Why Does a Microwave Turntable Still Leave Cold Spots? Angular Averaging, Radial Residuals, and Optimal Food Placement
研究機構： 荒誕學術研究所（Institute of Absurd Academic Research）
研究性質： 解析推導、人工電磁功率代理場、絕熱圓盤熱傳數值模擬與數值穩健性分析。所有結果均屬合成模型，不含真實微波爐量測、食品溫度實驗或食物安全認證。
中文摘要
家庭微波爐的轉盤看似承諾公平：每一口飯都輪流走過同一個位置，理應獲得相等的加熱待遇。然而旋轉只保證角度被走遍，並不保證不同半徑收到相同能量。本文以一個非負、可解析的二維功率代理場模擬腔體內的不均勻供熱，使用零階貝塞爾函數推導完整旋轉後的角向平均，再結合圓形食物截面的零法向熱流擴散方程，量化轉盤中心偏移、有限旋轉圈數及擴散對熱均勻性的影響。模型採三個人工餘弦諧波、食物半徑為轉盤半徑的 0.23、擴散係數為歸一化時間單位下的 0.002。4,096 角度數值積分與解析角向平均最大差異為 4.44×10⁻¹⁶。在故意設定為中心冷點的基準場中，食物置中時長期旋轉的供熱變異係數為 0.38634；把中心移至半徑 0.63179 時下降至 0.05875。四圈旋轉及熱擴散之後，兩個位置的最終溫升代理量變異係數分別為 0.28687 和 0.04730。但改用中心熱點的相位組合，最佳偏移又變為零，表明不存在脫離腔體場型與食物性質的普遍「最冷點避險位置」。研究提供可重現程式、五幅結果圖、相位檢查與網格收斂測試，並明確討論代理場不能代替麥克斯韋方程、食品介電損耗或真實安全加熱測試的限制。
關鍵詞： 微波爐轉盤；角向平均；零階貝塞爾函數；徑向冷點；熱擴散；有限體積法；變異係數；條件式最佳化。
Abstract
A turntable traverses angular positions but does not equalize energy deposition across radii. We study a deliberately synthetic nonnegative microwave-power proxy constructed from three spatial cosine modes. Exact angular averaging reduces each harmonic to a zeroth-order Bessel function. We then evolve a two-dimensional insulated food disk under a spatially varying heat source using an explicit conservative finite-volume scheme. For a specified cold-centered synthetic field, a food-center offset of 0.63179 turntable radii minimizes the coefficient of variation of the angularly averaged source over a food disk of radius 0.23. Source CV decreases from 0.38634 at the center to 0.05875 at that offset; after four revolutions and heat diffusion, final temperature-rise-proxy CV decreases from 0.28687 to 0.04730. A 4,096-angle numerical quadrature checks the Bessel identity to 4.44 × 10⁻¹⁶. Alternative field phases change the optimal location, including a hot-centered counterexample for which the optimal offset is zero. These are conditional mathematical demonstrations based on dimensionless synthetic inputs, not experimental microwave temperatures, validated oven recommendations, or food-safety findings.
Keywords: turntable; microwave heating; Bessel function; angular averaging; heat diffusion; food placement; coefficient of variation.
1. Introduction — 引言
1.1 一隻旋轉的便當不等於一次公平的加熱
微波爐面前經常出現一種看似違反日常直覺的場景：飯盒明明在轉，拿出來時卻可能有一角非常熱，另一角仍然偏冷。轉盤在視覺上提供一種機械式公平，令使用者相信食物所有部分都會經過腔體各處，因此局部差異理應消失。這種推理的漏洞可以用一個更簡單的問題展示：旋轉木馬外圈的座位和中心附近的座位，是否真的走過相同的地方？兩者都繞了完整一圈，卻從來沒有交換半徑。相同道理，剛性固定在轉盤上的食物質點，在理想水平旋轉下保持與轉軸的距離；它能經歷整圈角度，卻不會自動跨越不同的同心圓。只要環境的角平均能量仍隨半徑變化，即使無限次旋轉，也可能留下結構性的冷熱差異。
