固定公平邊際但未知相依時的骰子點數和：精確尾概率界、可達置換與獨立假設偏差證書——香港高中概率課程的高階延伸

摘要

在兩枚公平骰子的常見題型中，「每枚骰子各自公平」和「兩枚骰子的結果獨立」經常同時被使用，但前一敘述並不蘊涵後一假設。本研究考察一個有限部分識別問題：給定兩個取值為 $1,\ldots,m$ 的隨機變數各自均勻分佈，且不對其聯合分佈加入獨立性假設，整數閾值 $t$ 下的 $P(X+Y\ge t)$ 究竟可取甚麼值？透過被迫成功／不可能成功的行列計數及可顯式書寫的置換耦合，本文證明精確上下界、整個閉區間的可達性、所有閾值中最大不確定度 $(m-1)/m$，並證明錯誤套用獨立模型的最大絕對偏差恰為 $(m-1)/(2m)$。六面骰、閾值八的人工例題展示，該事件概率可在 $0$ 至 $5/6$ 間變動，獨立計算僅得 $5/12$；實現上界的某種耦合反而有負相關係數 $-1/7$。證明是既有固定邊際最優耦合與 Fréchet–Makarov 研究的有限均勻特化，並無聲稱建立一般新理論。程式以置換全枚舉和獨立位元動態規劃交叉核查；所有數據屬數學構造，並無任何學生實驗。香港教育局 M1 文件更明確指出聯合分佈及隨機變數之和不在指定課程要求之內，本文因此僅定位為高階延伸及教師專業探究素材。

**關鍵詞：**固定邊際分佈；相依性；尾概率；最優耦合；雙隨機矩陣；離散概率；香港 M1；數學資優教育。

Abstract

Two individually fair dice need not have independent outcomes. This theoretical working paper considers the probability of a threshold event for two uniform discrete random variables with prescribed marginals and an unrestricted dependence structure. We derive sharp closed-form lower and upper bounds for $P(X+Y\ge t)$, provide explicit permutations attaining both endpoints, and show that every intermediate probability is attained by a mixture of couplings. The largest identified-set width across integer thresholds is $(m-1)/m$; the largest absolute error incurred by imposing the independent coupling is $(m-1)/(2m)$. For two six-sided marginals and threshold eight, the identified interval is $[0,5/6]$ whereas the independent model yields $5/12$. A maximizing construction has negative Pearson correlation, illustrating why correlation order does not determine the probability of a particular threshold event. The results specialize classical fixed-marginal sum bounds and doubly stochastic matrix theory; no claim of worldwide priority is made. Independent exhaustive enumeration and subset dynamic programming provide reproducible computational checks. No student observations or educational treatment effects are reported. Hong Kong Module 1 documentation explicitly excludes sums of random variables and joint distributions from required content; the proposed material is advanced enrichment only.

Keywords: Fréchet class; discrete coupling; dependence uncertainty; sharp probability bounds; fair dice; permutation matrix; upper-tail event; Hong Kong mathematics education.

1. 引言

1.1 被忽略的邏輯步驟

學生可能聽到「投擲兩枚公平六面骰」，便立即寫下三十六種等概率有序結果。然而，「第一枚擲出各個數字的概率皆為六分一」與「第二枚擲出各個數字的概率皆為六分一」只固定兩個邊際分佈；要把三十六個有序結果視為各有概率 $1/36$，還須加入獨立性。例如可先均勻抽取 $X$，再令 $Y=7-X$，此時兩者仍各自均勻公平，但每次和恆為七。另可令 $Y=X$，則和只可能是偶數。這兩種機制都與「各自公平」相容。

因此值得詢問比單一答案更基礎的問題：當資料沒有指明聯合機制時，答案可以識別到甚麼程度？本研究選用面數 $m$ 與閾值 $t$ 為可變參數，處理所有符合兩個均勻邊際的聯合分佈，包括極端確定性的關係及其隨機混合。問題具有具體情境，卻引出組合學、雙隨機矩陣、最優傳輸及風險辨識的交會。

