知情和匿名化前提下，先收集每人的完整偏好，再離線重建三場表決；不能只根據最後選了哪間餐廳反推有沒有循環。亦可量化排名相關性：口味相近的朋友較可能作出相似排名，從而改變隨機排名模型的循環概率。

補充：從精確枚舉建立模擬校準曲線。 三人情況可用 216 組等可能選票列舉，五人和七人則可以利用六種排名的人數計數向量，避開逐位選民排列的指數增長。對六個類型的人數 $c_1,\ldots,c_6$，只需滿足總數為 $n$；該向量的概率權重是 $n!/(6^n\prod_j c_j!)$。先利用每個類型在三場比較中的投票方向計算多數結果，若構成循環，才將權重加進總和。按此方法直接枚舉可得 $P_{cyc}(5)=540/7776\approx0.06944$、$P_{cyc}(7)=21000/279936\approx0.07502$；本研究對應蒙地卡羅值約 0.07014、0.07396。差別由有限樣本波動解釋，沒有必要把每次估計值剛好相等視為驗證要求。

議程也可以由隨機機制指定。在三人固定循環反例中，若隨機選擇三組候選中的其中一組作為第一場淘汰賽，再讓勝者迎戰第三個候選，三個最終結果 C、A、B 各可由一個先行配對達到。因此公平抽籤議程令每個選項在這個特定案例下各有三分之一機會勝出。這是一種程序上的事前對稱性，但不代表每位參與者的預期效用相同：某位食客對第一與第二選項的喜好程度可能相差很大，抽籤規則亦不能消除誰負責安排議程的治理問題。

由於一組選票決定了三場二元對決的全部票數，組成上的相關性比單純的樣本大小更重要。若朋友的口味偏好高度相似，多數關係較可能一致；若存在三種同樣大的偏好陣營，循環則可能較顯著。要把這種推論轉為可驗證假設，可以引入共同口味因素，再讓每位朋友的排名在共享偏好附近有一定機率擾動，重新以同一循環判定程序量度變化。這是未來需要新增參數和重算圖表的方向，並非本批獨立均勻排名的實驗結果。

對制度選擇，研究者應事先寫清楚判定「公平」的標準：尊重每場過半數、對候選標籤保持中立、降低程序操控，還是令結果可迅速執行。它們在一般情況下未必能同時實現。用更多表決次數反覆追逐勝者，可能只會重現 A 勝 B、B 勝 C、C 勝 A 的循環，而不會令原有數學矛盾消失。

9. Limitations — 研究限制

模擬採用六種排名完全等概率、不同選民獨立，忽略朋友關係、餐廳類型相似性和共享偏好。沒有考慮實際菜單價格、飲食限制、不可接受選項及策略投票。用小群體蒙地卡羅估計的概率有抽樣誤差，也不能推廣至所有現實飯局。

10. Conclusion — 結論

三名具有理性、一致個人排名的朋友，可以在多數票下產生嚴格的集體循環。指定合成偏好生成法下，三人到二十一人的循環概率為非零且隨樣本群體規模變動。午餐難決的數學原因之一，是群體偏好可以失去傳遞性；解決它需要明確且可接受的表決程序。

11. Future Research — 未來研究方向

可研究同時包含價格、距離、味道的空間偏好模型，比較獨立均勻排名與彼此相關偏好時的循環率；亦可設計可公開審核的規則，讓所有人事先同意平票與循環出現時的處理方式，再觀察協商滿意度。

Appendix — 附錄

每份選票保留完整三項排名。程式 analysis.py 在各個 $n$ 上生成 80,000 組選票；data/cycle_probability.csv 保存估計。對頻率 $\hat p$，在獨立抽樣模型下其近似蒙地卡羅標準誤為 $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/80000}$。

人工驗證的第一步，是以固定三張排名檢查 A 對 B、B 對 C、C 對 A 的各場票數。正確的經典反例三場皆為二比一，卻無法給出傳遞的集體排名。其次，在程式中對餐廳標籤 A、B、C 作任何一致的重新命名，循環是否存在都不應改變。若把每張選票的偏好順序全部反轉，循環方向雖改變，但循環事件仍存在。這些對稱性測試不依賴具體數值估計，對發現標籤錯誤特別有用。

也可使用上文的 216 種完整排名組合，逐個計數。若程式報告的三人循環數量不是十二，通常意味着判斷循環時漏掉反方向，或錯把任何一場二比一勝利都視為循環。兩兩多數矩陣的對角線應為零，非對角線對於奇數選民則一勝一負；這些矩陣性質亦可作單元測試。

對實際聚餐資料，研究者需要在群組真正決定之前收集每個人的完整偏好，而不只是事後問最後吃了甚麼。價錢、距離、時間和飲食限制都可能使排名相關；從模型內的獨立均勻偏好所得的 1/18，不應外推成現實飯局的循環率。

在獨立均勻排名模型中，循環的兩種方向必然具有相同概率。理由是將全部排名同時反轉，會把順時針多數循環一對一映射到逆時針循環，而且不改變任何樣本的先驗權重。因此程式若報告某一方向長期佔絕對優勢，應先懷疑實作時的候選標籤或比較方向是否錯誤。利用這個對稱性還可做事前分析：給定某一大小的群體，蒙地卡羅循環率的標準誤約為 $\sqrt{p(1-p)/M}$，其中 $M=80000$；採增加重複次數降低數值誤差，與採收集真實受試者消除選民模型不合適的誤差，是完全不同的工作。

若三個候選中有一個受到所有選民一致支持，該候選將在兩場對決中勝出，不可能出現嚴格的三角循環。這項邊界性質提醒研究者，循環的存在需要特定的偏好異質性；不能因有三個選項便斷言決策一定反覆不定。

12. References — 參考文獻

• Arrow, K. J. (1950). A difficulty in the concept of social welfare. Journal of Political Economy, 58(4), 328–346. https://doi.org/10.1086/256963
• Gibbard, A. (1973). Manipulation of voting schemes: A general result. Econometrica, 41(4), 587–601. https://doi.org/10.2307/1914083
• Nash, J. F., Jr. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1), 48–49. https://doi.org/10.1073/pnas.36.1.48

本文是虛擬學術研究所的原創模型演練；它不是實地研究或同行評審期刊論文。 所有模擬數值均可在同一資料夾的 data/summary.json 與程式中核對。