冷點不單是味道和用餐體驗的問題。在實際食物加工研究中，微波供能、材料介電性質、幾何、熱傳及邊界條件存在耦合，局部溫度可能影響品質與安全。然而本文的目的不是判斷任何特定加熱程序是否足夠安全，更不提供食品熟化時間。本文要處理的是較窄、更適合由零建立數學模型的疑問：如果平面上的供熱場不均勻，轉盤旋轉究竟消除了哪一種空間差異，又留下哪一種差異？當飯盒不必放在軸心，是否能以可計算的方式挑選一個比中心更均勻的擺放位置？這個問題表面上研究便當，其內核是群作用下的平均運算、帶幾何約束的最適化與熱傳方程的關係。
1.2 幽默題目的嚴格邊界
如果聲稱「所有食物放在距中心六成半徑一定最均勻」，便是把玩具模型的數字冒充家庭建議。本研究刻意選擇一個可以產生中央冷點的餘弦組合，目的是形成足夠清楚的反例：完整旋轉並不足以消除半徑不同造成的供熱差異；食物適當偏心，在某些功率場中可以同時改善平均熱輸入與空間均勻度。然而電磁場形狀並非由真實微波爐量度或有限元素麥克斯韋求解器校準，所有長度、時間、供熱及溫升均經無量綱化。模型說明的是條件句「若腔體具此場型，則會得到此結果」，不是反映現實產品的統計描述。
「轉盤有用」與「轉盤仍有冷點」也並不矛盾。旋轉可有效減少沿某條圓周的角向起伏，因而在許多設定下改善均勻性；它不能保證沿半徑的差異也一併平均。本文將此區分提升為精確的積分恆等式，並用無熱擴散與有熱擴散兩種層次分別觀察。前者用來辨識純幾何和場型效應，後者允許熱量在食品截面內重新分布。只有先拆開這兩種機制，才能合理比較食物放在中央、放在外環或轉動更多圈的效果。
1.3 研究貢獻的判定標準
本研究的第一項貢獻，是提供一個易於反證的解析命題：每個二維空間餘弦諧波經完整角平均後會變成零階貝塞爾函數，角坐標因而消失，但半徑依賴保留。第二項貢獻，是把這種半徑函數評估於具有有限面積、而非只有一個點的食物圓盤上；最佳位置由盤內整個場的變異係數決定，而不能只挑一個局部最熱或最冷的座標。第三項貢獻，是在數值解算中保留固定旋轉圈數與空間熱擴散，讓理想無限角平均與有限時間熱結果分開報告。第四項貢獻，是用場相位、網格解像度及守恆檢查對看似精確的最佳偏移數字進行壓力測試。
整個研究沒有招募受試者、沒有操作真實電器、沒有測量食品溫度、沒有用模擬輸出製作顯著性檢定，也沒有宣稱作者端四角色審閱是真正外部同行審查。結論的證據層級分為三種：由積分直接推出的解析恆等式、由固定參數計算而來的條件式數值結論，以及需留待真實場測和實物材料驗證的應用假說。這種清楚的分類，正是把荒誕問題寫成學術研究而不誤導讀者的最低要求。
2. Literature Review — 文獻回顧
2.1 為何微波加熱研究需要同時觀察場與熱
微波加熱不是把一份固定功率均勻塞進整盒食物。電磁波在腔體內形成空間結構，並與食品電磁性質及幾何互相作用。Ryynänen（1995）對食物材料電磁特性基本原理的回顧，提供本文區分外部場、介電性質及有效吸收功率的概念背景；Peyre、Datta 與 Seyler（1997）的研究題目更直接指向介電特性與加熱圖樣的關係。這些文獻說明，純粹知道轉盤有沒有轉並不足以預測每個位置的吸收能量；但在本文沒有取得其完整實驗資料的前提下，不能把它們引用成任何特定餘弦係數或數值擴散率的來源。
Zhang 與 Datta（2000）以耦合電磁與熱模型為研究對象，從題目及期刊領域已能看出問題存在多物理場特性；Vadivambal 與 Jayas（2008）的非均勻溫度分布綜述則證實這是一項被正式研究的食品工程議題。本文借用這些研究作為模型分層的動機：理想完整模型需要電磁場計算、材料頻率依賴、吸收功率、導熱及食品邊界交換；本文只選取「給定非均勻吸收代理場以後會發生甚麼」作為最小可解子問題。這種簡化犧牲定量預測能力，換來每一步都能被解析式或程式檢查的透明性。
2.2 旋轉轉盤與空間均勻性的既有研究方向
Geedipalli、Rakesh 與 Datta（2007）的論文題為「Modeling the heating uniformity contributed by a rotating turntable in microwave ovens」，與本研究的核心現象直接相關。Liu、Fukuoka 與 Sakai（2013）討論旋轉食物溫度分布的有限元素模擬，而 Miran 與 Palazoğlu（2019）研究在轉盤上旋轉冷凍食品的多物理場模型及實驗驗證。三者表明微波爐旋轉並非只是一個好笑的日常困惑，而是涉及模擬方法與實驗校核的正式工程問題。本文不能宣稱首先研究轉盤，也不把任何既有工程論文的結果當成本身的驗證；其具體區別在於提供一個用貝塞爾函數顯式描述角向平均的極簡合成例子，目標是可理解性與可反駁性。
Ryynänen 與 Ohlsson（1996）在文章題目中討論預製餐的放置位置、組成及幾何如何影響加熱均勻性；Deng 等（2024）研究可微波加熱食品的幾何最佳化。這些方向提醒我們，「放哪裏」與「食物長甚麼形狀」不是可獨立忽略的問題。本文將食物外形固定為平面圓盤，是為了隔離其中心偏移的影響，而不是推定真正的長方形便當、碗裝麵或上下分層食材都服從同一個最優半徑。圓盤是最適合先建立守恆數值方法的試驗平台，也為日後加入非圓形幾何提供基準。
2.3 文獻能夠支持和不能夠支持甚麼
本研究的九篇正式引用文獻已依 DOI 在 Crossref 核對作者、題名、年份及期刊書目資料；詳細紀錄見 Reference_Check.md 和 data/crossref_checked.json。這一層查核確保讀者可以追索來源，但不等同所有全文方法或表格已逐頁核對。尤其是此處人工設計的三組諧波波數、振幅、擴散常數、食物半徑和轉速，均不是從上述文獻擷取。本文亦不以「有文獻談及旋轉」直接證明本身的模擬與現實一致。來源提供研究情境和合理的問題分類，模型的解析正確性及計算可信度由本文自己的檢查決定。
現有工程題名分別指向多物理耦合、介電效應、有限元素、放置位置與幾何最佳化；這些要素在實物預測中互相影響。本研究偏重一個更窄的數學切口：即使完全不考慮複雜腔體結構，僅取具有不同波長的幾個空間餘弦，也足以構造「轉得很勤仍然不均勻」的反例。此反例如果推導正確，能解釋為甚麼轉盤不具備保證均熱的幾何定理；但它沒有能力確定哪一種微波爐、哪一類食物、哪一個功率設定會落入反例描述的參數區域。