1.2 香港教育脈絡的精確界定

香港教育局（2009／2018）高中數學延伸部分單元一（M1）學習單元 10 闡釋條件概率與獨立事件，單元 12 涵蓋離散概率分佈與期望及方差。但官方原文於印刷第 23 頁明確寫明隨機變數之和或差，以及聯合概率分佈，不屬要求內容（Education Bureau, 2018）。本研究不把本文的聯合分佈、最優傳輸或耦合證明當成必考題型；對象是已掌握獨立概念、願意接受數學資優延伸的學生及教師。由官方課程相關性，亦不能推論某一教學干預已被證實有效。

1.3 研究問題與可反駁結論

RQ1：給定均勻邊際，單一尾事件的所有可能概率是否有可計算、可達且閉式的邊界？RQ2：哪個閾值最易受到未知相依性的影響？RQ3：倘使用者無意中以獨立性作額外假設，最壞絕對誤差可有多大？RQ4：較高的相關係數是否必定令指定高和事件更可能發生？

研究貢獻是可公開反駁的有限模型命題、具體極端耦合證書、獨立核驗程式與教學反例。本文的「可達」「尖銳」有正式數學意義：存在滿足兩個固定邊際的具體聯合機制令界取等號；「獨立假設偏差」是模型識別偏差，並非學生測驗錯誤率。

2. 文獻綜述及研究定位

2.1 固定邊際和分佈已有成熟結果

Makarov（1981；英譯 1982）研究給定兩個邊際分佈時和的分佈函數上下界。Rüschendorf（1982）同樣研究固定邊際下最大和之構造。兩者是直接先例：不能把「不知道相依性就尋找和分佈的尖銳界」宣稱為本文發明。後續最優傳輸文獻還進一步處理邊際及相依資訊的不確定性（Bartl et al., 2017），表示此問題的理論傳統甚長。

2.2 雙隨機矩陣與置換極點

雙隨機矩陣集合由置換矩陣的凸包構成，屬 Birkhoff–von Neumann 經典定理。相關分解算法及複雜性仍有當代研究（Dufossé et al., 2018）。在本研究中，按比例放大的聯合概率表剛好是雙隨機矩陣。因此在線性尾事件目標下，研究置換配對便足以找到一種最優耦合。不過，本文更提供直接的「被迫／不可能」行數證明，使關鍵上下界不必依賴讀者先掌握完整凸分析定理。

2.3 本文的特化範圍與文獻侷限

本文聚焦兩個同樣均勻、有限正整數支集、同一整數尾閾值；把一般最優耦合理論縮成可用初等計數理解的精確公式，並推導整個閾值集合的最大寬度及獨立假設偏差。這些閉式屬本工作論文內的可證明導出結果，不保證在整個國際文獻中未曾出現。現階段已核對香港官方課程 PDF 及主要英文出版商書目／摘要；付費原文逐條比較、中文期刊系統查新仍未完成。更具體的來源層級與關鍵字見隨附 Literature_Search_Log.md。

表 1　既有理論與本稿專用結論的界線

3. 理論框架及符號

3.1 嚴格概率空間設定

固定整數 $m\ge2$。在某一離散概率空間定義 $X,Y\in\{1,2,\ldots,m\}$，只假設對每個 $i,j$，$P(X=i)=1/m$ 且 $P(Y=j)=1/m$。定義聯合概率 $p_{ij}=P(X=i,Y=j)$。准許任意具此兩個邊際的 $p$；特別准許 $Y$ 是 $X$ 的確定函數。

對整數 $t$，尾概率 $Q_t(p)=P(X+Y\ge t)$ 是此概率矩陣的線性函數：

我們只需研究 $2\le t\le2m+1$。$t\le2$ 時事件必然發生，$t\ge2m+1$ 時事件不可能發生（在 $t=2m+1$ 可當作明確零邊界）。本文定義 $L_m(t)=\min_{p\in\mathcal C_m}Q_t(p)$、$U_m(t)=\max_{p\in\mathcal C_m}Q_t(p)$；集合緊緻，兩極值存在。該等界是同一事件在未知聯合機制下的可行範圍，並非對未來抽樣的一個信賴區間。

3.2 可驗證的置換耦合

對任意排列 $\pi:\{1,\ldots,m\}\to\{1,\ldots,m\}$，先等概率抽取 $X=i$，後確定令 $Y=\pi(i)$。因為 $\pi$ 是雙射，每個 $Y=j$ 亦恰有一個原像，故兩邊際皆均勻。其概率為

形式上 $D=mp$ 為雙隨機矩陣。經典凸分解說明每個 $D$ 都能表示為若干置換矩陣的凸組合，於是線性函數 $Q_t$ 可在某個置換耦合上達極值。此背景定理用以理解有限模型；下節亦用不依賴凸分解的一般概率上界與構造，獨立證明兩個極值確實尖銳。

4. 研究方法及證明策略

第一，將「$i$ 太小以致即使 $j=m$ 也不能達閾值」視作必失敗行；將「$i$ 太大以致即使 $j=1$ 仍達閾值」視作必成功行。每行質量均為 $1/m$，立即得到對所有聯合分佈都有效的上界與下界。第二，針對不同 $t$，寫下可直接手算檢查的雙射 $\pi$。這一步把「界不可能被突破」轉換為「存在例子恰等於界」，排除僅是鬆弛不等式的可能。

第三，另計算獨立情況 $p_{ij}=1/m^2$，將三角形格點數目與前述界比較，再對所有 $t$ 求最大偏差。第四，透過兩條互不共用公式推導的計算路徑核查：全部置換逐一計數，以及用子集位元遮罩 DP 逐步指定不同列；數值驗證只用來查找可能的例題／程式錯誤，不取代以下一般證明。

5. 數學推導與分析

5.1 定理一：固定兩個公平邊際的精確尾概率範圍

定理 1（尖銳且具閉式的兩端點）。 對 $m\ge2$、整數 $2\le t\le2m+1$，在集合 $\mathcal C_m$ 中，事件 $X+Y\ge t$ 的最小及最大概率為

證明，第一部分：任何耦合都不能越界。 假定 $2\le t\le m+1$。對每一行 $i\ge t-1$，以及每個可能的 $j\ge1$，均有 $i+j\ge t$。故這 $m-t+2$ 行的概率質量全數成功，其和為 $(m-t+2)/m$；當 $t\ge m+2$，零是顯然的下界。另一方面，當 $t\ge m+2$，若 $i\le t-m-1$，即使 $j=m$，仍有 $i+j<t$。這 $t-m-1$ 行全部失敗，所以成功的概率不大於 $[m-(t-m-1)]/m=(2m-t+1)/m$；當 $t\le m+1$，一是顯然的上界。以上四段與式（4）一致，而且只使用邊際均勻、沒有使用 Birkhoff 定理。

證明，第二部分：構造達下界的排列。 在 $2\le t\le m+2$ 時令

第一段將 $1,\ldots,t-2$ 反向排列，後段將 $t-1,\ldots,m$ 固定，兩段的像集不重疊，故是雙射。第一段的和恰為 $t-1$，合共 $t-2$ 次失敗；第二段 $i+\pi(i)=2i\ge2(t-1)\ge t$，合共 $m-t+2$ 次成功。若 $t\ge m+2$，令 $\pi_{\min}(i)=m+1-i$，其和恆為 $m+1<t$，成功概率為零。兩種定義於交界 $t=m+2$ 同樣成立，故下界已達。

證明，第三部分：構造達上界的排列。 當 $2\le t\le m+1$，反向排列 $\pi_{\max}(i)=m+1-i$ 令每次和都等於 $m+1\ge t$，成功概率為一。當 $m+2\le t\le2m+1$，令 $s=t-m$，定義

在後段，$i=s,\ldots,m$ 之像依序是 $m,\ldots,s$，故涵蓋所有 $s,\ldots,m$ 的列；前段涵蓋 $1,\ldots,s-1$，整體確為雙射。後段每個和恰為 $t$，全部成功，數目 $m-s+1=2m-t+1$；前段 $i+\pi(i)=2i\le2(s-1)<t$，最後一個嚴格不等式由 $t\le2m+1$ 推得。故成功概率為 $(2m-t+1)/m$。在 $t=2m+1$ 後段是空集、全失敗。上界亦達，定理證畢。