3. Research Questions and Hypotheses — 研究問題與假設
3.1 四個可以逐項檢查的問題
RQ1：對由數個二維餘弦波構成的空間供熱代理場，繞轉盤軸心完整旋轉的平均運算能否寫出解析式？如果可以，其結果是否只取決於軌道半徑？這是一個關於積分恆等式的數學問題，不依賴抽樣統計。RQ2：當食物有非零面積，固定一個半徑的每個質點會在不同角度移動；食物盤中心偏移多少，可以最小化整塊盤的平均供熱變異係數？這是一個受轉盤邊界限制的單變數最佳化問題。RQ3：供熱代理場的空間不均勻經熱擴散和有限圈數作用後，是否仍然保留相同的排序？這要求實際積分熱傳方程，而不能只把供熱圖當成最終溫度圖。
RQ4：若只改變空間波相位，保留振幅絕對值、波長、食物尺寸、模擬時間與擴散係數不變，最佳放置半徑是否維持？這個問題特別重要，因為一個漂亮的最佳數字很容易被讀者誤解為普遍定律。本研究刻意使用冷中心、熱中心與混合符號三組情境測試，讓反例直接決定結論的外推邊界。四個研究問題依次對應解析驗算、位置掃描、熱方程及參數穩健性，因而不存在只靠同一幅圖反覆重述一項主張的證據循環。
3.2 假設只是有明確前件的命題
H1 是解析假設：完整角平均消除餘弦項中的角度相位，但一般留下波數乘半徑的零階貝塞爾函數。H2 是特定場景的數值命題：對本文人工冷中心場與半徑 0.23 的食物盤，存在非零的偏移位置，使空間供熱 CV 小於置中 CV。H3 是有限時間命題：在選定的導熱設定下，旋轉及導熱能降低部分位置的變異係數，但不強迫其等於零。H4 是反普遍性命題：改變諧波相位可能改變 CV 的最小位置，因此任何固定放置半徑的建議都必須附上場型條件。
H1 能以數學推導證明，H2 至 H4 只能在指定模型、指定取樣分辨率和指定時間下評估。本文不會把條件式命題稱為從真人或家電樣本估計得到的因果效果；也不會報告虛構的樣本數、實驗誤差棒或 p 值。能夠嚴格確立的，是這個合成系統內的量化關係及其計算限制。即使 H2 在全部掃描格點成立，也不代表連續半徑的全域最優點已經被解析證明，必須保留搜尋格距的誤差意識。
4. Theoretical Framework — 理論框架
4.1 轉盤旋轉是一個保持半徑的對稱運算
把轉盤抽象為二維閉圓盤，半徑設定為一個無量綱長度單位，中心位於平面原點。任何食物質點在某一時刻的位置是向量 (x,y)，距軸心為 r。轉盤旋轉角度 θ 時，位置變成 (x cosθ − y sinθ, x sinθ + y cosθ)。由直角三角恆等式，旋轉前後的平方距離同為 x²+y²，因此 r 不變。角度是一個周期變量，而半徑是旋轉群作用下的不變量；只對旋轉角度求平均，無法改變這個幾何事實。即使轉盤非常快，只要仍然作剛性平面旋轉，軌道仍是一條條同心圓。
把平面標量場寫作 q(r,φ)，它可分解為沿角度變化的部分及只依賴半徑的平均部分。角平均算子定義為 Aq=(1/2π)∫q(r,φ)dφ。這個算子是線性的，對已經不依賴角度的函數再次平均不會改變結果，因此具有投影算子的特性。形象地說，轉盤擅長抹平沿同一個圈走一周時看見的起伏；但不同圓圈的平均值不必相同。這也是研究能用一個實際只有幾個諧波的玩具場，回答一個更一般的轉盤幾何問題的原因。
4.2 平均供熱不等於最終溫度，也不等於微波電場
微波功率密度在完整電磁模型中與電場幅度、損耗性介電常數、頻率及材料狀態有關；本文沒有把單一餘弦直接宣稱為電場解，而是先指定一個非負供熱代理函數 q(x,y)。它扮演的是歸一化體積熱源的二維截面示意，單位被設定為相對能量輸入率。由於 q 是熱源而非溫度，不能將 q=.09 寫成攝氏九度，也不能以 q>1 推斷食物已超過某個安全溫度。物理真實感是刻意受到限制的；真正的微波吸收涉及三維體積、穿透深度、反射、材料非均勻及含水率變化，這些機制均沒有由 q 自動包含。
同樣地，將某個點的供熱隨時間平均後，只能在忽略或簡化熱傳時作為該點溫升的近似。一塊熱麵包會把熱向附近較冷位置傳導；邊界亦可能散熱，外部空氣和容器可能參與能量交換。本文後段以具有絕熱邊界的二維熱擴散模型，獨立考察這種平滑作用。故意採用不散熱的圓盤，是為了讓每一步吸收的熱量留在盤內，便於檢查離散守恆；其代價是無法直接還原真實食品表面對流、蒸發或與容器接觸的熱損失。
4.3 一個位置指標必須兼顧均勻度和熱量規模
評估食物盤時，可以問兩種不同的問題：盤內溫差有多大，與整塊盤平均吸收多少能量。標準差反映絕對起伏，變異係數 CV=標準差／平均值反映相對起伏；當平均值很小時，同樣的絕對起伏會對應較高 CV。這種正規化對不同偏移位置相對比較有用，但會產生價值判斷：若某處幾乎沒有受熱且數值又很均勻，CV 可能很好看，實際上卻沒有達成加熱目的。因此本文每次報告 CV，同時保留平均供熱、低分位數及最低值，避免只為追求一個無單位指標而忘記研究對象是一份需要受熱的食物。
最優位置依賴目標函數：如果只求最小 CV，得到一個候選位置；如果要求最低熱輸入超過某門檻，再在可行集合中求最小 CV，答案可能不同；如果優先最大化平均供熱，則又是另一個問題。本文基準的第一階段採最小 CV 作明確且可複算的演示，第二階段公開熱量規模及表面條件差異，不把任何一個準則說成所有使用者都應選擇的客觀最佳。這也解釋為何本文稱其為「條件式最適化」，而非家電說明書的普遍擺放守則。
5. Methodology — 研究方法
5.1 幾何、人工諧波與固定參數
轉盤半徑取 R=1；食物是內半徑 a=0.23 的二維圓盤。食物中心沿 x 軸放在偏移 d≥0 的位置，其整個截面必須留在轉盤內，因此 0≤d≤R−a=0.77。用局部座標 (u,v) 標記食物內的質點，其轉盤座標在初始方向是 (d+u,v)，局部約束為 u²+v²≤a²。這個座標轉換非常關鍵：食物中心雖然只放在一個偏移半徑，盤內不同質點各自具有不同的軸心半徑，故不能以食物中心單點的供熱代表整塊食物。