5.2 推論一：不只是兩端，所有中間概率都可達

推論 1（識別集合為閉區間）。 固定 $m,t$，$Q_t$ 的全體可行值恰為 $[L_m(t),U_m(t)]$。證明。 定理 1 已給出兩個可行概率表 $p^{\min},p^{\max}$。對任意 $\alpha\in[0,1]$，先以概率 $\alpha$ 選上界機制、以概率 $1-\alpha$ 選下界機制，再依選定機制抽樣。聯合表 $p^\alpha=(1-\alpha)p^{\min}+\alpha p^{\max}$ 每行、每列仍為 $1/m$，且 $Q_t(p^\alpha)=(1-\alpha)L+\alpha U$。當 $L=U$，此式仍成立。中間所有值可達，證畢。這項敘述容許隨機混合機制；若硬性限定 $Y$ 必須是 $X$ 的單一確定函數，則可行值只能是分母為 $m$ 的離散格點。

5.3 定理二：哪個閾值最受未知相依性影響？

令 $W_m(t)=U_m(t)-L_m(t)$ 為識別區間寬度。根據定理 1，不必做數值求極值即可得到

定理 2。 對任意 $m\ge2$，$\max_{2\le t\le2m+1}W_m(t)=(m-1)/m$，而且最大值恰在 $t=m+1$ 與 $t=m+2$ 出現。

證明。 式（7）首段隨 $t$ 每增加一而增加 $1/m$，末段每增加一而減少 $1/m$。第一段的最大值在 $t=m+1$，為 $(m-1)/m$；第二段在 $t=m+2$ 亦同。$m\ge2$ 時所有其餘端點嚴格較小。證畢。注意此值在 $m$ 增大時趨向一：更細的公平均勻支集不會單憑公平性使尾概率更容易被識別。

5.4 獨立假設：三角形格點計數

現在額外假定兩枚結果獨立：$p^{\mathrm{ind}}_{ij}=1/m^2$。每個有序格點等概率，故失敗或成功數目是直角三角形的整數格點數。令 $I_m(t)=Q_t(p^{\mathrm{ind}})$，可直接計數為

首段 $i+j<t$ 包含 $1+2+\cdots+(t-2)$ 個格點；末段 $i+j\ge t$ 包含 $1+\cdots+r$ 個格點。式（8）正確的條件是獨立性；它不是由兩個均勻邊際推得的唯一概率。由推論 1，$I_m(t)$ 一定落於可行區間中，卻未必接近真實未知機制。

5.5 定理三：強加獨立性之精確最壞偏差

定義對固定閾值的模型誤差風險 $R_m(t)=\sup_{p\in\mathcal C_m}|Q_t(p)-I_m(t)|$。由推論 1，$R_m(t)=\max\{U_m(t)-I_m(t),\,I_m(t)-L_m(t)\}$。

當 $2\le t\le m+1$，設 $a=t-2$。由式（4）、（8），$U-I=a(a+1)/(2m^2)$，$I-L=a(2m-a-1)/(2m^2)$。由 $0\le a\le m-1$ 可知後者不小於前者，且隨 $a$ 遞增。當 $m+2\le t\le2m+1$，設 $r=2m-t+1$，則 $I-L=r(r+1)/(2m^2)$、$U-I=r(2m-r-1)/(2m^2)$；由 $0\le r\le m-1$，後者不小於前者且隨 $r$ 遞增。於是

定理 3（全閾值最壞模型誤差）。 對每個 $m\ge2$，

證明。 上段 $a(2m-a-1)$ 對整數 $a=0,\ldots,m-1$ 單調嚴格增加，因相鄰差 $2m-2a-2>0$（對可取的 $a\le m-2$）。其最大在 $a=m-1$，即 $t=m+1$，值 $(m-1)m/(2m^2)$。下段 $r(2m-r-1)$ 相同，在 $r=m-1$，即 $t=m+2$，亦給同一值。定理 1 的對應極端排列使端點誤差確實發生，並非純不等式。證畢。

這個偏差在 $m\to\infty$ 趨近 $1/2$；它是對概率值的絕對差，既非相對風險比，也非任何教學研究所得的平均認知錯誤。

5.6 反例：最大尾事件概率與 Pearson 相關係數並非單調等價

取 $m=6,t=8$。定理 1 得 $L_6(8)=0$、$U_6(8)=5/6$；額外採獨立性得 $I_6(8)=5/12$。考慮上界構造排列 $\pi_{\max}=(1,6,5,4,3,2)$，即六個等概率有序配對 $(1,1)$、$(2,6)$、$(3,5)$、$(4,4)$、$(5,3)$、$(6,2)$，其中後五個和均為八。

對此構造，$E[X]=E[Y]=7/2$，$E[XY]=71/6$，$E[X]E[Y]=49/4$，故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=-5/12$。每個邊際的方差均為 $35/12$，因此 $\rho=-1/7<0$。反之同向配對 $Y=X$ 的 $\rho=1$，卻只有 $P(X+Y\ge8)=3/6=1/2$，比負相關的上述上界耦合還低。這否定了「對任何高和閾值，相關越正必然使超過閾值越常見」的無條件推斷，不能反向讀成所有負相關結構總是提高尾概率。

表 2　人工六面骰範例：閾值八、兩個邊際皆公平

圖 1 使辨識寬度的兩個頂峰在 $t=7,8$ 清楚可見。圖中的 independent 曲線是額外模型假設下的答案；其餘兩條線才是只憑公平邊際能保證的上下界。

圖 2 可逐行、逐列直接核查公平性。右上側接近高和閾值的五個亮格產生五次成功，但 $(1,1)$ 留下一個失敗格。只有觀察到此種聯合配對結構，才能使用 $5/6$ 作為相應機制的概率。

5.7 不變的期望與可變的尾概率

所有 $p\in\mathcal C_m$ 均滿足 $E[X+Y]=E[X]+E[Y]=m+1$。線性期望的可計算性不需要獨立性；但尾概率 $P(X+Y\ge t)$ 一般不能只從均值或兩個邊際決定。這個性質也避免把「所有依賴機制中，和值的平均數一樣」誤作「和值的分佈一樣」。若教師只教一個概念延伸，可使用這個差異作為最精簡的出發點。

5.8 邊界及退化案例

$t=2$ 時 $L=U=I=1$，所有聯合表都滿足；$t=2m+1$ 時 $L=U=I=0$。若 $t=m+1$，反向配對所有和恰為 $m+1$，令上界為一；若 $t=m+2$，同一配對所有和恰為 $m+1$，令下界為零。因此兩個緊鄰整數閾值的極端機制截然不同，並非不連續概率模型出錯。若兩個邊際不是相同的均勻分佈，式（4）一般不成立；應回到固定邊際聯合概率表的線性規劃或既有 Makarov 工具。

6. 研究結果與可重現計算

6.1 全閾值結果

表 3 將解析結果以六面骰的完整例子表達。所有數字均由公式及有限排列運算生成；這些不是學生成績、調查樣本、骰子物理實測或機率抽樣估計。

表 3　六面骰部分整數閾值之尖銳端點（人工理論表）

圖 3 比較 $m=2,\ldots,30$；最大區間寬度隨 $m$ 趨向一，而最大獨立假設偏差趨向二分一。這些極限反映識別問題隨支集增大可能持續嚴重，不能被詮釋為實際骰子的物理相依性隨面數增加。

6.2 驗證策略及可重現要求

獨立全枚舉腳本 code/verify_couplings.py 直接遍歷各 $m$ 的全部排列與所有閾值，不引用分析中構造置換的函數來計算理論極值；另一組位元集合動態規劃先以每一列唯一配對某個未使用行的方式，求各個閾值成功總數的最小和最大值。兩組實現採用不同搜尋資料結構，且分別把整數成功數除以 $m$ 與式（4）比較。程式對式（8）獨立計格點總數，並直接測試最大偏差與寬度。運行指令、版本、範圍、實際通過個案數與輸出 JSON 見 Verification_Report.md；如未運行，不得自行寫作已通過。