人工供熱場由常數一與三個餘弦諧波相加。振幅依次為 −0.45、−0.30 和 −0.16；波數向量為 (2π/0.92,0)、(0,2π/1.20)、(2π/1.50,2π/1.50)。這些數字全部由研究者任意設計，目的是在中心形成可見冷點，同時維持非負的熱源，並不匹配任何特定微波爐的頻率、波導或諧振腔尺寸。熱傳的無量綱擴散係數取 D=0.002，整個加熱時間設定為 t∈[0,1]，起始溫升為零。這些比例本身不可直接換算成秒數、厘米或攝氏度，除非先以實驗提供尺度與有效材料熱參數。
5.2 三個層次的計算互相校核
第一層是解析計算：根據餘弦的角積分，直接得到 q̄(r) 的貝塞爾函數表達式。程式又在 81 個半徑上，以每個半徑 4,096 個等間角度直接評估原場並取平均；這是獨立計算路徑，可以找出角度變數、波數或負號實作錯誤。第二層是空間整合：在 67×67 個候選局部格點上，只保留落在食物圓盤內的格點，用其平均、標準差、10% 與 90% 分位數評估每個偏移 d。第三層是時間積分：對指定旋轉圈數 N，以顯式保守型有限體積式更新圓盤內的溫升代理量；比較 N=0、1、2、4、8，以及中心與最小 CV 位置的結果。
所有位置掃描在 0 至 0.77 使用 79 個等距候選，故最佳偏移僅表示這個離散集合的最佳；相鄰候選相距約 0.00987。所有熱圖與敏感度曲線由同一個 analysis.py 製作，圖像、逐項 CSV 及匯總 JSON 都與論文保存。程式含固定亂數種子 2026101514 以方便日後擴展至隨機實驗；此篇現有的核心計算是確定性的，沒有使用亂數樣本，因此種子並非數值結果的來源。這個區分可避免誤把純數值積分描述成蒙地卡羅統計實驗。
5.3 穩健性、收斂和認知限制
對場型敏感度，本研究只將三個振幅的符號改成全負、全正與負正負三組，保持波長與絕對振幅不變，再重新掃描 79 個位置，觀察最佳半徑是否改變。這不是宣稱真實微波爐可以隨意把每一組諧波的相位獨立切換，而是一個對「普遍最佳位置」主張的最小反例測試。對網格收斂，選擇 45、67、91 的等距網格及分別足夠穩定的 300、380、800 步，在同一個 d 與 N=4 的場景比較最終均值和 CV。離散圓形邊界隨網格解析度改變，必須將這種幾何鋸齒誤差也計入解讀，而不能只比較浮點數精度。
另外，本文不以「收斂」一詞掩蓋兩個不同問題。時間步縮小並不會自動把原本非物理的供熱場變成真實微波場；一個穩定的數值演算法，只能增加玩具模型內部結果的可信度。另一方面，位置掃描所得的最佳偏移，在增加候選位置密度或改變食品形狀後仍可能變動；目前的 79 點極小值不是連續最適化定理。所有圖中的誤差如果沒有真實測量，亦不能被寫成實物使用情境的置信區間。本文把「模型正確」、「數值準確」及「外部有效」分開討論。
6. Mathematical / Computational Model — 數學與計算模型
6.1 非負人工功率場及其下界
以 x=(x,y) 表示轉盤平面的無量綱位置，給定三個波數向量 kⱼ 和實振幅 Aⱼ，定義歸一化供熱代理場：
基準選擇 A₁=−0.45、A₂=−0.30、A₃=−0.16。對任意實數 z，−1≤cos(z)≤1，故 q(x,y)≥1−Σ|Aⱼ|=1−0.91=0.09；同時 q(x,y)≤1.91。這個不等式對整個平面成立，不只限於轉盤，因此證明了代理功率永不出現非物理的負值。中心點每項餘弦皆為一，q(0,0)=0.09，形成故意安排的冷中心。這一條下界只保證數學非負，完全不保證模型中的 q 具有真實家電所需的電磁守恆、邊界條件或共振頻率。
最容易犯的概念錯誤，是把負振幅解讀為食物在某處「吸收負功率」。負號只是讓該諧波相對背景常數一作相反方向的起伏；三項加起來仍然始終非負。使用振幅絕對值總和小於一的充分條件，能令供熱模型在所有後續旋轉及不同放置位置都保持明確物理方向。它不是所有合法代理場所必需的條件，因為有些振幅總和超過一的組合仍可能在有限區域非負；本文選這個較保守、易證明的版本，目的是令後續的均值及 CV 分母有清晰的正值基礎。
6.2 完整角平均如何產生零階貝塞爾函數
取半徑為 r 的圓周，位置可寫為 (r cosθ,r sinθ)。對任意波數向量 k，設其長度為 κ、方向角為 α，則內積 k·x=κr cos(θ−α)。轉完完整一圈的單項平均因積分平移不變性，不依賴 α：
其中 J₀ 是零階第一類貝塞爾函數。它可以由上述積分表達式定義，無須假設讀者事前熟悉特殊函數。將有限求和與積分交換，得到完整旋轉下的解析供熱輪廓：
當 r=0，J₀(0)=1，於是 q̄(0)=q(0,0)=0.09，直接揭示中心質點無論轉盤轉多少次都留在同一個冷點；旋轉對軸心沒有任何幾何混合作用。當 r>0，J₀ 的值隨半徑起伏並可能改變符號，故外環的角平均供熱未必比中心高，也未必隨半徑單調增加。這一點比「旋轉會平均」更精確：旋轉平均後的函數已失去角度依賴，但保留由波數、振幅及半徑決定的非單調結構。因此若同一塊食物跨越多個半徑，其不同質點即使各自完成很多圈，仍可能累積不同熱量。
6.3 食物圓盤上的變異係數最佳化
將食物內的局部座標記作 (u,v)，在初始姿態時該質點距離轉軸為 r(u,v;d)=√((d+u)²+v²)。在理想長時間完整旋轉後，其平均供熱應評估為 q̄(r(u,v;d))，而不是簡單的 q̄(d)。以 S 表示食物截面，面積 |S|=πa²，定義盤面平均供熱及其方差：
再令 CV(d)=√V(d)/μ(d)。因前述供熱場處處大於零，μ(d)>0，故 CV 在整個可行集合內有定義。本文的離散選擇為 d*∈argmin_{d∈D₇₉} CV(d)，其中 D₇₉ 是 0 至 0.77 的 79 個等距點。此定義考慮整塊食物的供熱異質性，避免只尋找單一熱點而忽略食物另一側。標準差是對盤內格點的總體標準差，不是樣本標準差，因為格點被視為確定性積分節點而非從人群抽取的隨機受訪者。
需要注意，當 d=0 時，食物圓盤涵蓋由 r=0 至 a 的一段半徑；當 d 大於 a 時，食物覆蓋的徑向區間大致由 d−a 至 d+a。偏心可能讓整塊食物落在角平均供熱曲線較平坦的一段，也可能反而跨越陡峭梯度。其成敗取決於 q̄(r) 的局部曲率、食物半徑與位置三者互動，因此「離中心越遠越均勻」不可能直接由此公式推出。相同理由，食物尺寸一旦改變，最適偏移也可能改變；食物小至近乎一個點時，盤內變異係數可普遍趨近零，單獨以 CV 挑位置會失去實際區辨力。
6.4 有限轉圈、熱擴散及絕熱邊界
實際轉盤在指定加熱時間內只完成有限圈數。設 N 是歸一化時間 t∈[0,1] 完成的整圈數，角度 θ(t)=2πNt。固定在食物局部座標 (u,v) 的質點在轉盤上的即時位置為將 (d+u,v) 旋轉 θ(t) 後的位置，故時變供熱函數為 q_N(u,v,t)=q(R_{θ(t)}(d+u,v))。將它加入均勻有效擴散係數 D 的二維熱方程，定義溫升代理量 T：
初始條件是 T(u,v,0)=0；在食物圓盤邊界施加法向無熱通量條件 ∂T/∂n=0。這表示模型中沒有食物外部熱流入或散熱，也不考慮內部相變。方程反映的是局部供熱加上盤內熱擴散的合成作用。因為沒有實物尺度、密度、比熱與導熱係數，T 並不是攝氏溫度；其空間 CV 只能當成理想溫升均勻度指標。對邊界積分並用散度定理，擴散項的淨邊界通量為零，因此盤內總溫升變化率等於熱源的盤面積分，提供程式可檢查的守恆關係。
6.5 保守型有限體積離散與穩定性
對方形網格中落入食物圓盤的格點，將每個格點視為一個有效控制體，僅允許相鄰兩個均屬食物的控制體交換熱量；與外部遮罩相連的邊不建立導熱通量。相鄰格點 i、j 的通量成對為 D(Tⱼ−Tᵢ)/h²，對兩個格點的更新符號相反，因此它們加總為零。以時間步長 Δt 作前向 Euler 更新，得到：
在二維四鄰格點內部，顯式方法的非負權重充分穩定條件是 DΔt/h²≤1/4；程式設定更保守的上限 0.24，並於執行時斷言。基準網格大小 67×67、時間步 380、圓盤半徑 0.23；格距約為 0.00697。對每步時間，程式使用中點角度計算熱源，與解析角向平均的長時間概念一致；但時間中點取樣與顯式擴散仍然會帶來離散誤差。因圓形區域由方形格點遮罩近似，邊界具有階梯形，不能稱為精確圓邊界解；收斂檢查因此與實際的熱源及幾何問題一併報告。
即使平均供熱相同，最終 T 的標準差也不一定與供熱標準差相同。擴散使高頻空間變化衰減，而旋轉使同一質點在不同時間承受不同角度供熱；兩者運作的時間順序可能影響局部 T。然而在本研究固定初始條件、線性常係數擴散及完整旋轉的設定下，盤內平均值還受到總輸入守恆控制。這種可分辨的均值與分散度關係，能避免研究者見到熱圖顏色均勻就假設所有量都已被驗證。下一節將分別報告解析角積分誤差、盤內供熱指標、有限轉圈的溫升差異及相位反例。
7. Results — 研究結果
7.1 原始功率場：中心冷點是刻意放進去的
圖一展示由三個人工諧波疊加的靜止供熱代理場。圓形外框表示轉盤可用範圍，白色圓圈代表食物中心置中，橙色圓圈代表後續掃描找出的最小 CV 偏移位置；彩色背景只代表相對供熱率而非實測溫度。中心 q=0.09 是從三項負振幅直接算出的值，絕非微波爐必然存在的冷點。由圖可見，背景存在帶有方向性的明暗條紋；在不旋轉時，放在不同角度或半徑的食物會看到不同供熱區域。這些條紋是餘弦函數的人工結構，不是由腔體尺寸及頻率反演的真實駐波圖。圖一最重要的功能，是讓讀者直接看見本文假設的來源，而不會把後面的數字誤當成從家電量測得出的隱藏資料。
圖 1. 非負人工供熱場 q(x,y)；白色為中心位置、橙色為基準場的最小 CV 候選位置。圖由 analysis.py 產生，所有數據均為合成。背景顏色不表示攝氏溫度。
觀察圖一亦可理解「最佳位置」不是尋找畫面上最亮的一個點。若食物有固定半徑，中心落在局部亮區邊緣可能讓一半食物很熱，另一半仍然很冷；即使最亮點具有很高的即時功率，附近的平均供熱和變異係數也可以較差。相反，在適當半徑轉過完整一圈後，條紋的局部角向起伏可以被削弱，而食物盤可能主要停留在一段角平均供熱較平坦的徑向區域。故應將靜止場當作建立機制的起點，然後比較角平均和盤面積分，而非直接從熱力圖的肉眼亮度選位。
7.2 角平均的解析式與獨立數值驗算
圖二同時繪出零階貝塞爾函數求和的解析輪廓，以及以 4,096 個角度對原始餘弦場逐點計算的積分結果。比較使用 81 個半徑，橫跨零至整個轉盤邊界。兩種方法的最大絕對差為 4.440892098500626×10⁻¹⁶，接近雙精度浮點演算誤差量級。這項一致性不依賴熱方程求解器，能排除將波數方向、角度單位或積分歸一化係數誤放進解析式的常見錯誤。驗算的實際對象是數學恆等式的電腦實作，不是對真實微波電磁模型準確度的外部證明。
圖 2. 藍線為解析的 q̄(r)，空心圓為直接角積分，兩者在繪圖尺度內重疊。曲線保留徑向變化，說明完整旋轉只消去角向差異。
由解析式可作進一步推論。若供熱場恰好是一個空間常數，角平均當然仍是常數；若每個諧波的振幅為零，也不會存在角度或半徑差異。但是對一般非零波數向量，J₀(κr) 會隨 r 改變，因此經旋轉後仍可能形成同心的加熱強弱環帶。這個結論是結構性的，不依賴圖二的特定負振幅。即使我們把某組相位改成正值，或者換掉某一組波長，只要角平均不是常數，半徑差異仍不會因繞軸旋轉而自動消失。轉盤使環境在角度方向更對稱，卻沒有施行讓所有半徑互相交換位置的平移或徑向攪拌。
7.3 最小變異係數出現在偏心環帶，而非軸心
在基準冷中心場，中心放置位置的盤面角平均供熱均值 μ(0)=0.30011109，標準差為 0.11594507，CV=0.38634050；供熱代理量的盤面最低值為 0.09，10% 分位數為 0.13525。將偏移掃描至 d=0.63179487 時，盤面平均供熱增加至 1.25315486，標準差下降為 0.07362473，CV=0.05875150；最低值為 1.02133，10% 分位數為 1.13714。由此可見，在這個人工場的特定環帶，盤內不同質點的平均供熱比較接近，而且整體相對供熱規模也較高。這是一個具體反例，反駁「轉盤中心必定最均勻」的無條件主張，但不支持「所有微波爐外環必定比較好」的反方向主張。