表 4　核驗證據與推論邊界

7. 討論與香港數學教育啟示

7.1 從「公平」辨析到「可識別概率」

一個分層的探究序列可先讓學生列出 $Y=7-X$ 及 $Y=X$ 的六個有序配對，然後問：「兩枚個別公平的骰子是否必有三十六種等概率結果？」教師可先要求各自算邊際頻率（都是六分一），再比較和的分佈。下一層才加入 $\pi=(1,6,5,4,3,2)$ 的「五次成功」構造，追問：既然 $X=1$ 最高只能配 $Y=6$，為何 $t=8$ 最多只能成功五次？最後以行數證明取代大量列舉，讓學生經驗必要界與達界例子結合才成為尖銳證書。

7.2 數學模型的語義與實物骰子

若物理題目明確說兩枚骰子「獨立地投擲」，則獨立模型是被授權的；本文不反對使用 $1/36$。若題目只給兩個邊際，則不能額外假設。極端置換實例需要共同隨機源或特定控制機制，例如先均勻抽取一個點數再依規則設定另一個點數；這不是宣稱兩枚獨立投擲的真實骰子會自然呈現上述相依性。課堂材料須精確區分「兩個公平隨機變量」和「兩次獨立實物擲骰」。

7.3 為何不直接拿相關係數代替相依結構？

相關係數只總結一個二階量，固定了兩個邊際與 Pearson 相關一般仍無法唯一決定指定尾事件。表 2 的反例顯示：即使相依方向更負，單一高和閾值的機率反而可更大。高階班可討論「不同統計量對不同分佈細節敏感」，但尚不能從此單一反例聲稱學生會因此改善對相關性的理解。

7.4 對教學與評核的有限建議

若把此題作為高階評核，應分別評量：(i) 能否指出缺少獨立假設；(ii) 能否寫出正確兩個邊際；(iii) 能否找到必失敗／必成功行；(iv) 能否提供達界置換；(v) 能否解釋獨立答案是其中一個可行值。這是研究者設計的建議式任務藍圖，未經香港教師效度訪談、題目難度校準或受試者認知歷程驗證。

8. 研究限制及下一步

第一，現有結論只適用兩個邊際皆均勻於同一組連續正整數的模型；不等面數、偏骰、三個或更多變量、指定相關範圍或其他非閾值事件需要另建模型。第二，混合耦合的可達性假定可對整個聯合抽樣機制隨機化；不能任意套用於物理獨立拋骰。第三，所有量是固定分佈的確定性上下界，不含樣本估計誤差；如觀測邊際來自有限樣本，還須納入統計不確定度。第四，出版商付費全文及中文同行評審文獻未系統查核，特化閉式的國際優先權並不確立。

第五，未徵集香港學生、教師或學校資料，亦未做測驗、試教或問卷。本稿沒有可報告的效應量、顯著性或介入效果。未來可在倫理審批後做題目理解訪談、雙評分者信度及教學前後比較；在取得實證之前，數學論證只能支持「命題正確、可做教材」，不能支持「教材有效」。

9. 結論

公平邊際能固定每枚骰子的單獨分佈及總和期望，卻一般不能固定兩者和的尾概率。本文對兩個 $m$ 面均勻邊際給出可達而簡明的上下界、全部介於兩界間概率的構造、最大識別寬度 $(m-1)/m$，以及未經授權採獨立模型所造成的最壞絕對誤差 $(m-1)/(2m)$。六面骰的反例亦顯示，Pearson 相關的正負不足以排序指定閾值事件。作為研究工作論文，其貢獻是以可驗證有限構造明示既有最優耦合數學在香港高階概率教學中的一個具體入口；國際原創性及教學效度須留待外部研究核實。

參考文獻

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