圖 3. 橫軸是以轉盤半徑歸一化的食物中心偏移；左軸為盤面供熱 CV，右軸為平均供熱代理量。虛線標示 79 點格網中 CV 最小的偏移；兩個縱軸不能當成相同物理單位。
圖三說明均勻度和加熱強度需要分開報告。在基準中，CV 最小位置恰巧亦比中心有更高的平均供熱，但這是該組諧波的結果，不是數學上的一般必然性。從數字看，盤面 CV 由 0.38634 降至 0.05875，約減少 84.79%；但這個百分比只衡量無量綱均勻度，沒有說明食物溫度上升了多少攝氏度。平均供熱代理量由 0.30011 增至 1.25315，比例約為 4.18，也不是「加熱時間可縮短四倍」的實物預測，因為熱交換、材料溫度依賴性及微波能量再分布均未被建模。以明確的物理限制描述改善幅度，可以避免讀者把精緻圖表誤讀成實用烹飪指令。
7.4 四種熱傳情境的不同均勻度
圖四把兩種位置和兩種旋轉策略作成四幅可直接比較的二維溫升代理熱圖。中心靜止時，最終均值為 0.300121、CV=0.335785；中心旋轉四圈時，均值為 0.300111、CV=0.286867。位置仍是中心，但旋轉使角向條紋在時間內更平均，空間 CV 因而下降；由於中心放置的圓盤在平面旋轉下形狀及面積積分不變，總供熱均值基本一致。這種「均值幾乎不動而變異減少」能清楚區分機械混合和增加輸入熱量兩種機制。
在偏移 d=0.63179487 的位置，完全不旋轉時，最終均值約 0.987554、CV=0.234805；四圈旋轉後，均值約 1.253155、CV=0.047301。這裏不單是變異減少，平均供熱也有變化，因為偏心盤在固定姿態時只覆蓋某一塊空間，而完整旋轉期間會掃過環帶上的其他角度。四個結果均從同一個二維熱方程求出，並非把圖三的源場 CV 直接當作溫度 CV。比較兩種四圈方案，中心 CV=0.286867，偏移位置 CV=0.047301，前者約為後者的六倍；該數字僅指此場型及導熱設定下的最終相對分散度。
圖 4. 固定模擬時間、初始溫升為零、絕熱邊界及 D=0.002 的四組數值結果；各圖標示空間 CV。色階對應無量綱溫升代理量，不能換算為食物安全溫度。
圖四還包含一個重要方法學提醒：熱源分布與最終溫升分布的標準差不一樣。例如偏心四圈時，角平均源場 CV=0.05875150，熱傳模擬的最終溫升 CV=0.04730120；因為盤內的擴散能額外平滑局部起伏，後者較小。中心四圈的源場 CV=0.38634050，最終溫升 CV=0.28686749，亦有相同方向的下降。但擴散無法保證每一個場型及時間配置下都達到指定 CV，更不能把兩組數據的差異全歸因於擴散，因為源場指標假定了完整角平均，熱模擬則是有限旋轉加時間演化。要拆開每種效應，需設置更細的消融實驗；本篇重點在同時辨認兩個層次，而非過度歸因。
7.5 為甚麼圈數增加沒有形成嚴格單調律
在中心位置，N=0、1、2、4、8 圈的最終 CV 依次為 0.335785、0.286912、0.286876、0.286867、0.286865。從不旋轉到一圈的改善最明顯，再增加圈數帶來很小的額外改善，顯示角度平均效果逐漸飽和。在選出的偏移位置，這五個數值則為 0.234805、0.047046、0.047212、0.047301、0.047347。令人意外的是，後者在一圈之後稍微增加，而非每增加一圈便再改善。這不是程式得出負功率或違反熱力學，而是提醒我們最終 CV 由供熱發生在甚麼時間與擴散演變共同決定，特定位置的有限圈數效應未必單調。
圖 5. 在固定總加熱時間下比較轉盤完成 N=0、1、2、4、8 圈的兩種放置位置。增加圈數不改變研究的總時間；曲線細微起伏須和時間離散誤差及模型理想化一同解讀。
對有限圈數的結論必須克制。偏心位置 N=1 的 CV 比 N=8 低約 0.000301，差距相當細；本研究沒有為這個差異進行完整的時間步獨立收斂分析，因此不能斷言真實情況下「一圈比八圈更好」。數值只支持：在目前的指定離散模型內，圈數與 CV 沒有呈現每一步都嚴格下降的序列。進一步想把此結果變成控制策略，必須在不同開始角度、非整數圈、不同導熱係數、不同時間步及具有真實材料參數的設定下重做測試。把微小的合成波動如實揭露，比用語言把曲線強行解釋成必然改善更符合研究精神。
7.6 相位敏感度：不存在普遍的最佳擺位半徑
對冷中心基準，全部振幅為負，最佳格點偏移為 0.631795，最小源場 CV=0.058752，中心 CV=0.386341。把全部振幅改成正值，並保留各波長與振幅絕對值，中心原始供熱變成 1.91；重新掃描後，最佳偏移變成 0，最小與中心 CV 都為 0.068207，該位置均值為 1.699889。第三組混合相位符號設為負、正、負，得到最佳偏移 0.513333、最小 CV=0.042703、中心 CV=0.073692、最佳位置均值=1.124151。這三組結果已存於 data/phase_sensitivity.csv，各由同一套格點指標重新計算，沒有為獲得喜歡的結論而暗中更換食物尺寸。
三個情境具有相同的波數模長及振幅絕對值總和，因此各場仍受 q≥0.09 的非負下界約束。它們的變化來自相對相位方向，足以把最佳位置由中心搬到外環，或者停在兩者之間。若有人把冷中心案例的 0.632 宣傳成「科學證實的微波爐最佳距離」，熱中心案例立即提供數值反例。相反，宣稱「放在中心最安全」同樣無法從本文推出。必須先知道特定腔體、材料及裝載狀態下的實際供熱圖樣，甚至在那些條件變動後重新評估，才有資格給出適用範圍清楚的放置建議。
7.7 網格收斂與數值可信度
在同一個偏移 0.631795、四圈旋轉和擴散常數 D=0.002 下，將網格與時間步依次設為 45×45／300 步、67×67／380 步、91×91／800 步，最終溫升均值分別為 1.253080、1.253155、1.252940；CV 分別為 0.0472381、0.0473012、0.0473451。粗至細的 CV 變化約一個十萬分位數量級，說明此案例的重要兩項整體指標對這三組離散設定不太敏感。但三點精度比較不能構成任何網格無關性的嚴格證明，也不能自動推斷每個局部極值和邊界溫度同樣穩定；特別是用方格中心判斷是否落入圓盤所帶來的幾何近似仍然存在。
檢查也包括離散能量平衡的結構性保障。對每個相鄰有效格點，導熱通量一正一負，在所有有效格點求和時互相抵銷；邊界外沒有配對格點時不傳熱，正對應了離散零法向通量。因此演算法的盤面總溫升改變只來自每一步累積的熱源。程式另以 DΔt/h²≤0.24 作顯式時間穩定性檢查，防止在網格細化而時間步不變時違反常見的二維顯式擴散條件。這些檢查針對方程離散化的內部一致性，不代表程式已完成高保真微波食品模型的全部驗證工作。
8. Discussion — 討論
8.1 真正消失的是角向差異，不是所有差異
研究的核心誤會來自把「完整旋轉」當成「空間完全攪拌」。從群作用的角度，轉盤只允許點沿固定半徑的軌道運動；對一個原本隨空間改變的函數，沿軌道平均會投影到旋轉不變的函數集合，但這個集合包含所有依賴半徑的函數，遠遠不止常數。因此即使一個研究者完全不認識貝塞爾函數，仍可以先從軌道幾何推斷：轉盤沒有機制保證不同半徑的熱源相等。貝塞爾函數的作用，是對餘弦場提供精確、可複算的數值形狀，使上述直覺變成有定量內容的模型。
這個觀點亦能解釋為何一份食物內部可能同時經歷「角度更平均」與「半徑仍不平均」。假設一塊長條形食物橫跨轉盤中心與外環，其各質點雖然在旋轉中經過一整圈角度，但仍然停留在各自半徑；若 q̄(r) 在那段半徑有高梯度，長條的一端可能長期接受較大能量。本文採圓形截面可以用 CV 量化同一機制，卻沒有測試長條形、非均勻厚度及不同介電常數；若將其推向實際食物幾何，必須在三維座標與材料分區上重新設計積分，而不能直接沿用 0.632 的偏移數字。
8.2 數值上的「冷點」需要先界定觀測對象
「冷」可以指瞬時電磁吸收率較低、某個位置的累積輸入能量較低、最終溫度較低，甚至指真實食品未達安全中心溫度；這四種判斷並不相同。本文的 q 是人造供熱率，q̄ 是角向平均供熱率，T 是經擴散後的無量綱溫升代理量；沒有一項是家用食品溫度計讀數。對數值圖來說，cold spot 僅指同一模擬場景中的相對低值位置。研究若沒有先說清量度的物理量，很容易從「平均吸收少」偷渡成「這個區域一定未熟」，或者從「CV 下降」偷渡成「可以省掉加熱後的攪拌與靜置」。本文的設計避免這種推論跳躍。
更嚴格地說，熱擴散係數在真實食品中也可能不是常數。不同成分、含水率及相變會改變熱傳，局部溫度升高又可改變介電損耗，反過來影響後續供熱場。本文的熱方程是線性、定係數、二維且沒有邊界散熱；其內部守恆是演算法刻意具備的優點，也是對實物過度理想化的來源。因此，即使有測得的腔體功率圖，要把本研究變成可用的烹飪控制器仍需附上材料、容器、食品尺寸和功率設定的模型校準。
8.3 平均值、標準差與安全下限是三種不同決策
假如只最小化 CV，理論上可能選到一個平均供熱極低但非常均勻的區域，這不符合一般人的加熱目標。較有應用意義的方案應設計多目標準則，例如同時考慮最大化平均溫升、最小化空間變異及使最低溫升高於某個由實驗定義的門檻。這一類問題的解通常形成 Pareto 集：某方案在均勻度優於另一方案，卻可能在平均供熱或最低值落後。本文的冷中心例子恰好把偏移位置在兩項指標上都改善，但這是研究者特意展示的情境之一；若更換場型，兩個目標不一定一致，最適化政策就需要使用者或食品安全規範提供相對權重。
本文記錄盤內第十百分位與最低值，正是為未來多目標分析保留必要資訊。就模擬食品而言，CV 僅是一個方便比較整體分散度的指標；對真正的食品安全評價，往往需要關注最難加熱的內部位置及其時間—溫度歷程。當最低值比平均值更有決策意義時，單一全域 CV 不足以承擔保證責任。由於本文不含任何實際時間、溫度或病原體失活模型，不能選一個任意的 T 代理門檻，然後聲稱已得到安全放置位置。
8.4 為甚麼更快轉不保證更快熱好
固定總模擬時間增加旋轉圈數，代表物體在同樣期間改變方向得更頻密。這可以使沿圓周的供熱時序更接近角平均，但不能自動增加整台微波爐的總功率，也不能迫使不同半徑交換熱量。若轉盤已經以足夠圈數實現接近角平均，再增加圈數可能只帶來很小的數值差異。更快旋轉是否更均勻，還與供熱時間序列和熱擴散的相對尺度有關；本文的偏心案例出現細微非單調結果，正是提醒我們不應將「時間平均比較充分」與「最後任意指標必定單調改善」混為一談。
如果真正希望跨半徑攪拌，從數學上需要新的運動自由度，例如食物位置隨時間作平移、轉軸離心擺動或其他能改變 r 的路徑。這些動作會改變角平均不變量，但同時引入容器碰撞、機械安全、尺寸限制與時間控制問題。本文沒有研究這些裝置，也沒有建議使用者自行改裝微波爐。它只提出一個可在未來仿真中測試的研究方向：對固定供熱場，不同軌跡是否能降低食品體積吸收功率的空間變異，而其改善是否在加入真實熱傳及材料非線性後仍然存在。
8.5 模型可以提出現實假說，卻不能取代驗證
如果有一台真實微波爐在某負載下測得接近中心冷點的吸收分布，本文便預測：它的部分偏心擺位可能比中心取得更平坦的角平均受熱；若測到的是中心熱點或別的相位組合，預測則可能反轉。這是可以驗證的條件式假說，後續研究可採均勻校準負載與多點溫度或熱成像測試，不應直接拿不同成分、不同厚度食品的表面溫度互相比較。若真實場型與本文餘弦代理場差距很大，模型的最佳位置就沒有轉移價值；若相似，也只能說值得進一步測試，而非已得到安全烹飪建議。
本研究最有趣的結果不是偏移小數點後六位的精確數字，而是「公平旋轉」與「公平受熱」存在不同的數學要求。只要旋轉路徑始終保留一個未被平均的空間自由度，該方向的異質性就有機會殘留。這個觀點也適用於需要沿軌道取樣的感測、噴塗、旋轉掃描及混合問題，但每個領域必須重新界定源場、運動群和最終品質指標。把日常冷飯當成一個數學反例，可以揭露更一般的平均運算限制；這才是本文由荒誕走向可學術檢查的價值。
9. Limitations — 研究限制
第一，最重要的外部限制是 q 不是麥克斯韋方程解。我們指定三個餘弦並以常數保證非負，沒有建構電場、磁場、真實金屬邊界條件、波導激勵、材料介電損耗、反射或負載對場的反作用。雖然用「駐波式」描述有助於視覺理解，其係數仍然完全人為；不能拿它反推某台家電的冷點位置。第二，食品被簡化成具有均勻熱擴散係數的二維圓盤，忽略三維厚度、內外成分差別、容器、蒸發、對流、相變及温度依賴介電性質。這些因素可能不只改變數值，而是改變哪個位置比較均勻的排序。
第三，邊界絕熱是假定條件，不是所有真實食物在空氣和容器中的熱邊界描述。保守型更新可讓數值能量帳目清晰，卻會令累積熱量在本文模型裏無法流失。第四，離散圓盤採像素格點遮罩，只有三個解析度作收斂比較；雖然整體 CV 接近，仍未完成連續最適位置的嚴格誤差界、與解析熱方程解的交叉驗算及所有時間步的逐項誤差證明。第五，研究只比較一個人工冷中心基準與兩組替代符號相位，沒有對連續相位、波長、模態數、食物半徑及擴散係數作全面全因子掃描。因此能夠反駁「唯一通用最佳位置」，卻不能歸納哪類腔體偏向哪種最佳半徑的頻率分布。
第六，模型使用的 CV 只表示相對空間分散度，會受到均值分母影響；由 CV 最小推出「食品已熟」是非法推論。第七，引用的九篇學術文獻只完成可追溯 DOI 書目核對，不能藉此宣稱逐篇全文重現或專家實驗驗證；作者端審閱也不等於外部同行評審。第八，模擬沒有隨機樣本及量測噪聲，故本文刻意沒有統計置信區間或「顯著」差異，亦沒有把合成場景當作現實世界的代表性樣本。這些界線是模型適用條件的一部分，必須與漂亮的改善幅度一起閱讀。
10. Conclusion — 結論
在明確的理想化假設下，轉盤旋轉不能保證食物完全均勻受熱，因為完整角平均只是把二維餘弦場轉換為依半徑變化的貝塞爾函數輪廓。旋轉保留每個質點到軸心的距離，所以徑向的差異仍可能長期存在。對本文人工設定的中心冷點場型，半徑 0.23 的食物盤置中時，角平均供熱 CV 為 0.38634；在 79 點偏移格網中，d=0.63179 時最低，CV 為 0.05875。四圈旋轉及線性熱擴散後，兩種位置的最終溫升代理量 CV 分別為 0.28687 與 0.04730。這些數字由解析推導、直接角積分與可重現的離散熱方程相互支持，並接受不同網格分辨率的有限檢查。
然而，只要把諧波符號改成中心熱點，CV 最小的位置便返回軸心；混合符號時則移至另一個中間偏移。研究因此不能產生適用所有微波爐的放置秘訣，而是嚴格證明「完整旋轉會消除所有冷點」這種直覺沒有數學保證。研究所希望留下的知識並不是建議大家量度半徑後才叮飯，而是學會分辨一個平均運算究竟平均了哪一個變量，以及缺少了哪些必須用實驗驗證的物理條件。對真實食物加熱及安全判定，仍然必須依賴適當的實物測試和權威安全指引。
11. Future Research — 未來研究方向
第一個方向是以經量測或完整多物理模型計算的三維吸收功率取代人工 q(x,y)，並讓材料損耗與溫度、含水率互相作用。這個步驟可以驗證哪一類真實負載確實出現中心冷點，以及最佳半徑對功率設定和餐盒尺寸有多敏感。第二個方向是改用具有非圓形邊界、分層材料和真實對流散熱的有限元素模型，獨立驗證本文的有限體積近似。第三個方向是把圓盤中心偏移、旋轉頻率與加熱時間視為聯合控制變量，建構兼顧最低溫升、均勻度和總能量的 Pareto 最適化，但必須避免在缺少食品安全模型時自行制定「安全」溫度門檻。
第四個方向是研究非整數圈、不同起始角、間歇旋轉與食品平移對角平均有效性的影響，並以同等總時間比較，防止把增加圈數與增加加熱時間混淆。第五個方向是對連續相位空間與食物尺寸實施系統性敏感度分析，找出最優偏移對場型不確定性的置信區域或穩健最壞情況策略；只有在真實可量測的不確定性分布可供估計時，才考慮機率意義的區間。最後可以建立一個教學互動平台，讓讀者調整三個諧波的符號、波長、食物半徑與熱擴散率，親眼觀察何時中心最好、何時偏心最好，從荒誕便當問題學習對稱、特殊函數、偏微分方程及多目標決策。
References — 參考文獻（APA 形式）
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Appendix — 附錄：計算、輸出檔與反證測試
附錄 A：位置掃描共有 79 個候選偏移，範圍 0 至 0.77；最佳偏移是離散極小值而非連續閉式解。對每個偏移，將盤內 67×67 方格中心樣點保留在半徑 0.23 以內，使用同一遮罩取得總體均值、標準差、變異係數、極值與分位數。逐行輸出在 data/offset_scan.csv，完整摘要見 data/summary.json。
附錄 B：解析角平均的驗算使用 81 個半徑及每半徑 4,096 個不重複等距角度；最大絕對誤差 4.440892098500626×10⁻¹⁶。有限熱傳採顯式保守更新及時步中點旋轉角，控制條件 DΔt/h²≤0.24。各圈數結果見 data/rotation_sensitivity.csv，三組相位符號見 data/phase_sensitivity.csv，三組網格的結果見 data/grid_convergence.csv。
附錄 C：程式不讀取真實微波爐相片，不訓練模型，也沒有任何人體研究紀錄。使用 NumPy、SciPy 與 Matplotlib 執行 python3 analysis.py 即可重新生成數值、表格及五幅圖。所有引用來源的 Crossref 查核結果見 Reference_Check.md；四角色內部模擬審閱的評語及修訂紀錄見 review.md。研究期望讀者可以親自把人工冷中心的振幅改成正值，重跑結果並推翻任何過度簡化的「外環最均勻」宣傳說法。